4.1. Свободное движение частицы. Найти решение временно́го уравнения Шредингера (4.5) для свободной частицы массы $m$, движущейся с импульсом $p$ в положительном направлении оси $X$.
Р е ш е н и е. В этом случае потенциальную энергию частицы можно считать равной нулю $U(x)=0$, и уравнение (4.5) примет вид
$$\mathrm{i}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}$$

Его решение будем искать методом разделения переменных, т. е. представим $\mathrm{\Psi }$ в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от $x$, другая — только от $t$ :
$$\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\cdot f(t).$$

Подставив (2) в (1), приходим к двум независимым уравнениям:
$$\mathrm{i}\hslash \frac{\dot{f}}{f}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\psi }^{\prime \prime }}{\psi },$$

где $\dot{f}$ — производная по $t,{\psi }^{\prime \prime }$ — вторая производная по $x$. Так как обе части этого уравнения являются функциями независимых переменных $t$ и $x$, то равенство (3) возможно лишь в том случае, если обе его части равны одной и той же константе. Из сравнения выражения (3) с уравнением Шредингера (4.9) видно, что эта константа равна $E$. Таким образом мы получаем два уравнения:
$${\psi }^{\prime \prime }+\frac{2m}{{\hslash }^2}E\psi =0,\dot{f}+\mathrm{i}\frac{\mathrm{E}}{\hslash }f=0.$$

Их решения, как можно в этом убедиться непосредственной подстановкой, таковы:
$$\begin{array}{c}\psi (x)\sim {\mathrm{e}}^{\mathrm{ti}kx},k=\sqrt{2mE}/\hslash =p/\hslash ,\\ f(t)\sim {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t},\omega =E/\hslash ,\end{array}$$

где значения $k$ и $\omega$ записаны в соответствии с постулатами корпускулярно-волнового дуализма.

В результате искомое решение согласно (2) будет иметь вид
$$\mathrm{\Psi }(x,t)=A{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}.$$

Это решение будет конечным лишь при $E>0$, причем при любых значениях $E$.

Именно такой вид имеет дебройлевская волна.
Плотность вероятности местоположения соответствующей частицы
$$P(x)=\mathrm{\Psi }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }=A{A}^{\ast }=\text{ const. }$$

Это означает равновероятность местонахождения такой частицы во всех точках пространства (оси $X$ ). Данный вывод вполне согласуется с соотношением неопределенностей: при $\mathrm{\Delta }{p}_x=0x\to \mathrm{\infty }$, т. е. частица \»размазана\» равномерно по всему пространству.

4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками ( $0<x<l$ ). Найти вероятность местонахождения частицы в интервале $(l/3,2l/3)$.
Р е ш е и е. Согласно (4.15) $\psi$-функция в основном состоянии $(n=1)$ это $\psi =\sqrt{2/l}\sin (\pi x/l)$. Искомая вероятность
$$P={\int }_{x_1}^{x_2}{\psi }^2(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{(\frac{y}{2}-\frac{\sin 2y}{4})}_{y_1}^{y_2}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi }\approx 0,61,$$

где введена новая переменная $y=\pi x/l$.
4.3. Найти энергию $E$ стационарного состояния частицы массы $m$ в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками, если на границе ямы ( $x=0$ ) известно значение производной $\partial \psi /\partial x$, т. е. ${\psi }^{\prime }(0)$.
Р е ш е и е. Известно, что $\psi$-функция $n$-го стационарного состояния определяется формулой (4.15). Взяв ее производную по $x$ и положив затем $x=0$, получим:
$$\frac{\partial \psi }{\partial x}={\sqrt{\frac{2}{l}}\frac{\pi n}{l}\cos \frac{\pi nx}{l}|}_{x=0}=\frac{\pi \sqrt{2}}{l^{3/2}}n.$$

Отсюда находим
$$n=\frac{l^{3/2}}{\pi \sqrt{2}}{\psi }^{\prime }(0).$$

Подставив это выражение в формулу (4.14) для энергии, имеем
$$E=\frac{l{\hslash }^2}{4m}{[{\psi }^{\prime }(0)]}^2.$$
4.4. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна $l$ и такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность этих уровней $\mathrm{d}N/\mathrm{d}E$, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от $E$. Вычислить $\mathrm{d}N/\mathrm{d}E$, если $E=1,0$ эВ и $l=1,0$ см.
Р еше н и е. Возьмем дифференциал натурального логарифма от выражения (4.14) для энергии $E$ :
$$\frac{\mathrm{d}E}{E}=2\frac{\mathrm{d}n}{n}.$$

Отсюда
$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}E}=\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}E}=\frac{1}{2}\frac{n}{E}=\frac{l}{\pi \hslash }\sqrt{\frac{m}{2E}},$$

где $n$ выражено через $E$ с помощью (4.14), $m$ — масса электрона. Для заданных значений $E$ и $l$
$$\mathrm{d}N/\mathrm{d}E=0,8\cdot {10}^7\text{ уровней }/\text{ эВ. }$$
4.5. Частица массы $m$ находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно $P_m$. Найти ширину $l$ ямы и энергию $E$ частицы.
Р е ш е н и. Воспользовавшись выражением (4.15) для $\psi$-функции, запишем плотность вероятности $P(x)$ для основного состояния ( $n=1$ ):
$$P(x)={\psi }^2=\frac{2}{l}{\sin }^2\frac{\pi x}{l}.$$

Эта величина максимальна в середине ямы, т. е. при $x=l/2$. Поэтому
$$P_m=\frac{2}{l}{\sin }^2\frac{\pi }{2}=\frac{2}{l}\text{. }$$

Отсюда находим $l=2/P_m$ и согласно (4.14)
$$E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{8m}{P}_m.$$
4.6. Частица массы $m$ находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты $x$ и $y$ частицы находятся в интервалах соответственно $(0,a)$ и $(0,b)$, где $a$ и $b$ — стороны ямы. Найти возможные значения энергии $E$ и нормированные $\psi$-функции частицы.
Р ешение и В этом случае уравнение Шредингера (4.9) имеет вид
$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+k^2\psi =0,k^2=2mE/{\hslash }^2$$
(в пределах ямы мы считаем $U=0$ ).

На сторонах ямы $\psi$-функция должна обращаться в нуль, поскольку является непрерывной (за пределами ямы $\psi =0$ ). Поэтому ( $\psi$-функцию внутри ямы удобно искать сразу в виде произведения синусов
$$\psi (x,y)=A\sin k_{1}x\cdot \sin k_{2}y,$$

так как на двух сторонах ( $x=0$ и $y=0$ ) автоматически $\psi (x,0)$ и $\psi (0,y)$ равны нулю.
Возможные значения $k_1$ и $k_2$ найдем из условия обращения $\psi$-функции в нуль на противоположных сторонах ямы:
$$\begin{array}{lll}\psi (a,y)=0,& k_1=\pm \frac{\pi }{a}{n}_1,& n_1=1,2,3,\dots \\ \psi (x,b)=0,& k_2=\pm \frac{\pi }{b}{n}_2,& n_2=1,2,3,\dots \end{array}$$

После подстановки (2) в уравнение (1) получим $k_1{}^2+k_2{}^2=k^2$, и, учитывая выражение для $k^2$ в (1) и формулы (3) для $k_1$ и $k_2$, получим
$$E_{n_1{n}_2}=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m}(\frac{n_1^2}{a^2}+\frac{n_2^2}{b^2}).$$

Постоянную $A$ в (2) находим из условия нормировки
$${\int }_0^a{\int }_0^b{\psi }^2(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1,$$

откуда следует, что $A=\sqrt{4/ab}=2/\sqrt{ab}$. Следовательно, нормированная $\psi$-функция будет иметь вид
$$\psi (x,y)=\frac{2}{\sqrt{ab}}\sin \left(\frac{\pi x}{a}{n}_1\right)\sin \left(\frac{\pi y}{b}{n}_2\right).$$
4.7. Частица массы $m$ находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона ямы равна $l$. Воспользовавшись результатами решения предыдущей задачи, найти значения энергии $E$ для первых четырех уровней.
Р е ше ен и е. В данном случае
$$E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{l}^2}(n_1^2+n_2^2).$$

Задача сводится к подбору таких наименьших значений $n_1$ и $n_2$, при которых $n_1^2+n_2^2$ имеет четыре наименьших значения. Составим табличку

Отсюда видно, что энергия $E$ первых четырех уровней
$$E=2,5,8\text{ и }10\text{ единиц }{\pi }^2{\hslash }^2/2m{l}^2.$$
4.8. Воспользовавшись условием и решением задачи 4.6, найти число $\mathrm{d}N$ состояний частицы в интервале энергии ( $E,E+\mathrm{d}E$ ), полагая, что энергетические уровни расположены весьма густо.
Р еше ни е. Каждому значению пары чисел $n_1$ и $n_2$ отвечает одно состояние частицы. Число состояний в интервале ( $\mathrm{d}{n}_1,\mathrm{d}{n}_2$ ) вблизи значений $n_1$ и $n_2$ равно
$$\mathrm{d}N=\mathrm{d}{n}_1\cdot \mathrm{d}{n}_2.$$

Имея в виду уравнение $k_1^2+k_2^2=k^2$, где $k_1=n_1\pi /a,k_2=n_2\pi /b$, отложим на осях координат величины $k_1$ и $k_2$. Построим затем в этом « $k$-пространстве окружность радиуса $k$ с центром в начале координат. Точки, попадающие на эту окружность, соответствуют одному и тому же значению $k$, а значит одной и той же энергии $E$. Нас будет интересовать только $1/4$ окружности, поскольку следует рассматривать лишь положительные значения $k_1$ и $k_2$ : отрицательные значения не дают новых состояний, как видно из выражения для $\psi$-функции.
Число точек (состояний), заключенных между двумя окружностями с радиусами $k$ и $k+\mathrm{d}k$ в первой четверти (рис. 4.14) равно
$$\mathrm{d}N=\int \mathrm{d}{n}_1\mathrm{d}{n}_2=\int \frac{ab}{{\pi }^2}\mathrm{d}{k}_1\mathrm{d}{k}_2=\frac{1}{4}\frac{ab}{{\pi }^2}2\pi k\mathrm{d}k.$$

Имея в виду, что $k^2=2mE/{\hslash }^2$, получим $2k\mathrm{d}k=2m\mathrm{d}E/{\hslash }^2$, и в результате подстановки в (*) найдем:
$$\mathrm{d}N=\frac{1}{4}\frac{ab}{{\pi }^2}\pi 2m\frac{\mathrm{d}E}{{\hslash }^2}=\frac{ab}{2\pi {\hslash }^2}\mathrm{d}E.$$

Удивительно, что плотность состояний $\mathrm{d}N/\mathrm{d}E$ в такой яме от $E$ не зависит. Заметим, что в прямоугольной (не квадратной) яме расчет показывает: $\mathrm{d}N/\mathrm{d}E\sim \sqrt{E}$.
Рис. 4.14
4.9. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле $U(x)$ в стационарном состоянии $\psi =A\exp (-\beta x^2)$, где $A$ и $\beta$ — постоянные $(\beta >0)$. Найти энергию $E$ частицы и вид функции $U(x)$, если $U(0)=0$.
Р еш е н и. Сначала найдем вторую производную $\psi (x)$ по $x$ :
$$\begin{array}{c}{\psi }^{\prime }=-2A\beta x\exp (-\beta x^2),\\ {\psi }^{\prime \prime }=-2A[\exp (-\beta x^2)+x\exp (-\beta x^2)(-2\beta x)]=-2A\beta (1-2\beta x^2)\exp (-\beta x^2).\end{array}$$

Теперь подставим ${\psi }^{\prime \prime }$ и $\psi$ в уравнение Шредингера:
$${\psi }^{\prime \prime }+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-U)\psi =0.$$

После сокращения на экспоненту получим:
$$-2\beta +4{\beta }^2{x}^2+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-U)=0.$$

Полагая в этом равенстве $x=0$ и соответственно $U(0)=0$, имеем
$$-2\beta +\frac{2mE}{{\hslash }^2}=0,$$

откуда $E=\beta {\hslash }^2/m$.
Учитывая (2), находим из (1), что
$$U(x)=\frac{2{\beta }^2{\hslash }^2}{m}{x}^2.$$

4.10. Прохождение частицы через порог. Частица массы $m$ движется слева направо в потенциальном поле (рис. 4.15), которое в точке $x=0$ испытывает скачок $U_0$. При $x<0$ энергия частицы равна $E$. Найти коэффициент отражения $R$, если $E\ll U_0$.
Р еше е и е. Здесь следует повторить рассуждения, приведенные в § 4.5 для случая 1. Отличие заключается лишь в том, что в Рис. 4.15 выражении для $k_2$ (4.28) должно, как видно из рис. 4.15 , стоять не $E-U_0$, а $E+U_0$.
Таким образом, искомый коэффициент с учетом того, что $k_1\ll k_2$, можно записать так:
$$R={\left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)}^2\approx (1-2\frac{k_1}{k_2})(1-2\frac{k_1}{k_2})\approx 1-4\frac{k_1}{k_2}=1-4\sqrt{E/U_0}$$
(здесь мы пренебрегли величиной $k_1/k_2$ в квадрате).
Отсюда следует (чисто квантовый эффект), что чем меньше $E$, тем ближе $R$ к единице. С классической точки зрения это в принципе невозможно.