формуле (52.14):
Для вычисления первого члена воспользуемся условием стабильности однонуклонного состояния. Выполняя затем коммутирование операторов, получим, что этот член равен произведению
-функций. Во втором члене следует коммутировать также
. Принимая во внимание (25.21), получаем отсюда следующее выражение для амплитуды рассеяния:
Используя условие трансляционной инвариантности (52.9) в подинтегральном выражении
и выполняя явно одно интегрирование, получаем из (2)
Входящий под знак интеграла матричный элемент, по аналогии с рассмотренными в §§ 53, 54 вакуумными ожиданиями и введенными в § 55 одночастичными матричными элементами (ср. (55.38)), уместно назвать причинным матричным элементом
В дальнейшем будет удобно использовать запаздывающий и опережающий матричные элементы
обладающие свойствами
а также «частотные» матричные элементы
связанные с
соотношениями
Целесообразно ввести представления Фурье для функций
Из определений (5) — (6) вытекают следующие соотношения для
— символ перестановки индексов
:
откуда с учетом (10) имеем также
и
Заметим, что амплитуда рассеяния связана с
соотношением
Подобно вышеизложенному будем сводить причинную функцию
к запаздывающей или опережающей, имея в виду, что в силу свойств (7) и (8) для аналитического продолжения более удобны функции
. С этой целью рассмотрим подробнее величину
Используем свойство полноты системы функций (52.10). Совершая замены типа
и пользуясь свойством (52.9), получим после интегрирования по
Так как согласно (16) нас интересует область, в которой
то аргумент
-функции в сумме (17) можно представить в виде
Поскольку выражение (18) находится под знаком
-функции, то должно быть
Это соотношение соответствует превращению частицы с маесо» М в две частицы с массами и
. Но так как во всяком случае
то такое превращение невозможно по соображениям сохранения энергии и импульса. Отсюда вытекает, что выражение (18) существенно положительно, вследствие чего
обращается в нуль.
Таким образом, в случае, когда матричные элементы берутся между состояниями реальных частиц, обладающими положительной энергией:
причем выполняется закон сохранения 4-импульса, то причинный матичный элемент совпадает с запаздывающим:
Принимая во внимание (16), находим отсюда
Отметим, что соотношение (20) можно получить и непосредственно, если перед коммутированием а в (1) воспользоваться условием
стабильности однонуклониого состояния
и коммутировать
не с
Совершенно аналогично можно установить, что