§ 8. Лагранжиан системы полей
В этом параграфе, не затрагивая вопросов взаимодействия различных полей по существу, мы вкратце рассмотрим общие принципы построения лагранжианов для систем полей и получим некоторые динамические переменные таких систем.
8.1. Лагранжиан взаимодействия и его симметрия.
При рассмотрении процессов, связанных со взаимодействием различных полей, исходят из лагранжиана
представляющего сумму лагранжианов свободных полей и члена
именуемого лагранжианом взаимодействия.
Лагранжиан взаимодействия
должен удовлетворять основному физическому требованию — обладать свойством релятивистской инвариантности. Он может поэтому представлять собой любую инвариантную алгебраическую или интегральную комбинацию функций взаимодействующих полей. Отвлекаясь от интегральных лагранжианов, приводящих к не рассматриваемым нами нелокальным теориям, получаем, что лагранжиан взаимодействия
может быть сконструирован из функций поля путем свертывания произведений двух величин одинаковой тензорной размерности, как, например: двух скаляров, двух псевдоскаляров, двух векторов и т. п.
Так, взаимодействие скалярного поля
со спинорным полем
может быть построено по типу скаляр х скаляр:
по типу вектор х вектор:
Аналогично этому простейшие формы взаимодействия псевдоскалярного поля
со спинорным полем
имеют следующий вид:
Кроме релятивистской инвариантности, представляющей собой безусловное требование к теории, мы можем накладывать на лагранжиан также и другие ограничения.
Так, например, закон сохранения электрического заряда требует определенной структуры от лагранжиана, допускающей одновременные фазовые преобразования комплексно-сопряженных полевых функций, описывающих заряженные частицы:
Закон сохранения барионного заряда приводит к новым ограничениям на возможные структуры лагранжианов взаимодействия. Такие лагранжианы должны быть инвариантны относительно специального фазового преобразования
где В — все поля, описывающие барионы (частицы с единичным барионным зарядом), а
- все поля, описывающие антибарионы.
Закон сохранения электрического заряда является абсолютным, т. е. выполняющимся во всех взаимодействиях. Аналогичные законы сохранения барионного и лептонного зарядов также имеют место во всех наблюдаемых процессах.
Вторую группу законов сохранения составляют законы, выполняющиеся лишь в некоторых взаимодействиях и отвечающие поэтому так называемым нарушенным симметриям. Так, сильные взаимодействия являются изотопически инвариантными. Этот эмпирический факт находит свое отражение в структуре лагранжиана сильных взаимодействий, который должен быть инвариантом относительно преобразований поворотов в фиктивном трехмерном изотопическом пространстве.
Так, например, изотопически инвариантный лагранжиан пион-нуклонного взаимодействия имеет вид
т. е. имеет структуру (псевдоекаляр х псевдоскаляр) относительно лоренцовых преобразований и (
-вектор X
-вектор) относительно изотопических вращений. Изотопическая симметрия не является абсолютным свойством (нарушенная симметрия) и не выполняется, например, в электромагнитных взаимодействиях. Соответственно лагранжианы взаимодействия нуклонов и пионов с электромагнитным полем не обладают изотопической симметрией.
Другим примером нарушенной симметрии является закон сохранения странности (гиперзаряда), выполняющийся в сильных и электромагнитных взаимодействиях, но не имеющий места в слабых взаимодействиях.