1.2. Гамильтонов и лагранжев формализмы.

Рассматривая поле в виде механической системы с бесконечно большим числом степеней свободы, можно построить теорию поля по аналогии с классической механикой точки. Поле при этом характеризуется так называемой функцией поля , соответствующей бесконечно большому числу степеней свободы. Уравнения для функций поля могут быть получены из лагранжевой функции системы с помощью вариационного принципа стационарного действия, а динамические переменные построены путем образования величин, подобных соответствующим величинам в аппарате классической механики.

При этом, по аналогии с механикой, оказываются возможными два способа построения теории волновых полей.

В каноническом (или гамильтоновом) формализме основными величинами являются обобщенные координаты и импульсы, а также гамильтонова функция системы, конструируемая с помощью функции Лагранжа и обобщенных координат и импульсов. С помощью функции Гамильтона непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные, причем указанный путь построения теории поля позволяет детально провести формальную аналогию с классической механикой.

Однако при всей своей наглядности гамильтонов формализм обладает существенным недостатком: из-за выделенной роли времени изложение теряет релятивистскую инвариантность, что представляет особенно большие неудобства в квантовой теории поля.

Второй способ изложения теории поля, который мы будем называть лагранжевым формализмом, основывается на том, что введение обобщенных импульсов, равно как и функции Гамильтона, не является обязательным. Исходя из лагранжиана системы, с помощью вариационного принципа получают уравнения движения, а сохраняющиеся

во времени динамические величины типа энергии — импульса, заряда и т. п. определяют с помощью теоремы Нётер как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и функций поля. В то время как в каноническом формализме основной независимой переменной является время, а координатные переменные играют роль параметров, в лагранжевом формализме все четыре координаты входят совершенно симметрично. Черты деталей аналогии с механической системой точек при этом выступают менее четко, зато изложение теории с самого начала становится релятивистски ковариантным. Конечные результаты в обоих случаях, разумеется, эквивалентны. Наше изложение будет построено на основе лагранжева формализма.