14.3. Обращение времени.

В отличие от преобразований С, Р и СР, операцию обращения времени в пространстве состояний можно реализовать лишь с помощью антиунитарного оператора UT (Вигнер (1959)). Антиунитарный оператор обращения времени определяется соотношением (сравни с определением унитарного оператора (9.9))

Из (9) вытекает также, что

и

Таким образом, антиунитарный оператор, как и унитарный, сохраняет норму. Условие совместности (9.15) для антиунитарного преобразования несколько изменяет форму. Действительно, рассмотрим матричный элемент некоторого оператора А между состояниями и выразим его через матричный элемент преобразованного оператора А между состояниями и Используя (10) и (11), получим

Таким образом, преобразование оператора имеет вид

и при взятии матричных элементов начальное и конечное состояния меняются местами. Инвариантность оператора Л относительно Т-преобразования поэтому означает, что

Это условие сводится к условию коммутативности операторов и лишь в том случае, когда оператор эрмитов, т. е. .

Учитывая антиунитарный характер оператора UT, преобразование Т для скалярного поля запишем в виде

Аналогично для векторного поля:

Г-преобразование спинорного поля ищем в виде

где, как и в случае Р- и С-преобразований, положим

Без ограничения общности мы можем положить . Тогда поле преобразуется следующим образом:

Свойства матрицы Г устанавливаются из условия инвариантности лагранжиана свободного спинорного поля

Последний член, очевидно, равен , откуда следует, что . Учитывая, что два первые члена можно представить в форме

Чтобы обеспечить инвариантность этих членов при Г-преобразовании, достаточно потребовать выполнения условия

(При это условие опять дает ) Дополнительно на матрицу Г обычно налагают условие

Подчеркнем, что при выполнении проведенных выше преобразований можно считать, что операция эрмитова сопряжения, обозначаемая символом не действует на комплексные числа и т. п. Это обстоятельство связано с тем, что для антиунитарного

оператора UT при любом комплексном к выполняется равенство