Луи де-Бройль (1923) высказал и развил идею о том, что материальные частицы должны обладать и волновыми свойствами. $К$ тому времени уже сложилась парадоксальная, но подтвержденная опытом, ситуация о свете: в одних явлениях (интерференция, дифракция и др.) свет проявляет себя как волны, в других явлениях с не меньшей убедительностью – как частицы. Это и побудило де-Бройля распространить подобный корпускулярно-волновой дуализм на частицы с массой покоя, отличной от нуля.

Если с такой частицей связана какая-то волна, можно ожидать, что она распространяется в направлении скорости $\mathbf{v}$ частицы. О природе этой волны ничего определенного де-Бройлем не было высказано. Не будем и мы пока выяснять их природу, хотя сразу же подчеркнем, что эти волны не электромагнитные. Они имеют, как мы увидим далее, специфическую природу, для которой нет аналога в классической физике.

Итак, де-Броиль высказал гипотезу, что соотношение (1.12), относящееся к фотонам, имеет универсальный характер. Т. е. для всех частиц длина волны

Эта формула получила название формулы де-Бройля, а $\lambda$ – дебройлевской длины волны частицы с импульсом $p$.

Де-Бройль также предположил, что пучок частиц, падающих на двойную щель, должен за ними интерферировать.

Вторым, независимым от формулы (3.1), соотношением является связь между энергией $E$ частицы и частотой $\omega$ дебройлевской волны:
]
\[
E=\hbar \omega .
\]

В принципе энергия $E$ определена всегда с точностью до прибавления произвольной постоянной (в отличие от $\Delta E$ ), следовательно частота $\omega$ является принципиально ненаблюдаемой величиной (в отличие от дебройлевской длины волны).

С частотой $\omega$ и волновым числом $k$ связаны две скорости фазовая $v_{\phi}$ и групповая $u$ :
\[
v_{\Phi}=\frac{\omega}{k} \quad \text { и } \quad u=\frac{\partial \omega}{\partial k} .
\]

Умножив числитель и знаменатель обоих выражений на $\hbar$, получим:
\[
\hbar \omega=E \quad \text { и } \quad \hbar k=2 \pi \hbar / \lambda=p,
\]

где второе равенство написано на основании (3.1).
Ограничимся рассмотрением только нерелятивистского случая. Полагая $E=p^{2} / 2 m$ (кинетическая энергия), перепишем соотношения (3.3) с помощью (3.4) в иной форме:
\[
v_{\Phi}=\frac{E}{p}, \quad u=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{p^{2}}{2 m}\right)=\frac{p}{m}=v .
\]

Отсюда видно, что групповая скорость равна скорости частицы, т. е. является принципиально наблюдаемой величиной, в отличие от $v_{\phi}$ – из-за неоднозначности $E$.

Из первой формулы (3.5) следует, что фазовая скорость дебройлевских волн
\[
v_{\Phi}=\frac{E}{\sqrt{2 m E}}=\sqrt{\frac{E}{2 m}}=\sqrt{\frac{\hbar \omega}{2 m}},
\]
т. е. зависит от частоты $\omega$, а значит дебройлевские волны обладают дисперсией даже в вакууме. Далее будет показано, что в соответствии с современной физической интерпретацией фазовая скорость дебройлевских волн имеет чисто символическое значение, поскольку эта интерпретация относит их к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Впрочем, сказанное видно и сразу, так как $E$ в (3.6) определена, как уже говорилось, с точностью до прибавления произвольной постоянной.

Установление того факта, что согласно (3.5) групповая скорость дебройлевских волн равна скорости частицы, сыграло в свое время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой физики, и в первую очередь в физической интерпретации дебройлевских волн. Сначала была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты весьма малой протяженности и таким образом решить парадокс двойственности свойств частиц. Однако подобная интерпретация оказалась ошибочной, так как все составляющие пакет гармонические волны распространяются с разными фазовыми скоростями. При наличии большой дисперсии, свойственной дебройлевским волнам даже в вакууме, волновой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона пакет расплывается практически мгновенно, в то время как частица является стабильным образованием.

Таким образом, представление частицы в виде волнового пакета оказалось несостоятельным. Проблема двойственности свойств частиц требовала иного подхода к своему решению.

Вернемся к гипотезе де-Бройля. Выясним, в каких явлениях могут проявиться волновые свойства частиц, если они, эти свойства, действительно существуют. Мы знаем, что независимо от физической природы волн – это интерференция и дифракция. Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны. Во всех случаях дебройлевская длина волны определяется формулой (3.1). Проведем с помощью нее некоторые оценки.

Прежде всего убедимся, что гипотеза де-Бройля не противоречит понятиям макроскопической физики. Возьмем в качестве макроскопического объекта, например, пылинку, считая, что ее масса $m=1$ мг и скорость $v=1$ мкм/с. Соответствующая ей дебройлевская длина волны
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m K}}=7 \cdot 10^{-20} \mathrm{~cm} .
\]
T. е. даже у такого небольшого макроскопического объекта как пылинка дебройлевская длина волны оказывается неизмеримо меньше размеров самого объекта. В таких условиях никакие волновые свойства, конечно, проявить себя не могут.

Иначе обстоит дело, например, у электрона с кинетической энергией $K$ и импульсом $p=\sqrt{2 m K}$. Его дебройлевская длина волны
\[
\lambda=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m K}}=\frac{1,22}{\sqrt{K}} \mathrm{HM},
\]

где $K$ в эВ. При $K=150$ эВ дебройлевская длина волны электрона равна согласно (3.8) $\lambda \approx 0,1$ нм или $\approx 1 \AA$. Такой же порядок величины имеет постоянная кристаллической решетки. Поэтому, аналогично тому, как в случае рентгеновских лучей, кристаллическая структура может быть подходящей решеткой для получения дифракции дебройлевских волн электронов. Однако гипотеза де-Бройля представлялась настолько нереальной, что довольно долго не подвергалась экспериментальной проверке.