Внимание! В задачах 9.1-9.6 использованы сокращенные обозначения, приведенные в Приложении 1 (например, $p$ и $m$ – это сокращенные записи величин $р с$ и $m c^{2}$ ).
9.1. Релятивистские соотношения. Определить кинетическую энергию $K$ релятивистской частицы массы $m$ с импульсом $p$.
Р е ш е н и е. Из инвариантности выражения $E^{2}-p^{2}=m^{2}$, где $E=m+K$, находим
\[
K^{2}+2 m K-p^{2}=0,
\]

корень которого
\[
K=-m+\sqrt{m^{2}+p^{2}}=m\left(\sqrt{1+(p / m)^{2}-1}\right) .
\]
9.2. Замедление времени. Релятивистский $\pi$-мезон с кинетической энергией $K$ пролетает от места рождения до распада в среднем расстояние $l$. Найти собственное время жизни $\tau_{0}$ этих мезонов.
Решение. Известно, что время жизни частицы в лабораторной системе отсчета и ее собственное время $\tau_{0}$ связаны соотношением $\tau=\tau_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}}$, где $\beta=v / c$ и $\tau=l / v$. Тогда
\[
\tau_{0}=\frac{l}{\beta c} \sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{l}{c} \sqrt{\frac{1}{\beta^{2}}-1} .
\]

Выразим $\beta^{2}$ через $К$. Из формулы для полной энергии частицы
\[
E=m+K=\frac{m}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Отсюда
\[
\beta^{2}=1-\left(\frac{m}{m+K}\right)^{2} .
\]

После подстановки этого выражения в (*) получим:
\[
\tau_{0}=\frac{l}{c} \frac{m}{\sqrt{K(K+2 m)}} .
\]
9.3. Распад частиц. Остановившийся $\pi$-мезон распался на мюон и антинейтрино. Найти кинетическую энергию мюона.
Р еш ени е. Энергия распада $Q=m_{\pi}-m_{\mu}$, где учтено, что масса антинейтрино равна нулю. Энергия $Q$ – это суммарная кинетическая энергия мюона и антинейтрино:
\[
Q=K_{\mu}+E_{
u} .
\]

Кроме того, суммарный импульс системы равен нулю, а это значит, что
\[
p_{\mu}=p_{v} .
\]

Из этих формул следует:
\[
Q=K_{\mu}+p_{
u}=K_{\mu}+p_{\mu}=K_{\mu}+\sqrt{K_{\mu}\left(K_{\mu}+2 m_{\mu}\right)},
\]

откуда $K_{\mu}=Q^{2} /\left(Q+m_{\mu}\right)$, или с учетом (1)
\[
K_{\mu}=\left(m_{\pi}-m_{\mu}\right)^{2} / 2 m_{\pi} .
\]
9.4. $\Sigma$-гиперон с кинетической энергией $K_{\Sigma}$ распался на лету на нейтральную частицу и $\pi$-мезон, который вылетел с энергией $K_{\pi}$ под прямым углом к первоначальному направлению движения $\Sigma$-гиперона. Определить энергию покоя нейтральной частицы (обозначим ее индексом $x$ ).
Р еше е и е. Исходим из сохранения импульса и полной энергии
в этом процессе:
\[
\mathbf{p}_{\Sigma}=\mathbf{p}_{x}+\mathbf{p}_{\pi}, \quad E_{x}=E_{\Sigma}-E_{\pi} .
\]

Так как угол между векторами $\mathbf{p}_{\pi}$ и $\mathbf{p}_{\Sigma}$ прямой, то по теореме Пифагора
\[
p_{x}^{2}=p_{\Sigma}^{2}+p_{\pi}^{2} .
\]

Кроме того, возведя в квадрат второе из равенств (1), запишем
\[
E_{x}^{2}=E_{\Sigma}^{2}-2 E_{\Sigma} E_{\pi}+E_{\pi}^{2} .
\]

Теперь, имея в виду, что $E^{2}-p^{2}=m^{2}$ согласно (П. 3′), вычтем (2) из (3). В результате получим:
\[
m_{x}=\sqrt{m_{\Sigma}^{2}+m_{\pi}^{2}-2\left(m_{\Sigma}+K_{\Sigma}\right)\left(m_{\pi}+K_{\pi}\right)} .
\]
9.5. Аннигиляция частиц. Релятивистский позитрон с кинетической энергией $K_{e}$ налетает на покоящийся свободный электрон. В результате аннигиляции возникают два $\gamma$-кванта с одинаковыми энергиями. Определить угол $\theta$ между направлениями их разлета.
Р е ш е н и е. При одинаковых энергиях $\gamma$-квантов треугольник импульсов данного процесса будет равносторонним (рис. 9.3). По теореме косинуСОВ
\[
p_{e}^{2}=2 p_{\gamma}^{2}+2 p_{\gamma}^{2} \cos \theta=2 p_{\gamma}^{2}(1+\cos \theta) .
\]

Кроме того, из равенства полных энергий
Рис. 9.3 до и после аннигиляции следует:
\[
K_{e}+2 m_{e}=2 E_{\gamma}=2 p_{\gamma} .
\]

Выразим импульс $p_{e}$ через $K_{e}$. Согласно (П.5′)
\[
p_{e}^{2}=K_{e}\left(K_{e}+2 m_{e}\right) .
\]

Подставим затем в исходную формулу (1) выражения для $p_{\gamma}$ из (2), а также (3). Тогда
\[
K_{e}\left(K_{e}+2 m_{e}\right)=\left(K_{e}+2 m_{e}\right)^{2} \frac{1+\cos \theta}{2} .
\]

Учитывая, что $1+\cos \theta=2 \cos ^{2}(\theta / 2)$, получим в результате
\[
\cos \frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+2 m_{e} / K_{e}}} .
\]

9.6. Энергетический порог реакции. Релятивистская частица массы $m$ в результате столкновения с покоившейся частицей массы $M$ возбуждает реакцию рождения новых частиц:
\[
m+M \rightarrow m_{1}+m_{2}+\ldots,
\]

где справа записаны массы возникающих частиц. Воспользовавшись инвариантностью величины $E^{2}-p^{2}$, получить формулу для пороговой кинетической энергии налетающей частицы.
Р ешен и е. Из инвариантности указанной величины получим
\[
\left(K_{\text {пор }}+m+M\right)^{2}-K_{\text {пор }}\left(K_{\text {пор }}+2 m\right)=\left(m_{1}+m_{2}+\ldots\right)^{2},
\]

где левая часть равенства записана в Л-системе, а правая – в $L$-системе. Здесь учтено, что при пороговом значении $K_{\text {пор }}$ образовавшиеся частицы покоятся (в $Ц$-системе).
Раскрыв скобки в левой части равенства (*) и произведя сокращения, придем к формуле
\[
(m+M)^{2}+2 M K_{\text {пор }}=\left(m_{1}+m_{2}+\ldots\right)^{2} .
\]

Отсюда искомое выражение
\[
K_{\text {пор }}=\frac{\left(m_{1}+m_{2}+\ldots\right)^{2}-(m+M)^{2}}{2 M} .
\]

Для расчетов числитель удобнее преобразовать (как разность квадратов).
9.7. Лептонные и барионные заряды. Выяснить с помощью закона сохранения этих зарядов, возможны ли следующие процессы:
1) $n \rightarrow p+e^{-}+v_{e}$,
4) $K^{+} \rightarrow \mu^{+}+v_{\mu}+\pi^{0}$,
2) $\tilde{v}_{\mu}+p \rightarrow n+\mu^{+}$,
5) $\pi^{-}+n \rightarrow K^{-}+K^{0}$,
3) $\mu^{+} \rightarrow e^{+}+\tilde{v}_{e}+v_{\mu}$,
6) $K^{-}+p \rightarrow \Sigma^{+}+\pi^{-}$.
Р е ш е и и. Невозможны следующие процессы: (1), так как не сохраняется лептонный заряд ( $0
eq 0+1+1)$; (3), поскольку не сохраняются ни электронный, ни мюонный лептонные заряды; (5), так как не сохраняется барионный заряд (+1 $
eq 0+0$ ).
9.8. Странность. Какие из приведенных ниже процессов запрецены законом сохранения странности:

1) $\pi^{-}+p \rightarrow \Lambda+K^{0}$,
4) $\tilde{p}+n \rightarrow \Lambda+\tilde{\Sigma}^{+}$,
2) $\pi^{-}+p \rightarrow K^{-}+\Sigma^{+}$,
5) $\Sigma^{-}+p \rightarrow \Lambda+n$,
3) $\tilde{p}+p \rightarrow \tilde{\Sigma}^{0}+\tilde{K}^{0}+n$,
6) $\pi^{-}+n \rightarrow \Xi^{-}+K^{+}+K^{-}$?

Р е ш ен и е. Подставим значения странности $S$ последовательно во все процессы:
1) $0+0 \rightarrow-1+1$,
4) $0+0 \rightarrow-1+1$,
2) $0+0 \rightarrow-1-1$,
5) $-1+0 \rightarrow-1+0$,
3) $0+0 \rightarrow+1-1+0$,
6) $0+0 \rightarrow-2+1-1$.

Видно, что суммарное значение странности не сохраняется только в процессах (2) и (6). По этой причине они запрещены.
9.9. Какие каналы приведенных ниже распадов запрещены и по какой причине:
б) $\Xi^{-} \searrow^{\prime+2 \pi^{-}} \Lambda+\pi^{-}, \Lambda \rightarrow p+\pi^{-}$
(2)?
Р е ш ени и а) Запрещен канал (2) – энергетически: $m_{\Sigma}<m_{\Lambda}+m_{\pi}$; б) запрещен канал (1) – законом сохранения странности $S$ :
\[
-2
rightarrow 0+0+0, \quad \text { т. е. }|\Delta S|=2 .
\]
9.10. Кварки. Установить с помощью табл. 9.4 кварковый состав $K^{+}$-мезона, а также гиперонов $\Lambda^{0}$ и $\Omega^{-\prime}$.
Р ешен и е. Мезоны должны состоять из кварка и антикварка, поскольку их барионный заряд $B=0$. В случае $K^{+}$мезона $Q=1$, $B=0, S=+1$. Это возможно лишь в случае $K^{+}(u \tilde{s})$.
У гиперонов барионный заряд $B=1$, странность $\Lambda$-гиперона $S=-1$, а у $\Omega^{-}$-гиперона $S=-3$. Каждый кварк имеет $B=1 / 3$, значит эти гипероны должны состоять из трех кварков. Кроме того, у $\Lambda^{0}$-гиперона $Q=0$. Это возможно лишь в случае $\Lambda^{0}(u d s)$.
У $\Omega^{-}$-гиперона $Q=-1, S=-3$. Это возможно реализовать только с помощью трех кварков: $\Omega^{-2}(s s)$.