§ 11. Скалярное и векторное поля

В этом параграфе мы рассмотрим простейшие бозонные поля, действительное и комплексное (псевдо)скалярные поля, пионное поле и поле заряженных векторных мезонов.

11.1. Действительное и комплексное скалярные поля.

В соответствии с формулами §§ 10.2 и 10.3 коммутаторы действительного скалярного поля имеют вид:

где перестановочная функция Паули—Йордана D и ее частотные части определены согласно (10.16), (10.17), (10.18).

Дифференцируя (26) по с учетом (10.16) и (10.18), получаем при

Основные динамические переменные квантового действительного скалярного поля получим по общему рецепту § 10, записывая соответствующие выражения для неквантованного поля с помощью нормальных произведений:

Заметим, что рассуждениями § 9, установившими смысл частотных частей функции поля не была определена их нормировка. Эта нормировка может теперь быть установлена с помощью выражения (4) для 4-вектора энергии-импульса. Вводя в рассмотрение амплитуду состояния, содержащего одну скалярную частицу с ненормированной функцией распределения по импульсам :

вычислим среднее значение оператора по этому состоянию. Выполняя коммутации операторов, получаем:

Переход к состоянию с фиксированным значением 4-импульса может быть выполнен в (5) и (6) путем локализации функции в малой окрестности значения (например, предельным процессом типа При этом и мы получаем:

Таким образом, среднее значение оператора по состоянию с фиксированным значением 4-импульса в точности равно (что находится в соответствии с результатами предыдущего параграфа, см. петит), и следовательно, нормировка операторов в выражении (4) является правильной.

В отличие от действительного поля комплексное скалярное поле, описывающее заряженные частицы с обоими знаками заряда, характеризуется двумя комплексно сопряженными функциями

Переходя к рассмотрению частотных частей функций находим в соответствии с установленными в § 10 свойствами для уменьшать, а для увеличивать заряд поля, что оператор описывает рождение частицы с отрицательным зарядом, оператор уничтожение частицы с положительным зарядом, оператор рождение частицы с положительным зарядом и оператор — уничтожение частицы с отрицательным зарядом.

В § 10 было также установлено, что скалярное поле квантуется по Бозе—Эйнштейну и что операторы, относящиеся к частицам с различными зарядами, всегда коммутируют между собой. Отсюда вытекает, что правила перестановки операторов комплексного скалярного поля имеют следующий вид:

а все остальные коммутаторы равны нулю.

Соответствующие формулы в х-представлении были получены и § 10.3 (см. (10.19), (10.20) и (10.21)).

Основные динамические величины получим, записав формулы (3.32), (3.33), (3.39) и (3.40) с помощью нормальных произведений. Получаем:

Из структуры операторов и Q вытекает, что есть оператор рождения частицы с энергией-импульсом k и зарядом — оператор уничтожения той же частицы; — оператор рождения частицы с энергией-импульсом k и зарядом — оператор уничтожения той же частицы.

Отметим, что простейшее комплексное (псевдо)скалярное поле, как это отмечалось в § 2.4, соответствует К-мезонам. Как известно, К-мезоны образуют два изотопических дублета — дублет «основных» частиц и дублет античастиц Изложенный формализм как бы соответствует заряженным компонентам этих дублетов . Для описания всех четырех К-мезонов необходимо заменить изотопический скаляр на двухкомпонентный изоспинор

и учесть связь (2.24) между третьей компонентой изотопического спина и электрическим зарядом. Получаем вместо (8), (10) и (11)

Здесь — операторы рождения и уничтожения «основного» дублета - антидублета .