§ 56. Вывод дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния

56.1. Связь амплитуды рассеяния с «запаздывающим» и «опережающим» матричными элементами.

Считаем, что до акта рассеяния нуклон находится в состоянии, характеризуемом импульсом и дискретными спиновым и изотопическим индексами, в совокупности обозначенными буквой s, и что пион находится в состоянии с импульсом q и дискретными индексами q. Соответствующие характеристики нуклона и пиона в состоянии после рассеяния обозначим штрихованными символами — для нуклона, — для пиона). Для дальнейшего будет удобным выделить особо импульсы пиона q и обозначая совокупность остальных характеристик начального и конечного состояний одним символом:

Амплитуда рассеяния указанного процесса будет выражаться через матричный элемент

Выделив из амплитуд начального и конечного состояний пионные операторы прокоммутируем с S-матрицей по

формуле (52.14):

Для вычисления первого члена воспользуемся условием стабильности однонуклонного состояния. Выполняя затем коммутирование операторов, получим, что этот член равен произведению -функций. Во втором члене следует коммутировать также . Принимая во внимание (25.21), получаем отсюда следующее выражение для амплитуды рассеяния:

Используя условие трансляционной инвариантности (52.9) в подинтегральном выражении

и выполняя явно одно интегрирование, получаем из (2)

Входящий под знак интеграла матричный элемент, по аналогии с рассмотренными в §§ 53, 54 вакуумными ожиданиями и введенными в § 55 одночастичными матричными элементами (ср. (55.38)), уместно назвать причинным матричным элементом

В дальнейшем будет удобно использовать запаздывающий и опережающий матричные элементы

обладающие свойствами

а также «частотные» матричные элементы

связанные с соотношениями

Целесообразно ввести представления Фурье для функций

Из определений (5) — (6) вытекают следующие соотношения для — символ перестановки индексов :

откуда с учетом (10) имеем также

и

Заметим, что амплитуда рассеяния связана с соотношением

Подобно вышеизложенному будем сводить причинную функцию к запаздывающей или опережающей, имея в виду, что в силу свойств (7) и (8) для аналитического продолжения более удобны функции . С этой целью рассмотрим подробнее величину

Используем свойство полноты системы функций (52.10). Совершая замены типа

и пользуясь свойством (52.9), получим после интегрирования по

Так как согласно (16) нас интересует область, в которой

то аргумент -функции в сумме (17) можно представить в виде

Поскольку выражение (18) находится под знаком -функции, то должно быть

Это соотношение соответствует превращению частицы с маесо» М в две частицы с массами и . Но так как во всяком случае

то такое превращение невозможно по соображениям сохранения энергии и импульса. Отсюда вытекает, что выражение (18) существенно положительно, вследствие чего обращается в нуль.

Таким образом, в случае, когда матричные элементы берутся между состояниями реальных частиц, обладающими положительной энергией:

причем выполняется закон сохранения 4-импульса, то причинный матичный элемент совпадает с запаздывающим:

Принимая во внимание (16), находим отсюда

Отметим, что соотношение (20) можно получить и непосредственно, если перед коммутированием а в (1) воспользоваться условием

стабильности однонуклониого состояния и коммутировать не с

Совершенно аналогично можно установить, что