§ 8. Лагранжиан системы полей

В этом параграфе, не затрагивая вопросов взаимодействия различных полей по существу, мы вкратце рассмотрим общие принципы построения лагранжианов для систем полей и получим некоторые динамические переменные таких систем.

8.1. Лагранжиан взаимодействия и его симметрия.

При рассмотрении процессов, связанных со взаимодействием различных полей, исходят из лагранжиана

представляющего сумму лагранжианов свободных полей и члена именуемого лагранжианом взаимодействия.

Лагранжиан взаимодействия должен удовлетворять основному физическому требованию — обладать свойством релятивистской инвариантности. Он может поэтому представлять собой любую инвариантную алгебраическую или интегральную комбинацию функций взаимодействующих полей. Отвлекаясь от интегральных лагранжианов, приводящих к не рассматриваемым нами нелокальным теориям, получаем, что лагранжиан взаимодействия может быть сконструирован из функций поля путем свертывания произведений двух величин одинаковой тензорной размерности, как, например: двух скаляров, двух псевдоскаляров, двух векторов и т. п.

Так, взаимодействие скалярного поля со спинорным полем может быть построено по типу скаляр х скаляр:

по типу вектор х вектор:

Аналогично этому простейшие формы взаимодействия псевдоскалярного поля со спинорным полем имеют следующий вид:

Кроме релятивистской инвариантности, представляющей собой безусловное требование к теории, мы можем накладывать на лагранжиан также и другие ограничения.

Так, например, закон сохранения электрического заряда требует определенной структуры от лагранжиана, допускающей одновременные фазовые преобразования комплексно-сопряженных полевых функций, описывающих заряженные частицы:

Закон сохранения барионного заряда приводит к новым ограничениям на возможные структуры лагранжианов взаимодействия. Такие лагранжианы должны быть инвариантны относительно специального фазового преобразования

где В — все поля, описывающие барионы (частицы с единичным барионным зарядом), а - все поля, описывающие антибарионы.

Закон сохранения электрического заряда является абсолютным, т. е. выполняющимся во всех взаимодействиях. Аналогичные законы сохранения барионного и лептонного зарядов также имеют место во всех наблюдаемых процессах.

Вторую группу законов сохранения составляют законы, выполняющиеся лишь в некоторых взаимодействиях и отвечающие поэтому так называемым нарушенным симметриям. Так, сильные взаимодействия являются изотопически инвариантными. Этот эмпирический факт находит свое отражение в структуре лагранжиана сильных взаимодействий, который должен быть инвариантом относительно преобразований поворотов в фиктивном трехмерном изотопическом пространстве.

Так, например, изотопически инвариантный лагранжиан пион-нуклонного взаимодействия имеет вид

т. е. имеет структуру (псевдоекаляр х псевдоскаляр) относительно лоренцовых преобразований и (-вектор X -вектор) относительно изотопических вращений. Изотопическая симметрия не является абсолютным свойством (нарушенная симметрия) и не выполняется, например, в электромагнитных взаимодействиях. Соответственно лагранжианы взаимодействия нуклонов и пионов с электромагнитным полем не обладают изотопической симметрией.

Другим примером нарушенной симметрии является закон сохранения странности (гиперзаряда), выполняющийся в сильных и электромагнитных взаимодействиях, но не имеющий места в слабых взаимодействиях.