§ 24. Правила Фейнмана для вычисления матричных элементов матрицы рассеяния

24.1. Переход к импульсному представлению.

Рассмотрим процесс вычисления матричных элементов матрицы рассеяния, занимающий центральное место в расчетах эффективных сечений различных процессов рассеяния и взаимного превращения частиц.

Вычисление матричных элементов наиболее удобно проводить в импульсном представлении, так как в этом представлении операторы поля и и причинные функции имеют простую структуру:

Запишем S-матрицу в импульсном представлении. Член порядка матрицы рассеяния после приведения к нормальной форме выражается согласно теореме Вика суммой членов вида

При этом коэффициентные функции соответствуют внутренним линиям фейнмановских диаграмм и являются многократными произведениями спариваний входящих в рассмотрение полевых функций. Нормальное произведение

содержит свободные операторы, соответствующие внешним линиям диаграммы.

Для определенности опять ограничимся случаем взаимодействующих электромагнитного и электрон-позитронного спинорного полей, описываемым лагранжианом

В этом случае коэффициентные функции являются произведениями спариваний электромагнитного поля

и спариваний электрон-позитронного поля

a нормальные произведения (2) содержат операторные функции электромагнитного и электрон-позитронного полей, обладающих

импульсными разложениями

Подставляя выражения (3) — (7) в (1), видим, что интеграция по переменным сводится теперь к вычислению независимых интегралов вида

Можно было бы установить правила соответствия для построения элементов S-матрицы в импульсном представлении уже теперь. Однако удобнее рассмотреть процесс вычисления матричных элементов от членов S-матрицы и сформулировать прямо правила соответствия для построения матричных элементов. Эти правила впервые были предложены Фейнманом (1949а, б) и известны как правила Фейнмана.