§ 29. Общие правила устранения расходимостей из S-матрицы

29.1. Постановка задачи.

В §§ 27, 28 на примере спинорной электродинамики было выполнено построение интегрируемых выражений для . В этом параграфе мы сформулируем общий способ устранения расходимостей из членов S-матрицы любого порядка, основанный на том же принципе, что и рассмотренный пример (см. Боголюбов (1952)).

Прежде всего, заменим истинные причинные функции регуляризованными выражениями с надлежащим числом вспомогательных масс . При конечных значениях этих масс обычное T-произведение лагранжианов

вполне определено и его коэффициентные функции непрерывны. Однако, как мы убедились на конкретных примерах, предельный переход понимаемый даже в несобственном смысле, осуществить в (1) невозможно.

Точнее говоря, коэффициентные функции оператора (1) будут сходиться в несобственном смысле лишь в тех областях пространства-времени, в которых все без исключения аргументы отличны друг от друга. Чтобы выделить в (1) «сходящуюся часть», необходимо, как и в приведенных примерах, использовать вычитательную процедуру. Для формулировки этой процедуры удобно исходить из общей формулы (21.41), выражающей через лагранжиан взаимодействия и квазилокальные

операторы :

Как было показано, это выражение является наиболее общим, удовлетворяющим всем наложенным на условиям (симметрии, ковариантности, унитарности и причинности) при произвольном выборе эрмитовых ковариантных квазилокальных операторов

Если удастся выбрать квазилокальные операторы так, чтобы выражения оказались сходящимися (сходимость подобного рода выражений мы всегда будем понимать в несобственном смысле), то их предел при во-первых, будет интегрируемой операторной функцией (в смысле определения § 19), а во-вторых, будет удовлетворять всем наложенным на требованиям. В самом деле, условие ковариантности (21.4) имеет линейный характер и потому предельный переход в нем тривиален, а возможность перехода к пределу в условиях унитарности (21.9) и причинности (21.13) обусловлена доказанной в § 19 теоремой, что предел обычного произведения двух операторных функций равен соответствующему произведению пределов.