Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 57. Дисперсионные соотношения для пион-нуклонного рассеяния вперед
57.1. Переход к вещественным величинам.
В § 56.3 было установлено, что для любого Е, не лежащего на действительной оси
имеет место соотношение (56.43), причем функция
является продолжением амплитуды пион-нуклонного рассеяния вперед на комплексные значения энергетической переменной Е. Согласно (56.44) физическим значениям амплитуды рассеяния соответствуют значения функции
на верхнем берегу правого разреза. Интеграл в правой части (56.43) распространяется на физическую область
, а также на левый разрез
. Покажем прежде всего, что числитель подынтегрального выражения в интеграле по физической области выражается через физическую амплитуду рассеяния.
Рассмотрим с этой целью свойства эрмитовости функций
. Заметим прежде всего, что из определения (56.5) непосредственно следует:
Отсюда в свою очередь вытекает соотношение эрмитовости в импульсном представлении
С другой стороны, на основании (56.13) имеем
Комбинируя (2) и (3), получаем
Здесь введено обозначение
Переходя в (4) к аргументам Е и
, получаем также
Соотношение (6) является очень важным, так как из него непосредственно вытекает, что линейные комбинации
и
являются эрмитовыми:
и представляют собой эрмитову и антиэрмитову части функции
, т. е.
Таким образом, согласно (8), числитель подынтегрального выражения в физическом интеграле в правой части (56.43) представляет собой антиэрмитову часть физической амплитуды
.
Выберем теперь какое-либо значение комплексного аргумента Е над физическим разрезом
и проведем предельный переход на действительную ось, т. е.
Пользуясь для левой части уравнения (56.43) формулой (56.44), а для правой — (8), получаем
причем интеграл по физической области следует рассматривать как интеграл в смысле главного значения.
Полюсные члены в правой части (11) можно формально включить в интеграл, если положить, что антиэрмитова часть
содержит одночастичный подпороговый вклад
Эта формула соответствует связям (8), (56.15) и представляет собой вклад однонуклонного члена из суммы (56.29) в антиэрмитову часть амплитуды.
Этот член содержит произведения однонуклонных матричных элементов тока
которые из соображений изотопической и лоренцевой ковариантности могут быть представлены в виде
где
— некоторая функция квадрата 4-вектора
.
В интересующем нас случае матричные элементы типа (13) берутся между состояниями, для которых
Вещественную постоянную
назовем постоянной пион-нуклонного взаимодействия. Отметим, что такое определение константы
-взаимодействия является совершенно естественным. Если воспользоваться соображениями соответствия с лагранжианом пион-нуклонного взаимодействия в виде
и вычислить левую часть для «свободного пионного тока»
то мы получим в правой части (13) вместо
. С другой стороны, матричный элемент
в действительности содержит все высшие поправки и соответствует диаграмме, изображенной на рис. 70. Заштрихованный круг здесь описывает
вершинную функцию, а крестиком (X) символически обозначен пионный ток
.
Рис. 70.
Таким образом, матричный элемент (13) описывает вершинную функцию, изображенную на рис. 70, которая в общем случае является функцией квадратов всех трех входящих в нее 4-импульсов
. В случае (13) два из этих квадратов фиксированы
и мы приходим к функции одной переменной
. Эта функция известна как пион-нуклонный формфактор. При
она является действительной.
Следует отметить, что для действительных. 4-векторов
, лежащих на массовой поверхности
величина
может принимать значения
. Поэтому точка
не является физической точкой. Выбор этой точки для определения перенормированной константы
-взаимо-действия является результатом соглашения и определяется соображениями формального удобства, так как именно величина (14) входит в однонуклонный член дисперсионных соотношений.
Как хорошо известно, процедура введения мезонного заряда и в обычной теории не является однозначной. Дело заключается в том, что из-за отличия массы мезона
от нуля радиус действия ядерных сил является конечным. Это приводит к невозможности (в противоположность электродинамике) построить классическую макроскопическую мезодинамику и связать процедуру определения мезонного заряда с макроскопическими экспериментами наподобие опыта Милликена и опыта с отклонением бузинных шариков. Ввиду этого мезонньш заряд g приходится вводить тем или иным образом с помощью исходных величин теории и определять затем его численное значение путем сравнения результатов теории с данными микроскопических экспериментов. Ясно, что способ введения мезонного заряда сам по себе не является существенным, однако какой-либо конкретный способ определения численного значения g необходимо фиксировать.
В соответствии с (13) формула (14) с точки зрения сбычной теории соответствует определению
где
— затравочный заряд, входящий в лагранжиан взаимодействия (8.8), а Г - вершинный оператор. Фиксируя процедуру доопределения хронологических произведений так, чтобы
получаем возможность отождествить
Отметим еще, что функция
не имеет прямого отношения к реальным процессам, поскольку испускание (или поглощение) реального мезона
реальным нуклоном
запрещено законом сохранения энергии-импульса.
Подставляя (13) в первый член правой части (56.17), получаем однонуклонные вклады в виде
причем
Используя связи (56.15), (8), с помощью (17) и (18) можем теперь выразить коэффициенты в однополюсных членах (12) через
. Эту процедуру удобно выполнить, явно учитывая спиновую и изотопическую структуру амплитуды пион-нуклонного рассеяния.