7.2. Разложения по спиновым состояниям и соотношения нормировки и ортогональности.

Обозначая нормированные линейно независимые решения для , т. е. для первого из уравнений (7), через , а для , т. е. для второго из уравнений (7), через запишем разложения функций по спиновым состояниям в виде

Соответственно для сопряженного спинора

Так как представляют собой положительно- и отрицательночастотные части функции условия эрмитова сопряжения для нормированных спиноров v имеют следующий вид:

Поэтому условия ортонормированности спиноров v можно записать в форме

Путем чисто алгебраических преобразований из (15) и (16) и уравнений Дирака можно получить ряд соотношений для квадратичных форм спиноров v и важнейшими из которых являются:

условие ортонормированности для дираковски-сопряженных спиноров

условие взаимной ортогональности спиноров v с аргументами, отличающимися знаками,

соотношения

и, наконец, формулы суммирования по спиновому индексу

Для доказательства соотношения (17) будем исходить из уравнений Дирака

Умножая первое из этих уравнений слева на , имеем:

Выполняя затем операцию эрмитова сопряжения с учетом свойств эрмитовости дираковских матриц (6.14), получаем выражение

из сравнения которого с первоначальным непосредственно вытекает:

Аналогичным путем доказывается и второе соотношение (17).

Для доказательства свойства ортогональности (18) умножим первое из уравнений (22) слева на :

Умножая затем второе из уравнений (22) слева на и выполняя операцию эрмитова сопряжения, приходим к соотношению

из сравнения которого с предыдущим непосредственно вытекает одно из соотношений (18)

Вывод соотношений (19а) и (19б) выполняется с помощью тех же приемов умножения уравнений Дирака на произведения матрицы и на сопряженные спиноры и эрмитова сопряжения полученных этим путем выражений. Ввиду относительной громоздкости выкладок вывод соотношений (19) мы здесь опускаем.

Для получения формул спинового суммирования (20) и (21) рассмотрим обычную функцию Грина для уравнений Дирака (2), удовлетворяющую неоднородному уравнению

и, следовательно, имеющую вид

В последних уравнениях не равно корню который мы обозначим здесь через К:

Напротив, число имеет для характер собственного значения соответствующего однородного уравнения. Поэтому при даже не определена. Однако при функция может быть разложена по полной системе решений однородного уравнения

состоящей в соответствии с (22) из четырех решений . При этом получаем разложение

Если подставить его в (23):

и использовать уравнения поля

то найдем

Умножая (25) слева на с учетом свойств нормировки (16) и ортогональности (18). получаем выражение для коэффициента

Определяя подобным образом второй коэффициент , приходим к следующему выражению для

Вспоминая затем, что и сравнивая (26) и (24) в пределах при получаем соответственно формулы (20) и (21)

Соотношения понадобятся нам при вычислении динамических величин спинорного поля (в этом параграфе), а формулы (20) и (21) окажутся полезными при квантовании спинорного поля (глава II) и при вычислении квадратов матричных элементов в теории взаимодействующих полей (глава IV).