§ 41. Поляризация вакуума и аномальный магнитный момент электрона

41.1. Поляризация вакуума.

Перейдем теперь к некоторым приложениям изложенной выше общей формальной теории Рассмотрим прежде всего вопрос об изменении состояния вакуума под действием внешнего неквантованного тока или, что эквивалентно, под действием заданного внешнего потенциала связанного с током J соотношением

Как может показаться, эта задача имеет чисто теоретический интерес ввиду непосредственной ненаблюдаемости изменения свойств вакуума. Однако изменение свойств вакуума под действием внешнего электромагнитного поля входит составной частью в ряд наблюдаемых эффектов (сдвиг уровней атомных электронов, рассеяние света на свете и т. д.).

Для ее решения удобно рассмотреть среднее наблюдаемое значение оператора электромагнитного потенциала. Введем в лагранжиан в соответствии с вышеуказанным (§ 40.5) общим рецептом добавочный член

Тогда на основании (40.37) среднее наблюдаемое значение электромагнитного потенциала равно

Здесь — амплитуда вакуума реальных частиц, изменившегося под действием внешнего тока а функция при всех . Согласно общим положениям не зависит от специального выбора g. Физический смысл имеет, очевидно, случай, когда внешний ток можно считать не зависящим от времени, поскольку в противном случае этот ток будет вызывать реальные процессы взаимного превращения частиц. Мы будем поэтому рассматривать случай, в котором

Тогда можно определить как низшее энергетическое состояние динамической системы при наличии .

Заметим прежде всего, что

где — амплитуда состояния вакуума свободных полей. Воспользовавшись независимостью выражения (3) от конкретного вида функции g, совершим обычный предельный переход . Тогда получим:

где величина представляет собой матрицу рассеяния в случае, когда взаимодействие равно нулю в отдаленном прошлом и в отдаленном будущем.

Поскольку при подобном адиабатическом включении и выключении взаимодействия невозможны реальные процессы рождения частиц, то имеем также

где, очевидно,

причем Следовательно,

Подставляя (9) в (6), получаем:

Далее окажется удобным выразить правую часть уравнения (10) через полную функцию Грина фотона. Рассмотрим для этого выражение

С помощью (10) получаем:

Укажем смысл операции повторного варьирования по внешнему току в правой части (11). Матрица может быть представлена совокупностью диаграмм, которые наряду с обычными вершинами содержат также вершины, соответствующие члену лагранжиана из которых выходит по одной фотонной линии (вершины

такого типа уже встречались при рассмотрении процесса тормозного излучения, § 26). В результате варьирования по J соответствующая фотонная линия приобретает свободный конец, а под знаком Т-произведения появляется оператор Поэтому, выполняя операцию повторного варьирования в правой части (И) в явном виде, находим, что величина

представляет собой сумму коэффициентных функций, соответствующих внутренним линиям всевозможных диаграмм с двумя свободными фотонными концами. Таким образом, D с точностью до множителя является функцией Грина фотона, движущегося во внешнем поле тока J. Мы можем написать теперь:

Полученная формула позволяет написать функциональное разло жение «по степеням» J, исходя из соответствующих разложений для . Имея в виду дальнейшие приложения, мы выполним сейчас это разложение в явном виде, считая внешний ток J малой величиной и удерживая в (13) лишь главные члены. Полагая в (13) , получаем:

Здесь мы использовали то обстоятельство, что выражение

в пределе соответствует диаграммам с одной внешней фотонной линией и равно нулю. Заметим также, что выражение

представляет собой полную фотонную функцию Грина в отсутствии внешних токов.

Сокращая в (14) на и интегрируя по , получаем:

Переходя к импульсному представлению

с учетом уравнения непрерывности внешнего тока получаем:

В рассматриваемом частном случае (4), когда J не зависит от времени, мы можем положить:

Подставляя это выражение в (16) и (15), находим:

Из (19) следует, что «пространственная часть» фотонной функции Грина представляет собой эффективный потенциал, создаваемый единичным зарядом в результате его взаимодействия с вакуумом электрон-позитронов и фотонов (для этого достаточно положить Воспользовавшись тем, что для свободного поля при потенциал (19) переходит в кулоновский, представим его в общем случае в виде

Отклонения введенной здесь функции от единицы соответствуют отклонению потенциала от кулоновского (аналогичную роль в импульсном представлении играет функция d). Это отклонение эффективного потенциала от кулоновского является следствием поляризации вакуума и может быть наглядным образом связано с эффектом экранизации заряда, внесенного в вакуум, за счет рождения в последнем виртуальных электрон-позитронных пар. Функция при этом характеризует относительную степень экранизации. Для получения ее конкретного вида необходимо обратиться к соответствующей части фотонной функции распространения.

Теория не располагает полным выражением для этой функции (см., однако, ниже 50.2). Для наших целей можно воспользоваться разложением d. в ряд по степеням первый член которого был получен в § 35.1.

Рассмотрим сначала случай больших . Переходя в интеграле (20) к новой переменной и выполняя интеграцию но угловым переменным, преобразуем его к виду

Отсюда следует, что для рассмотрения асимптотики больших необходимо иметь сведения о поведении функции d при малых Из (35.6) находим:

Подставляя это выражение в (21), получаем, что при больших (по сравнению с или в обычных единицах — с стремится к единице

(Это свойство не меняется при учете высших приближений.)

Поэтому постоянную следует отождествлять с величиной наблюдаемого заряда. Вид функции при малых может быть получен согласно (21) путем исследования асимптотической формы ) при больших №. Воспользовавшись формулой (35.12), имеем:

Отсюда непосредственной интеграцией получаем асимптотику при малых в виде (Швингер (1949а))

Таким образом, при малых эффективная плотность возрастает и в пределе имеет логарифмическую особенность. Важно, однако, подчеркнуть, что формула (23) получена с помощью теории возмущений и, следовательно, справедлива, грубо говоря, лишь в той области, где второй член заметно меньше первого. Поэтому какие-либо обоснованные заключения об истинном поведении при могут быть сделаны лишь с помощью рассуждений, не связанных с теорией возмущений.