56.4. Случай рассеяния при p <> 0

Рассмотрим теперь вкратце более общий случай рассеяния, отличного от рассеяния вперед. При этом мы будем обсуждать свойства амплитуды рассеяния по энергетической переменной Е при фиксированном значении передачи импульса , скажем, не угла рассеяния . В § 56.2, амплитуда рассеяния была представлена интегралом

причем

Там было показано, что все трудности аналитического продолжения область комплексных значений Е были связаны с тем, что

Можно ослабить неравенство (46), формально перейдя от к новой переменной ,

ограниченной условием

т. е. рассматривая вместо функцию . Такая операция эквивалентна выходу с массовой поверхности пи-мезона. Изучение аналитических свойств амплитуды в комплексной плоскости переменной Е теперь уже не встречает каких-либо существенных затруднений. Здесь оказывается возможным построить дисперсионные соотношения по Е для . На этом яути довольно сложным оказывается обратный переход на массовую поверхность пиона. Эта процедура выполняется с помощью довольно тонких математических рассуждений, использующих технику аналитического продолжения обобщенных функций. Впервые эта техника была развита Боголюбовым в середине 50-х годов.

Наиболее общим и классическим результатом здесь является теорема о возможности объединения опережающей и запаздывающей функций в единую аналитическую функцию (см. монографию Боголюбова — Медведева — Поливанова (1958) — дополнение А, теорема I). Впоследствии эта теорема получила название теоремы об «острие клина» («edge of the wedge»). Рассуждения, основанные на использовании этой теоремы, и позволяют доказывать дисперсионные соотношения для разных случаев. Этим путем удалось доказать дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния при фиксированном в интервале

Дальнейшее развитие эти методы получили в работах Боголюбова, Владимирова (1958), Бремермана, Тейлора (1958), Лемана (1959), Владимирова, Логунова (1959), Оме, Тейлора (1959), Тодорова (1960) и др. В частности, Леман (1959), используя представление Йоста — Лемана — Дайсона увеличил до