4.1. Свободное движение частицы. Найти решение временно́го уравнения Шредингера (4.5) для свободной частицы массы $m$, движущейся с импульсом $p$ в положительном направлении оси $X$.
Р е ш е н и е. В этом случае потенциальную энергию частицы можно считать равной нулю $U(x)=0$, и уравнение (4.5) примет вид
\[
\mathrm{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}
\]

Его решение будем искать методом разделения переменных, т. е. представим $\Psi$ в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от $x$, другая – только от $t$ :
\[
\Psi(x, t)=\psi(x) \cdot f(t) .
\]

Подставив (2) в (1), приходим к двум независимым уравнениям:
\[
\mathrm{i} \hbar \frac{\dot{f}}{f}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\psi^{\prime \prime}}{\psi},
\]

где $\dot{f}$ – производная по $t, \psi^{\prime \prime}$ – вторая производная по $x$. Так как обе части этого уравнения являются функциями независимых переменных $t$ и $x$, то равенство (3) возможно лишь в том случае, если обе его части равны одной и той же константе. Из сравнения выражения (3) с уравнением Шредингера (4.9) видно, что эта константа равна $E$. Таким образом мы получаем два уравнения:
\[
\psi^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}} E \psi=0, \quad \dot{f}+\mathrm{i} \frac{\mathrm{E}}{\hbar} f=0 .
\]

Их решения, как можно в этом убедиться непосредственной подстановкой, таковы:
\[
\begin{array}{c}
\psi(x) \sim \mathrm{e}^{\mathrm{ti} k x}, \quad k=\sqrt{2 m E} / \hbar=p / \hbar, \\
f(t) \sim \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, \quad \omega=E / \hbar,
\end{array}
\]

где значения $k$ и $\omega$ записаны в соответствии с постулатами корпускулярно-волнового дуализма.

В результате искомое решение согласно (2) будет иметь вид
\[
\Psi(x, t)=A e^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} .
\]

Это решение будет конечным лишь при $E>0$, причем при любых значениях $E$.

Именно такой вид имеет дебройлевская волна.
Плотность вероятности местоположения соответствующей частицы
\[
P(x)=\Psi \Psi^{*}=A A^{*}=\text { const. }
\]

Это означает равновероятность местонахождения такой частицы во всех точках пространства (оси $X$ ). Данный вывод вполне согласуется с соотношением неопределенностей: при $\Delta p_{x}=0 x \rightarrow \infty$, т. е. частица \”размазана\” равномерно по всему пространству.

4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками ( $0<x<l$ ). Найти вероятность местонахождения частицы в интервале $(l / 3,2 l / 3)$.
Р е ш е и е. Согласно (4.15) $\psi$-функция в основном состоянии $(n=1)$ это $\psi=\sqrt{2 / l} \sin (\pi x / l)$. Искомая вероятность
\[
P=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \psi^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}\left(\frac{y}{2}-\frac{\sin 2 y}{4}\right)_{y_{1}}^{y_{2}}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \approx 0,61,
\]

где введена новая переменная $y=\pi x / l$.
4.3. Найти энергию $E$ стационарного состояния частицы массы $m$ в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками, если на границе ямы ( $x=0$ ) известно значение производной $\partial \psi / \partial x$, т. е. $\psi^{\prime}(0)$.
Р е ш е и е. Известно, что $\psi$-функция $n$-го стационарного состояния определяется формулой (4.15). Взяв ее производную по $x$ и положив затем $x=0$, получим:
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\left.\sqrt{\frac{2}{l}} \frac{\pi n}{l} \cos \frac{\pi n x}{l}\right|_{x=0}=\frac{\pi \sqrt{2}}{l^{3 / 2}} n .
\]

Отсюда находим
\[
n=\frac{l^{3 / 2}}{\pi \sqrt{2}} \psi^{\prime}(0) .
\]

Подставив это выражение в формулу (4.14) для энергии, имеем
\[
E=\frac{l \hbar^{2}}{4 m}\left[\psi^{\prime}(0)\right]^{2} .
\]
4.4. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна $l$ и такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность этих уровней $\mathrm{d} N / \mathrm{d} E$, т. е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от $E$. Вычислить $\mathrm{d} N / \mathrm{d} E$, если $E=1,0$ эВ и $l=1,0$ см.
Р еше н и е. Возьмем дифференциал натурального логарифма от выражения (4.14) для энергии $E$ :
\[
\frac{\mathrm{d} E}{E}=2 \frac{\mathrm{d} n}{n} .
\]

Отсюда
\[
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} E}=\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} E}=\frac{1}{2} \frac{n}{E}=\frac{l}{\pi \hbar} \sqrt{\frac{m}{2 E}},
\]

где $n$ выражено через $E$ с помощью (4.14), $m$ – масса электрона. Для заданных значений $E$ и $l$
\[
\mathrm{d} N / \mathrm{d} E=0,8 \cdot 10^{7} \text { уровней } / \text { эВ. }
\]
4.5. Частица массы $m$ находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно $P_{m}$. Найти ширину $l$ ямы и энергию $E$ частицы.
Р е ш е н и. Воспользовавшись выражением (4.15) для $\psi$-функции, запишем плотность вероятности $P(x)$ для основного состояния ( $n=1$ ):
\[
P(x)=\psi^{2}=\frac{2}{l} \sin ^{2} \frac{\pi x}{l} .
\]

Эта величина максимальна в середине ямы, т. е. при $x=l / 2$. Поэтому
\[
P_{m}=\frac{2}{l} \sin ^{2} \frac{\pi}{2}=\frac{2}{l} \text {. }
\]

Отсюда находим $l=2 / P_{m}$ и согласно (4.14)
\[
E=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{8 m} P_{m} .
\]
4.6. Частица массы $m$ находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты $x$ и $y$ частицы находятся в интервалах соответственно $(0, a)$ и $(0, b)$, где $a$ и $b$ – стороны ямы. Найти возможные значения энергии $E$ и нормированные $\psi$-функции частицы.
Р ешение и В этом случае уравнение Шредингера (4.9) имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}}+k^{2} \psi=0, \quad k^{2}=2 m E / \hbar^{2}
\]
(в пределах ямы мы считаем $U=0$ ).

На сторонах ямы $\psi$-функция должна обращаться в нуль, поскольку является непрерывной (за пределами ямы $\psi=0$ ). Поэтому ( $\psi$-функцию внутри ямы удобно искать сразу в виде произведения синусов
\[
\psi(x, y)=A \sin k_{1} x \cdot \sin k_{2} y,
\]

так как на двух сторонах ( $x=0$ и $y=0$ ) автоматически $\psi(x, 0)$ и $\psi(0, y)$ равны нулю.
Возможные значения $k_{1}$ и $k_{2}$ найдем из условия обращения $\psi$-функции в нуль на противоположных сторонах ямы:
\[
\begin{array}{lll}
\psi(a, y)=0, & k_{1}= \pm \frac{\pi}{a} n_{1}, & n_{1}=1,2,3, \ldots \\
\psi(x, b)=0, & k_{2}= \pm \frac{\pi}{b} n_{2}, & n_{2}=1,2,3, \ldots
\end{array}
\]

После подстановки (2) в уравнение (1) получим $k_{1}{ }^{2}+k_{2}{ }^{2}=k^{2}$, и, учитывая выражение для $k^{2}$ в (1) и формулы (3) для $k_{1}$ и $k_{2}$, получим
\[
E_{n_{1} n_{2}}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{n_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{n_{2}^{2}}{b^{2}}\right) .
\]

Постоянную $A$ в (2) находим из условия нормировки
\[
\int_{0}^{a} \int_{0}^{b} \psi^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1,
\]

откуда следует, что $A=\sqrt{4 / a b}=2 / \sqrt{a b}$. Следовательно, нормированная $\psi$-функция будет иметь вид
\[
\psi(x, y)=\frac{2}{\sqrt{a b}} \sin \left(\frac{\pi x}{a} n_{1}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{b} n_{2}\right) .
\]
4.7. Частица массы $m$ находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона ямы равна $l$. Воспользовавшись результатами решения предыдущей задачи, найти значения энергии $E$ для первых четырех уровней.
Р е ше ен и е. В данном случае
\[
E=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m l^{2}}\left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\right) .
\]

Задача сводится к подбору таких наименьших значений $n_{1}$ и $n_{2}$, при которых $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}$ имеет четыре наименьших значения. Составим табличку

Отсюда видно, что энергия $E$ первых четырех уровней
\[
E=2,5,8 \text { и } 10 \text { единиц } \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m l^{2} .
\]
4.8. Воспользовавшись условием и решением задачи 4.6, найти число $\mathrm{d} N$ состояний частицы в интервале энергии ( $E, E+\mathrm{d} E$ ), полагая, что энергетические уровни расположены весьма густо.
Р еше ни е. Каждому значению пары чисел $n_{1}$ и $n_{2}$ отвечает одно состояние частицы. Число состояний в интервале ( $\mathrm{d} n_{1}, \mathrm{~d} n_{2}$ ) вблизи значений $n_{1}$ и $n_{2}$ равно
\[
\mathrm{d} N=\mathrm{d} n_{1} \cdot \mathrm{d} n_{2} .
\]

Имея в виду уравнение $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=k^{2}$, где $k_{1}=n_{1} \pi / a, k_{2}=n_{2} \pi / b$, отложим на осях координат величины $k_{1}$ и $k_{2}$. Построим затем в этом « $k$-пространстве окружность радиуса $k$ с центром в начале координат. Точки, попадающие на эту окружность, соответствуют одному и тому же значению $k$, а значит одной и той же энергии $E$. Нас будет интересовать только $1 / 4$ окружности, поскольку следует рассматривать лишь положительные значения $k_{1}$ и $k_{2}$ : отрицательные значения не дают новых состояний, как видно из выражения для $\psi$-функции.
Число точек (состояний), заключенных между двумя окружностями с радиусами $k$ и $k+\mathrm{d} k$ в первой четверти (рис. 4.14) равно
\[
\mathrm{d} N=\int \mathrm{d} n_{1} \mathrm{~d} n_{2}=\int \frac{a b}{\pi^{2}} \mathrm{~d} k_{1} \mathrm{~d} k_{2}=\frac{1}{4} \frac{a b}{\pi^{2}} 2 \pi k \mathrm{~d} k .
\]

Имея в виду, что $k^{2}=2 m E / \hbar^{2}$, получим $2 k \mathrm{~d} k=2 m \mathrm{~d} E / \hbar^{2}$, и в результате подстановки в (*) найдем:
\[
\mathrm{d} N=\frac{1}{4} \frac{a b}{\pi^{2}} \pi 2 m \frac{\mathrm{d} E}{\hbar^{2}}=\frac{a b}{2 \pi \hbar^{2}} \mathrm{~d} E .
\]

Удивительно, что плотность состояний $\mathrm{d} N / \mathrm{d} E$ в такой яме от $E$ не зависит. Заметим, что в прямоугольной (не квадратной) яме расчет показывает: $\mathrm{d} N / \mathrm{d} E \sim \sqrt{E}$.
Рис. 4.14
4.9. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле $U(x)$ в стационарном состоянии $\psi=A \exp \left(-\beta x^{2}\right)$, где $A$ и $\beta$ – постоянные $(\beta>0)$. Найти энергию $E$ частицы и вид функции $U(x)$, если $U(0)=0$.
Р еш е н и. Сначала найдем вторую производную $\psi(x)$ по $x$ :
\[
\begin{array}{c}
\psi^{\prime}=-2 A \beta x \exp \left(-\beta x^{2}\right), \\
\psi^{\prime \prime}=-2 A\left[\exp \left(-\beta x^{2}\right)+x \exp \left(-\beta x^{2}\right)(-2 \beta x)\right]=-2 A \beta\left(1-2 \beta x^{2}\right) \exp \left(-\beta x^{2}\right) .
\end{array}
\]

Теперь подставим $\psi^{\prime \prime}$ и $\psi$ в уравнение Шредингера:
\[
\psi^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U) \psi=0 .
\]

После сокращения на экспоненту получим:
\[
-2 \beta+4 \beta^{2} x^{2}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U)=0 .
\]

Полагая в этом равенстве $x=0$ и соответственно $U(0)=0$, имеем
\[
-2 \beta+\frac{2 m E}{\hbar^{2}}=0,
\]

откуда $E=\beta \hbar^{2} / m$.
Учитывая (2), находим из (1), что
\[
U(x)=\frac{2 \beta^{2} \hbar^{2}}{m} x^{2} .
\]

4.10. Прохождение частицы через порог. Частица массы $m$ движется слева направо в потенциальном поле (рис. 4.15), которое в точке $x=0$ испытывает скачок $U_{0}$. При $x<0$ энергия частицы равна $E$. Найти коэффициент отражения $R$, если $E \ll U_{0}$.
Р еше е и е. Здесь следует повторить рассуждения, приведенные в § 4.5 для случая 1. Отличие заключается лишь в том, что в Рис. 4.15 выражении для $k_{2}$ (4.28) должно, как видно из рис. 4.15 , стоять не $E-U_{0}$, а $E+U_{0}$.
Таким образом, искомый коэффициент с учетом того, что $k_{1} \ll k_{2}$, можно записать так:
\[
R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2} \approx\left(1-2 \frac{k_{1}}{k_{2}}\right)\left(1-2 \frac{k_{1}}{k_{2}}\right) \approx 1-4 \frac{k_{1}}{k_{2}}=1-4 \sqrt{E / U_{0}}
\]
(здесь мы пренебрегли величиной $k_{1} / k_{2}$ в квадрате).
Отсюда следует (чисто квантовый эффект), что чем меньше $E$, тем ближе $R$ к единице. С классической точки зрения это в принципе невозможно.