Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины $\boldsymbol{Q}$ находится по формуле

где $\hat{Q}$ — оператор физической величины $\boldsymbol{Q}$.
Сопоставив (5.5) с (5.4), приходим к выводу, что операторами величин $x$ и $p_{x}$ являются

Аналогично для операторов $\hat{y}, \hat{z}, \hat{p}_{y}, \hat{p}_{z}$.
Операторы $\hat{x}$ и $\hat{p}_{x}$ являются основными в квантовой теории.

Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:

формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формуль, связывающие операторы этих величин.

Так, например, связь между квадратом импульса и квадратами его проекций в классической механике дается формулой
\[
p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2} .
\]

Поэтому оператор квадрата импульса
\[
\hat{p}^{2}=\hat{p}_{x}^{2}+\hat{p}_{y}^{2}+\hat{p}_{z}^{2}=\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}+\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2}+\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial z}\right)^{2} .
\]

В результате получим
\[
\hat{p}^{2}=-\hbar^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)=-\hbar^{2}
abla^{2},
\]

где оператор $
abla^{2}$ — это лапласиан, т. е. выражение в круглых скобках.
Аналогично находим оператор кинетической энергии:
\[
\hat{K}=\frac{1}{2 m} \hat{p}^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}
\]

и оператор полной энергии частицы — гамильтониан (его обозначают $\hat{H}$ ):

Зная выражения операторов $\hat{p}^{2}, \hat{K}$ и $\hat{H}$, можно найти средние значения $\left\langle p^{2}\right\rangle$, $\langle K\rangle$ и $\langle E\rangle$ по формуле (5.5), если известна $\psi$-функция частицы.

Пример. Найдем среднее значение кинетической анергии $\langle K\rangle$ частицы в состоянии $\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 l}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}, k=p / \hbar$. Функция $\psi(x)$ нормирована в интервале $-l<x<l$, вне этого интервала $\psi(x)=0$.

Согласно (5.8)
\[
\begin{array}{c}
\langle K\rangle=\int \psi^{*} \hat{K} \psi \mathrm{d} x=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{+l} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}\right) \mathrm{d} x= \\
=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} \frac{\hbar^{2}}{2 m} k^{2} \mathrm{~d} x=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}=\frac{p^{2}}{2 m},
\end{array}
\]

как и должно быть. Но такой простой результат получается не всегда. Здесь это связано с тем, что в простой дебройлевской волне импульс и кинетическая энергия имеют вполне определенные значения. Средние значения данных величин совпадают с этими единственными их значениями.
Найдем, наконец, оператор момента импульса. Согласно классической механике
\[
\mathbf{M}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}=\left|\begin{array}{lll}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\boldsymbol{x} & y & z \\
p_{x} & p_{y} & p_{z}
\end{array}\right| .
\]

В соответствии с общим правилом оператор проекции момента импульса, например, на ось $Z$ имеет вид:
\[
\hat{M}_{z}=x \hat{p}_{y}-y \hat{p}_{x}=x\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial y}\right)-y\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)=-\mathrm{i} \hbar\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right) \text {. }
\]

В дальнейшем нам придется использовать этот оператор, но не в декартовой, а в сферической системе координат $(r, \theta, \varphi)$. В этой системе оператор $\hat{M}_{z}$, как показано в задаче 5.8 , имеет вид

Заметим, что вид этого оператора похож на вид оператора $\hat{p}_{x}$.
Вернемся к оператору полной энергии (5.9). Найдем с помощью этого оператора связь между средними значениями полной, кинетической и потенциальной энергий:
\[
\langle\boldsymbol{E}\rangle=\int \psi^{*}(\hat{\boldsymbol{K}}+\hat{U}) \psi \mathrm{d} V=\int \psi^{\star} \hat{\boldsymbol{K}} \psi \mathrm{d} V+\int \psi^{\star} \hat{U} \psi \mathrm{d} V .
\]

Это значит, что

Полученное равенство не эквивалентно $E=K+U$. Действительно, в силу соотношения неопределенностей величины $K$ и $U$ не могут одновременно иметь определенные значения, поскольку $K$ зависит от импульса $p$, а $U$ — от координаты $x$. Формула (5.13) показывает, однако, что классическая связь сохраняется между средними значениями $E, K$ и $U$.

Крнтерий наличия распределения. Установим связь между средним значением некоторой величины $Q$ и средним значением его квадрата $Q^{2}$, т. е. $\langle Q\rangle$ и $\left\langle Q^{2}\right\rangle$. Известно, что конкретное значение $Q$ может быть представлено как
\[
Q=\langle Q\rangle+\Delta Q .
\]

Найдем среднее значение $\left\langle Q^{2}\right\rangle$ :
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=\left\langle(\langle Q\rangle+\Delta Q)^{2}\right\rangle=\left\langle\langle Q\rangle^{2}+2\langle Q\rangle \Delta Q+(\Delta Q)^{2}\right\rangle .
\]

Здесь $\langle Q\rangle$ и $\langle Q\rangle^{2}$ — это просто числа. Их средние значения равны им самим. Среднее же $\langle 2\langle Q\rangle \Delta Q\rangle=0$, поскольку $\langle\Delta Q\rangle=0$. Отсюда следует, что
\[
\left\langle Q^{2}\right\rangle=\langle Q\rangle^{2}+\left\langle(\Delta Q)^{2}\right\rangle .
\]

Среднее значение положительной величины $(\Delta Q)^{2}$ не может быть отрицательным и обращается в нуль в единственном случае, когда все $\Delta Q=0$, т. е. когда нет никакого распределения, и наша величина $Q$ имеет единственное значение (точно определена).
Формула (5.15) выражает собой критерий, позволяющий в каждом конкретном случае проверить, имеет ли интересующая нас величина распределение или имеет единственное значение. Для этого достаточно сравнить $\left\langle Q^{2}\right\rangle$ с $\langle Q\rangle^{2}$.

Собственные состояния. В предыдущей главе мы решали задачу о нахождении $\psi$-функций частицы в состояниях, где полная энергия имеет вполне определенные значения (в этом заключается суть квантования). Такие состояния и называют собственными.

Одним из основных постулатов квантовой теории является утверждение, что состояние, в котором физическая величина $Q$ имеет определенное значение, описывается $\psi$-функцией, являющейся решением уравнения где $\hat{\boldsymbol{Q}}$ — оператор физической величины $\boldsymbol{Q}$.
Убедимся, что это уравнение правильно решает поставленную задачу. Для этого найдем среднее значение $Q$ в состоянии, которое описывается $\psi$-функцией, удовлетворяющей уравнению (5.16):
\[
\langle\boldsymbol{Q}\rangle=\int \psi^{\star} \hat{\boldsymbol{Q}} \psi \mathrm{d} V=\int \psi^{\star} \boldsymbol{Q} \psi \mathrm{d} V=\boldsymbol{Q} \int \psi^{\star} \psi \mathrm{d} V=\boldsymbol{Q} .
\]

При нахождении $\langle Q\rangle$ мы заменили в подынтегральном выражении $\hat{Q} \psi$ на $Q \psi$ в соответствии с (5.16) и учли условие нормировки $\psi$-функции. Полученный результат очевиден, поскольку других значений $Q$ в этом состоянии нет.

Таким образом, $\psi$-функции, являющиеся решением уравнения (5.16), действительно, описывают собственные состояния.

Уравнения (5.16), вообще говоря, являются уравнениями в частных производных. Согласно математике, для однозначного решения таких уравнений нужны дополнительные ограничения, например, граничные и начальные условия.

Условия же, которые накладывает квантовая теория на решения уравнения (5.16), имеют несколько иной характер: физический смысл могут иметь лишь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия, как уже говорилось, называют естественными или стандартными.

Пример. Найдем с помощью уравнения (5.16) $\psi$-функцию состояния, в котором проекция импульса на ось $X$ имеет определенное значение $p_{x}$.
Для этого подставим в (5.16) в качестве оператора $\hat{Q}$ оператор $\hat{p}_{x}$ (5.6). Тогда
\[
-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}=p_{x} \psi
\]

Этому уравнению и всем необходимым условиям удовлетворяет функция
\[
\psi=\mathbf{e}^{\mathrm{i} k x}, \quad \text { где } k=p_{x} / \hbar,
\]

которая является координатной частью плоской волны де-Бройля.

Функции, являющиеся решением уравнения (5.16) и удовлетворяющие естественным условиям, называют собственными функциями оператора $\hat{Q}$. Те значения $Q$, при которых такие решения существуют, называют собственными значениями физической величины $Q$. При этом набор собственных значений для оператора $\hat{Q}$ определяет значения $Q$, которые могут быть найдены из опыта при измерении данной физической величины.

Набор собственных значений физической величины $\boldsymbol{Q}$ иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Опыт показывает, что в последнем случае измеренные значения $Q$ действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями $\boldsymbol{Q}$. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.

Уравнение (5.16) является обобщением правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе, на случай любых физических величин. Чтобы убедиться в этом, подставим (5.9) — оператор $\hat{H}$ в (5.16):
\[
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U\right) \psi=E \psi .
\]

Это уравнение Шредингера (4.3) для стационарных состояний. Поэтому сокращенно его можно записать в символической форме
\[
\hat{H} \psi=E \psi \text {, }
\]

отличающейся от (5.16) только обозначениями.