53.3. Аналитические свойства ...

Соотношения (18) и (29), однако, еще недостаточны для заключения об аналитических свойствах функции Дело в том, что определена соотношением (18) лишь при . Поэтому ее определение через вакуумные ожидания (29) не является однозначным. Для исследования этой неоднозначности удобно ввести в рассмотрение еще две функции:

Для записи левой части этих соотношений мы использовали соображения трансляционной и изотопической инвариантности. Индексы и а соответствуют свойствам

Ясно также, что вообще

Переходя к импульсному представлению

на основании (11) и (29) получаем, что

и потому, в частности,

Рассмотрим теперь аналитические свойства функции

учитывая, что вследствие условия причинности

Соотношение (35) определяет в области действительных значений компонент Из (36) следует, что может быть определенным образом продолжена в область комплексных Положим, что обладает отличной от нуля мнимой частью, т. е.

Тогда получим

Множитель будет играть роль обрезающего фактора, обеспечивающего сходимость интеграла. В самом деле, согласно (36) интеграл (38) фактически берется по области, в которой

а в этой области, по самой грубой оценке,

так что

где в соответствии с

В то же время по условию функция является интегрируемой, и потому интеграл

являющийся линейным функционалом в пространстве функций класса , удовлетворяющих условию ограниченности величин

существует и ограничен по абсолютной величине линейной комбинацией величин силу оценки (39) функция во всяком случае принадлежит к классу с любыми конечными значениями , так что интеграл (38) и его производные по

будут сходящимися. Таким образом, является аналитической функцией k в области (37). При этом, поскольку производные по компонентам х от пропорциональны степеням k, функция , ограниченная комбинацией величин на бесконечности не будет возрастать быстрее полинома по k степени не выше (разумеется, мы имеем здесь дело с областью (37), в которой неравенство (39) не ослабляется).

Переход к действительному k осуществляется несобственным предельным переходом

Аналогичными рассуждениями можно показать, что функция может быть продолжена в комплексную область

с теми же свойствами аналитичности, что и

Но так как в силу (34) при вещественных к с области, где обе эти функции совпадают, то их следует рассматривать как одну аналитическую функцию определенную в областях (37) и (41). Поскольку в указанной области эти функции совпадают также с которая из-за ковариантности и инвариантности относительно изменения знака времени зависит лишь от функция также зависит лишь от

Следовательно, функция аналитична в области значений аргумента, которая соответствует комплексным компонентам k таким, что

Введем обозначения:

так что

Теперь ясно, что условие (42) сводится к исключению из комплексной плоскости вещественной положительной полуоси

Таким образом, функция является аналитической функцией с линией разреза (44) и на бесконечности возрастает не быстрее полинома.

Определим граничные значения функции на верхнем и нижнем берегах разреза как соответствующие несобственные пределы:

Из (4), (32), (37), (41) и (43) теперь вытекает, что

Принимая во внимание (33), получаем также:

Замечая теперь, что на основании (34) разность (47) обращается в нуль при , получаем, что линией разреза будет не вся вещественная положительная полуось, а лишь ее часть

Эти предельные соотношения с учетом (43) можно записать в более компактном виде:

Рис. 66. Контур интегрирования при получении спектрального представления для функций Грина.

Комбинируя эти выражения с (32), имеем: