§ 36. Некоторые модели сильных взаимодействий
В этом параграфе мы рассмотрим три достаточно простые квантовополевые модели, иногда используемые при качественном обсуждении взаимодействия мезонов и нуклонов.
36.1. Модель
Сначала возьмем простейшую модель вещественного скалярного поля с нелинейным кубичным членом в лагранжиане
Этот член можно рассматривать как взаимодействие поля
самого с собой. После перехода к представлению взаимодействия получаем лагранжиан взаимодействия в виде
Отметим сразу же, что волновое поле, определяемое лагранжианом (1), по своей природе совершенно фиктивно, однако его изучение представляет определенный методический интерес, поскольку лагранжиан (2) наиболее прост с аналитической точки зрения, а описание этого поля в схеме теории взаимодействия основывается на единственной, самой простой причинной функции скалярного поля
Проведем согласно общему рецепту § 32 классификацию диаграмм, соответствующих расходящимся матричным элементам.
Рис. 47. Расходящиеся диаграммы модели
Из структуры лагранжиана «взаимодействия» (2) следует, что в каждой вершине диаграмм Фейнмана встречаются три одинаковые линии.
Ввиду того, что степень полинома в числителе причинной функции (3) равна нулю, из (32.1) находим, что максимальный индекс вершины отрицателен:
и лагранжиан (2), таким образом, относится к ренормируемому типу. Формула (32.5) позволяет теперь провести полную классификацию расходящихся диаграмм.
Начнем рассмотрение с вакуумных диаграмм
которые в данном случае всегда содержат четное число вершин. Из (32.5) следует, что индекс вакуумных диаграмм неотрицателен лишь при
. В первом случае положение соответствует диаграмме, изображенной на рис. 47, а, причем
и мы приходим к квадратичной расходимости, а во втором (рис. 47, б и в)
и расходимость носит логарифмический характер.
Для диаграмм, имеющих одну внешнюю линию
число вершин в рассматриваемом случае (2) всегда нечетно. Диаграммы с одной вершиной при одной внешней линии не существует, а диаграмма с тремя вершинами
изображенная на рис. 47, г,
приводит к логарифмической расходимости
Других расходимостей в случае
не возникает.
Наконец, единственной расходящейся диаграммой при двух внешних линиях является диаграмма с двумя вершинами (рис. 47, д). Ее индекс равен нулю, и соответствующая расходимость — логарифмическая.
Диаграммами, изображенными на рис. 47, исчерпываются все сильно связные расходящиеся диаграммы модели
Подчеркнем, что наличие конечного числа расходящихся диаграмм является важной отличительной чертой лагранжиана (2). Как мы увидим ниже, в других теориях, как правило, в любых сколь угодно больших порядках по константе связи, существуют расходящиеся диаграммы и их общее число оказывается бесконечным.
В рассматриваемом случае расходимости содержатся лишь во втором, третьем и четвертом порядках. Соответствующие регуляризующие квазилокальные операторы имеют поэтому вид
и после выполнения интеграций приводят к контрчленам
причем константы А, В и С при
расходятся логарифмически, а
— квадратично.
С перенормировочиой точки зрения контрчлены С и
являются несущественными аддитивными константами, член
приводит к перенормировке массы, а член
осуществляет аддитивную перенормировку потенциала и дополнительную перенормировку массы:
где
а
суть константы, алгебраически выражающиеся через
. Заметим также, что из-за отсутствия дифференциальных операторов в квазилокальных операторах, зависящих от функций поля
, контрчлены для уравнения Шредингера имеют вид
Таким образом, в модели (2) отсутствуют бесконечные перенормировки функции поля
и константы связи g. Единственной физически существенной расходимостью является расходимость, соответствующая собственно-энергетической диаграмме второго порядка, изображенной на рис. 47, д. Эта расходимость приводит к перенормировке массы. Изучим ее более подробно.
Диаграмма рис. 47, д дает добавку к свободной функции Грина поля
или, в импульсном представлении,
Массовый оператор второго порядка может быть представлен в виде
где
Интеграл
в импульсном представлении имеет вид
и расходится логарифмически. Для его вычисления следует использовать
-операцию. Производя вычитание в точке
, получаем после стандартных вычислений с помощью формул (27.6), (27.7), (27.13)
Проводя в правой части (13) ряд преобразований, использованных выше в § 35.1 при вычислении поляризационного оператора, приведем 1% к спектральной форме
Этот интеграл может быть вычислен до конца и представлен в виде
где
определено в (35.11).
Параметр к следует выбирать таким образом, чтобы вычитаемая константа, переходящая в пределе снятия промежуточной регуляризации в массовый контрчлен
была бы действительной, а контрчлен
— эрмитовым. Как следует из (14) и (11), это будет обеспечено при
В частности, можно положить
, т. е. вычесть диаграмму собственной энергии на «массовой поверхности». В этом случае
или
Вычитание радиационных поправок к одночастичной функции Грина на массовой поверхности удобно тем, что при этом полная функция Грина
имеет ту же полюсную структуру при
, что и свободная функция Грина
Введенная здесь безразмерная функция d конечна при
. В нашем случае, согласно (9), (10) и (17),
Это выражение конечно в окрестности массовой поверхности
имеет корневую особенность на двухчастичном пороге
и логарифмическую в ультрафиолетовой асимптотике