1.1. Фотозффект. Найти работу выхода $A$ с поверхности некоторого металла, если при поочередном освещении его электромагнитным излучением с длинами волн $\lambda_{1}=0,35$ мкм и $\lambda_{2}=0,54$ мкм максимальная скорость фотоэлектронов отличается в $\eta=2,0$ раза. Р е ш ен и е. Запишем уравнение Эйнштейна (1.3) для обеих длин волн (частот):
\[
\begin{array}{l}
\hbar \omega_{1}=A+m v_{1}{ }^{2} / 2, \\
\hbar \omega_{2}=A+m v_{2}{ }^{2} / 2,
\end{array}
\]
где $v_{1}$ и $v_{2}$ – максимальные скорости фотоэлектронов, причем $v_{1}>v_{2}$, поскольку в данном случае $\omega_{1}>\omega_{2}$. Из уравнений (*) составим отношение
\[
\frac{\hbar \omega_{1}-A}{\hbar \omega_{2}-A}=\frac{v_{1}^{2}}{{v_{2}}^{2}}=\eta^{2} .
\]
Из этого соотношения, учитывая, что $\omega=2 \pi c / \lambda$, находим:
\[
A=\frac{2 \pi \hbar c}{\lambda_{2}} \frac{\eta^{2}-\lambda_{2} / \lambda_{1}}{\eta^{2}-1}=3,04 \cdot 10^{-12} \text { эрг }=1,9 \text { эВ. }
\]
1.2. При некоторой задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda_{0}$, прекращается. Изменив длину волны излучения в $n=1,5$ раза, установили, что для прекращения фототока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов в $\eta=2,0$ раза. Работа выхода электрона с поверхности лития $A=2,39$ эВ. Вычислить $\lambda_{0}$.
Р еш е н и е. Запишем в соответствии с уравнением (1.3) и условием задачи два уравнения:
\[
e V_{3}=\frac{\alpha}{\lambda_{0}}-A, \quad \eta e V_{3}=\frac{\alpha}{\lambda_{0} / n}-A,
\]
где $\alpha=2 \pi \hbar$. Разделив второе уравнение на первое, получим:
\[
\eta=\frac{\alpha n-A \lambda_{0}}{\alpha-A \lambda_{0}}
\]
откуда
\[
\lambda_{0}=\frac{\alpha(\eta-n)}{A(\eta-1)}=\frac{2 \pi \hbar c(\eta-n)}{A(\eta-1)}=0,26 \text { мкм. }
\]
1.3. Ток, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освецении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda=262$ нм, прекращается, когда внешняя разность потенциалов (показания вольтметра) достигает значения $V_{1}=-1,5$ В. Имея в виду, что работа выхода электрона с поверхности цинка $A=3,74$ эВ, определить значение и полярность внешней контактной разности потенциалов между катодом и анодом данного фотоэлемента. Р еш е н и е. Из уравнений (1.3) и (1.5) следует:
\[
\hbar \omega=A+e V_{3}=A+e\left(V_{2}-V_{1}\right),
\]
Pиc. 1.14 где $V_{2}$ – искомая контактная разность потенциалов. Отсюда
\[
e V_{2}=2 \pi \hbar c / \lambda-A+e V_{1}=-0,5 \text { эВ. Значит (рис. 1.14) }
\]
\[
V_{2}=-0,5 \mathrm{~B} .
\]
1.4. Коротковолновая граница рентгеновского спектра. После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в $\eta=2,0$ раза первоначальная длина волны $\lambda_{0}$ коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на $\Delta \lambda=50$ пм. Найти $\lambda_{0}$.
Р е ш е н и е. В данном случае *изменилась на $\Delta \lambda$ – это значит уменьшилась на такую величину. Поэтому согласно (1.8) можно записать:
\[
\lambda_{0}=\frac{a}{V_{1}}, \quad \lambda_{0}^{\prime}=\lambda_{0}-\Delta \lambda=\frac{a}{V_{2}},
\]
где $V_{1}$ и $V_{2}$ – напряжения на рентгеновской трубке, $a$ – постоянная.
Разделив второе равенство на первое, получим:
\[
\frac{\lambda_{0}-\Delta \lambda}{\lambda_{0}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{\eta} .
\]
Отсюда находим
\[
\lambda_{0}=\frac{\eta}{\eta-1} \Delta \lambda=0,10 \mathrm{нм} .
\]
1.5. Метод изохромат. В сплошном рентеновском спектре интенсивность $I$ излучения с длиной волны $\lambda_{0}=50$ пм зависит следующим образом от напряжения $V$ на рентгеновской трубке:
\[
\begin{array}{ccccc}
V, \text { кВ } & 29 & 28 & 27 & 26 \\
I \text {, отн. ед. } & 9,0 & 6,0 & 3,5 & 1,7
\end{array}
\]
Вычислить с помощью соответствующего графика постоянную Планка $\hbar$.
Решен и е. Изобразим график зависимости $I(V)$, экстраполируя его к нулю, как показано на рис. 1.15, находим $V_{0}=25$ кВ. При этом напряжении излучение с длиной волны $\lambda_{0}$ становится коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра. Значит, согласно (1.9)
\[
\hbar=\frac{\lambda_{0} e V_{0}}{2 \pi c}=1.06 \cdot 10^{-27} \text { эрг.c. }
\]
1.6. Комптоновские электроны. Фотон с энергией $\varepsilon$ рассеялся под углом $\theta$ на покоившемся свободном электроне. Oпределить угол $\varphi$, под которым вылетел электрон отдачи относительно направления налетевшего фотона.
Решени е. Из треугольника импульсов (рис. 1.16), выражающего собой заРис. 1.16 кон сохранения импульса, видно, что
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{k^{\prime} \sin \theta}{k-k^{\prime} \cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\lambda^{\prime} / \lambda-\cos \theta} .
\]
Согласно формуле (1.20), определяющей комптоновское смещение,
\[
\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda}=1+\frac{\lambda_{C}}{\lambda}(1-\cos \theta) .
\]
Подставив (2) в (1), получим после несложных преобразований:
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\sin \theta}{(1-\cos \theta)\left(1+\lambda_{c} / \lambda\right)}=\frac{\operatorname{ctg}(\theta / 2)}{1+\varepsilon / m c^{2}},
\]
где учтено, что $\lambda_{c} / \lambda=2 \pi \hbar / m c \lambda=\varepsilon / m c^{2}$.
1.7. Эффект Комптона. При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны $\lambda$ обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна $K_{m}$. Определить $\lambda$.
Р е ш е и е. В соответствии с законами сохранения энергии и импульса имеем
\[
\varepsilon-\varepsilon^{\prime}=K_{m}, \quad \varepsilon / c+\varepsilon^{\prime} / c=p,
\]
где $\varepsilon$ и $\varepsilon^{\prime}-$ энергия фотона до и после столкновения с электроном, $p$ – его импульс отдачи. Во второй формуле учтено согласно условию задачи, что все три импульса должны быть коллинеарными (рис. 1.17), чтоРис. 1.17 бы импульс $p$ был максимальным.
Умножив все слагаемые второго из уравнений (1) на $c$ и сложив после этого полученное выражение с первым уравнением, найдем
\[
2 \varepsilon=K_{m}+p c .
\]
В релятивистской динамике связь между импульсом и кинетической энергией электрона легко получить с помощью инвариантного выражения $E^{2}-p^{2} c^{2}=m^{2} c^{4}$, где $E=m c^{2}+K$, откуда $p c=$ $=\sqrt{K_{m}\left(K_{m}+2 m c^{2}\right)}$. Тогда уравнение (2) примет вид
\[
2 \hbar \frac{2 \pi c}{\lambda}=K_{m}+\sqrt{K_{m}\left(K_{m}+2 m c^{2}\right)} .
\]
Из последнего уравнения находим:
\[
\lambda=\frac{4 \pi \hbar c}{K_{m}\left(1+\sqrt{1+2 m c^{2} / K_{m}}\right)} .
\]
Это выражение можно представить и в другом виде, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{1+2 m c^{2} / K_{m}}-1$. Тогда
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{m c}\left(\sqrt{1-\frac{2 m c^{2}}{K_{m}}-1}\right) .
\]
1.8. Обратный эффект Комптона. При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол $\theta$, а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.
Р е ше н и е. Согласно закону сохранения импульса
\[
\hbar \mathbf{k}+\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}^{\prime},
\]
где $\mathbf{k}$ и $\mathbf{k}^{\prime}$ – волновые векторы первоначального и рассеянного фотонов, р – импульс электрона (рис. 1.18). Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем
Рис. 1.18
\[
p^{2} c^{2}=\varepsilon^{2}+\varepsilon^{\prime 2}-2 \varepsilon \varepsilon^{\prime} \cos \theta,
\]
где учтено, что $k=\omega / c, k^{\prime}=\omega^{\prime} / c$; $\varepsilon$ и $\varepsilon^{\prime}-$ энергия фотона до и после рассеяния.
На основании закона сохранения энергии запишем
\[
\varepsilon+E=\varepsilon^{\prime}+m c^{2},
\]
где $E$ – полная энергия электрона, $m$ – его масса покоя. Из этого равенства найдем $E^{2}$ :
\[
E^{2}=\varepsilon^{2}+\varepsilon^{\prime 2}+m^{2} c^{4}-2 \varepsilon \varepsilon^{\prime}-2 \varepsilon m c^{2}+2 \varepsilon^{\prime} m c^{2} .
\]
Теперь воспользуемся инвариантностью выражения $E^{2}-p^{2} c^{2}$, которое равно $m^{2} c^{4}$, а именно, вычтем (1) из (2). В результате после сокращений получим:
\[
\varepsilon \varepsilon^{\prime}(1-\cos \theta)=m c^{2}\left(\varepsilon^{\prime}-\varepsilon\right),
\]
или
\[
\frac{\hbar}{m c^{2}}(1-\cos \theta)=\frac{1}{\omega}-\frac{1}{\omega^{\prime}}=\frac{\lambda-\lambda^{\prime}}{2 \pi c} .
\]
Из последнего выражения находим
\[
\lambda^{\prime}-\lambda=-\frac{2 \pi \hbar}{m c}(1-\cos \theta)<0,
\]
т. е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.
1.9. Давление света. Плоский световой поток интенсивности $I, \mathrm{~B} / \mathrm{m}^{2}$ освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой.
$\mathrm{P}$ е ш е и и для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой $\omega$. Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.
Сначала найдем силу $\mathrm{d} F$, действующую на элементарное кольцо $\mathrm{d} S$ (рис. 1.19) в направлении оси $X$. При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс $\Delta p_{x}$ (рис. 1.20):
\[
\Delta p_{x}=p-p_{x}=p-p \cos (\pi-2 \theta)=p(1+\cos 2 \theta)=2 p \cos ^{2} \theta,
\]
где $p=\hbar \omega / c$.
Pис. 1.19
Рис. 1.20
Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо $\mathrm{d} S$ (см. рис. 1.19), равно $\mathrm{d} N=(I / \hbar \omega) \mathrm{d} S \cos \theta$, где $\mathrm{d} S=2 \pi R \sin \theta \cdot R \mathrm{~d} \theta$. Тогда
\[
\mathrm{d} F=\Delta p_{x} \cdot \mathrm{d} N=4 \pi R^{2}(I / c) \cos ^{3} \theta \sin \theta \mathrm{d} \theta .
\]
Заметим, что частота света $\omega$ сократилась, значит она не играет здесь роли.
Проинтегрировав последнее выражение по $\theta$ от 0 до $\pi / 2$, получим
\[
F=\pi R^{2} I / c .
\]
Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.
1.10. Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью $v$, испустил фотон под углом $\theta$ к первоначальному направлению движения атома. Найти с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение частоты фотона, обусловленной отдачей атома.
Р еш е н и е. Пусть «закрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией $\hbar \omega$. Разность энергий указанных состояний атома равна $\hbar \omega$ вне зависимости от того, покоится атом или движется. При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменяется и кинетическая энергия атома.
Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21),
\[
\begin{array}{c}
p^{2} / 2 m+E^{\star}=p^{\prime 2} / 2 m+\hbar \omega^{\prime}, \\
p^{\prime 2}=p^{2}+p_{\Phi}^{2}-2 p p_{\phi} \cos \theta,
\end{array}
\]
где $E^{*}$ – энергия возбуждения атома, $E^{*}=\hbar \omega$, а $p_{\phi}=\hbar \omega^{\prime} / c$.
Исключив из этих двух уравнений $p^{2}$, получим:
\[
\omega^{\prime}-\omega=\omega^{\prime}\left(\frac{v}{c} \cos \theta-\frac{\hbar \omega^{\prime}}{2 m c^{2}}\right) .
\]
Учитывая, что энергия фотона $\hbar \omega^{\prime} \ll 2 m c^{2}$ и $\omega^{\prime}$ перед скобкой можно заменить на $\omega$ (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:
\[
\frac{\Delta \omega}{\omega}=\frac{v}{c} \cos \theta,
\]
где $\Delta \omega=\omega^{\prime}-\omega$. Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера.
