§ 57. Дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния вперед

57.1. Переход к вещественным величинам.

В § 56.3 было установлено, что для любого Е, не лежащего на действительной оси имеет место соотношение (56.43), причем функция является продолжением амплитуды пион-нуклонного рассеяния вперед на комплексные значения энергетической переменной Е. Согласно (56.44) физическим значениям амплитуды рассеяния соответствуют значения функции на верхнем берегу правого разреза. Интеграл в правой части (56.43) распространяется на физическую область , а также на левый разрез . Покажем прежде всего, что числитель подынтегрального выражения в интеграле по физической области выражается через физическую амплитуду рассеяния.

Рассмотрим с этой целью свойства эрмитовости функций . Заметим прежде всего, что из определения (56.5) непосредственно следует:

Отсюда в свою очередь вытекает соотношение эрмитовости в импульсном представлении

С другой стороны, на основании (56.13) имеем

Комбинируя (2) и (3), получаем

Здесь введено обозначение

Переходя в (4) к аргументам Е и , получаем также

Соотношение (6) является очень важным, так как из него непосредственно вытекает, что линейные комбинации

и

являются эрмитовыми:

и представляют собой эрмитову и антиэрмитову части функции , т. е.

Таким образом, согласно (8), числитель подынтегрального выражения в физическом интеграле в правой части (56.43) представляет собой антиэрмитову часть физической амплитуды .

Выберем теперь какое-либо значение комплексного аргумента Е над физическим разрезом и проведем предельный переход на действительную ось, т. е.

Пользуясь для левой части уравнения (56.43) формулой (56.44), а для правой — (8), получаем

причем интеграл по физической области следует рассматривать как интеграл в смысле главного значения.

Полюсные члены в правой части (11) можно формально включить в интеграл, если положить, что антиэрмитова часть

содержит одночастичный подпороговый вклад

Эта формула соответствует связям (8), (56.15) и представляет собой вклад однонуклонного члена из суммы (56.29) в антиэрмитову часть амплитуды.

Этот член содержит произведения однонуклонных матричных элементов тока которые из соображений изотопической и лоренцевой ковариантности могут быть представлены в виде

где — некоторая функция квадрата 4-вектора .

В интересующем нас случае матричные элементы типа (13) берутся между состояниями, для которых Вещественную постоянную

назовем постоянной пион-нуклонного взаимодействия. Отметим, что такое определение константы -взаимодействия является совершенно естественным. Если воспользоваться соображениями соответствия с лагранжианом пион-нуклонного взаимодействия в виде

и вычислить левую часть для «свободного пионного тока»

то мы получим в правой части (13) вместо . С другой стороны, матричный элемент в действительности содержит все высшие поправки и соответствует диаграмме, изображенной на рис. 70. Заштрихованный круг здесь описывает вершинную функцию, а крестиком (X) символически обозначен пионный ток .

Рис. 70.

Таким образом, матричный элемент (13) описывает вершинную функцию, изображенную на рис. 70, которая в общем случае является функцией квадратов всех трех входящих в нее 4-импульсов . В случае (13) два из этих квадратов фиксированы и мы приходим к функции одной переменной . Эта функция известна как пион-нуклонный формфактор. При она является действительной.

Следует отметить, что для действительных. 4-векторов , лежащих на массовой поверхности величина

может принимать значения . Поэтому точка не является физической точкой. Выбор этой точки для определения перенормированной константы -взаимо-действия является результатом соглашения и определяется соображениями формального удобства, так как именно величина (14) входит в однонуклонный член дисперсионных соотношений.

Как хорошо известно, процедура введения мезонного заряда и в обычной теории не является однозначной. Дело заключается в том, что из-за отличия массы мезона от нуля радиус действия ядерных сил является конечным. Это приводит к невозможности (в противоположность электродинамике) построить классическую макроскопическую мезодинамику и связать процедуру определения мезонного заряда с макроскопическими экспериментами наподобие опыта Милликена и опыта с отклонением бузинных шариков. Ввиду этого мезонньш заряд g приходится вводить тем или иным образом с помощью исходных величин теории и определять затем его численное значение путем сравнения результатов теории с данными микроскопических экспериментов. Ясно, что способ введения мезонного заряда сам по себе не является существенным, однако какой-либо конкретный способ определения численного значения g необходимо фиксировать.

В соответствии с (13) формула (14) с точки зрения сбычной теории соответствует определению

где — затравочный заряд, входящий в лагранжиан взаимодействия (8.8), а Г - вершинный оператор. Фиксируя процедуру доопределения хронологических произведений так, чтобы

получаем возможность отождествить

Отметим еще, что функция не имеет прямого отношения к реальным процессам, поскольку испускание (или поглощение) реального мезона реальным нуклоном запрещено законом сохранения энергии-импульса.

Подставляя (13) в первый член правой части (56.17), получаем однонуклонные вклады в виде

причем

Используя связи (56.15), (8), с помощью (17) и (18) можем теперь выразить коэффициенты в однополюсных членах (12) через . Эту процедуру удобно выполнить, явно учитывая спиновую и изотопическую структуру амплитуды пион-нуклонного рассеяния.