52.3. Локальные свойства.

Прежде чем приступить к формулировке необходимых нам локальных свойств теории, напомним соответствующие моменты обычной схемы. Начнем с того, что представление S-матрицы рассеяния через Т-экспоненту

позволяет сразу же получить ее вариационные производные. Например,

Выражения того же типа получаются и для высших вариационных производных.

Условие причинности можно теперь записать в виде, аналогичном (20.31):

Заметим, далее, что амплитуда вероятности для процессов рассеяния свободных частиц (т. е. для процессов, в которых отсутствуют и не возникают связанные комплексы) выражается через вакуумные средние от вариационных производных S-матрицы по свободным

полям. В самом деле, рассмотрим матричный элемент

для процесса, в начале которого имеются частицы с импульсами и другими квантовыми числами а в конце — частицы с импульсами и другими квантовыми числами (при этом, как обычно, считается, что среди пар нет совпадающих). Воспользуемся перестановочными соотношениями типа (24.11), (24.12)

и примем во внимание, что должен быть четной функцией ферми-полей. Это даст (ср. (38.11) и (38.12)):

Будем переносить в (13) все операторы уничтожения вправо до тех пор, пока они, подействовав на , не дадут нуль, а операторы рождения — влево. Тогда с помощью (14) мы сможем выразить матричный элемент (13) в виде суммы членов, пропорциональных интегралам

Исключая вакуумные петли, мы получим под интегралами матричные элементы вида

В справедливости написанного соотношения легко убедиться, если учесть, что амплитуда может отличаться от лишь на фазовый множитель, который как раз и равен

Мы пришли, таким образом, к важному понятию радиационного оператора порядка

Как видно, под порядком оператора здесь понимается суммарная степень вариационных производных. Матричные элементы сводятся к вакуумным ожиданиям таких радиационных операторов (13).

Может возникнуть сомнение в законности перехода к вариационным производным по квантовым полям (38.9), поскольку свойство квантованных функций удовлетворять уравнениям поля никак не отряжено в определении (38.9). Од-иако нетрудно убедиться, что каких-либо оснований для подобных сомнений нет. В самом деле, в S-матрице упомянутое свойство связано q процедурой вычисления матричных элементов и проявляется лишь для тех операторов поля, которые с точки зрения диаграмм Фейнмана соответствуют внешним линиям. При этом указанное свойство является тривиальным следствием перестановочных соотношений (4) между оператором и , входящим в матрицу S, и оператором рождения (или уничтожения) свободной частицы в выражении для амплитуды состояния. Поэтому при рассмотрении S-матрицы и ее вариационных производных мы можем полностью отвлечься от указанного свойства (и считать, что здесь мы имеем дело с формальным расширением функционала S на класс функций, не подчиняющихся каким-либо уравнениям). При этом, разумеется, на конечном этапе при переходе к матричным элементам приходится рассматривать проекцию S на множество операторов, удовлетворяющих уравнениям свободных полей (речь идет лишь об операторах, соответствующих внешним линиям диаграмм Фейнмаиа!).

Для дальнейшего изложения не потребуется не только представление -матрицы через Г-экспоненту, но даже и понятие лагранжиана взаимодействия. Достаточно будет лишь сохранить возможнссть вариационного дифференцирования S-матрицы, условие причинности в форме (12) и возможность выражения амплитуды перехода (13) через интегралы типа (15). Поэтому мы приходим к возможности сформулировать следующие

Локальные свойства.

А . Реальные элементарные частицы характеризуются бозонными и фермионными полями и которые обладают теми же трансформационными и коммутационными свойствами, что и в теории свободных полей. Оператор S по этим полям обладает вариационными производными любого порядка. Вариационные производные имеют здесь все свои обычные свойства; так, их трансформационный характер обусловливается трансформационными свойствами полей. Производные по бозонным полям коммутируют, а по фермионным — антикоммутируют между собой.

Радиационные операторы (17) и произведения таких операторов с независимыми аргументами являются интегрируемыми (в смысле определения § 18), т. е. все матричные элементы

суть обобщенные функции, интегрируемые на одном из классов .

Б. Выполняется условие причинности в форме (12).

В. Пусть

обозначает амплитуду состояния системы бесконечно удаленных элементарных частиц с импульсами и другими квантовыми числами . Тогда матричный элемент

может быть выражен через вакуумные средние радиационных операторов (12) с помощью следующего формального приема. Запишем

и будем переносить операторы уничтожения направо, а налево, пока не получим членов, в которых а действуют на , а на и которые обращаются в нуль. При этом будем пользоваться для перестановки а обычными соотношениями теории невзаимодействующих полей, а для перестановок а, а и S — соотношениями типа (14).

Выразив таким путем через вакуумные ожидания от вариационных производных S-матрицы и используя затем условие можно свести их к вакуумным средним от радиационных операторов.

Сформулированные общие и локальные свойства можно рассматривать как аксиомы, лежащие в основе наших представлений о квантовой теории взаимодействующих полей. Мы увидим ниже, что эти аксиомы позволяют получить большое число строгих следствий общего характера, таких как одномерные спектральные представления одночастичных функций Грина (§§ 53, 54), четырех-(и пяти-) мерные спектральные представления для амплитуды рассеяния (§ 55) и, наконец, дисперсионные соотношения для амплитуд рассеяния вперед (§§ 56, 57), связывающие между собой только наблюдаемые на опыте величины.