В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяется динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др. Однако реальное поведение микрочастиц показывает, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены.

Соотношения неопределенностей. Глубокий анализ причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности, провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей.

Наиболее важными являются два соотношения неопределенностей.

Первое из них ограничивает точности одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Для проекции, например, на ось $X$ оно выглядит так*:

Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии, $\Delta E$, за данный промежуток времени $\Delta t$ :
* Заметим, что в точном соотношении неопределенностей под $\Delta x$ и $\Delta p_{\mathrm{x}}$ должны пониматься среднеквадратичные отклонения от средних значений, а справа не $h$ и не $\hbar$, а $\hbar / 2$. Мы не будем пользоваться точным соотношением, так как во всех принцииальных вопросах существенно знать лишь порядок величины $\Delta x \cdot \Delta p_{x}$, а не ее точное значение.

Поясним смысл этих двух соотношений. Первое из них утверждает, что если положение частицы, например, по оси $X$ известно с неопределенностью $\Delta x$, то в тот же момент проекцию импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью $\Delta p_{x} \approx \hbar / \Delta x$. Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы по одной оси и проекции импульса – по другой: величины $x$ и $p_{y}$, $y$ и $p_{z}$ и т. д. могут иметь одновременно точные значения.

Согласно второму соотношению (3.21) для измерения энергии с погрешностью $\Delta E$ необходимо время, не меньшее, чем $\Delta t \approx \hbar / \Delta E$. Примером может служить \”размытие» энергетических уровней водородоподобных систем (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях этих систем порядка $10^{-8}$ с. Размытие же уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение), которое действительно наблюдается. Сказанное относится и к любой нестабильной системе. Если время жизни ее до распада порядка $\tau$, то из-за конечности этого времени энергия системы имеет неустранимую неопределенность, не меньшую, чем $\Delta E \approx \hbar / \tau$.

В дальнейшем будет показано, что во многих случаях умелое применение соотношений неопределенностей позволяет угадывать (или предсказывать) основные черты явлений.
0 соотношении $\Delta x \cdot \Delta p_{x} \geqslant \hbar$. Обсудим более подробно смысл и возможности этого соотношения. Прежде всего обратим внимание на то, что оно определяет принципиальный предел неопределенностей $\Delta x$ и $\Delta p_{x}$, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т. е. координатой $x$ и проекцией импульса $p_{x}$. Чем точнее $x$, тем с меньшей точностью возможно установить $p_{x}$, и наоборот.

Подчеркнем, что истинный смысл соотношения (3.20) отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частицы с точно определенными значениями обеих переменных, $\boldsymbol{x}$ и $p_{x}$. Вместе с тем мы вынуждены, поскольку измерения проводятся с помощью макроскопических приборов, приписывать частицам не свойственные им классические переменные. Издержки такого подхода и выражают соотношения неопределенностей.

После того, как выяснилась необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, соотношения неопределенностей возникают естественным образом – как математическое следствие теории.

Считая соотношение неопределенностей (3.20) универсальным, оценим, как бы оно сказалось на движении макроскопического тела. Возьмем очень маленький шарик массы $m=1$ мг. Определим, например, с помощью микроскопа его положение с погрешностью $\Delta x \approx 10^{-5} \mathrm{~cm}$ (она обусловлена разрешающей способностью микроскопа). Тогда неопределенность скорости шарика $\Delta v=\Delta p / m \approx(\hbar / \Delta x) / m \sim 10^{-19} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Такая величина недоступна никакому измерению, а потому и отступление от классического описания совершенно несущественно. Другими словами, даже для такого маленького (но макроскопического) шарика понятие траектории применимо с высокой степенью точности.

Иначе ведет себя электрон в атоме. Грубая оценка показывает, что неопределенность скорости электрона, движущегося по боровской орбите атома водорода, сравнима с самой скоростью: $\Delta v \approx v$. При таком положении представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл. И вообще, при движении микрочастиц в очень малых областях пространства понятие траектории оказывается несостоятельным.

Вместе с тем, при определенных условиях движение даже микрочастиц может рассматриваться классически, т. е. как движение по траектории. Так происходит, например, при движении заряженных частиц в электромагнитных полях (в электронно-лучевых трубках, ускорителях и др.). Эти движения можно рассматривать классически, поскольку для них ограничения, обусловленные соотношением неопределенностей, пренебрежимо малы по сравнению с самими величинами (координатами и импульсом).

Опыт со щелью. Соотношение неопределенностей (3.20) проявляет себя при любой попытке точного измерения положения или импульса микрочастицы. И каждый раз мы приходим к «неутешительному результату: уточнение положения частицы приводит к увеличению неопределенности импульса, и наоборот. В качестве иллюстрации такой ситуации рассмотрим следующий пример.

Попытаемся определить координату $x$ свободно движущейся с импульсом $p$ частицы, поставив на ее пути щель шириной $b$ (рис. 3.9). До прохождения частицы через щель ее проекция импульса $p_{x}$ имеет точное значение: $p_{x}=0$. Это значит, что $\Delta p_{x}=$ $=0$, но координата $x$ частицы является совершенно неопределенРис. 3.9 ной согласно (3.20).
Если частица пройдет сквозь щель, то в плоскости щели координата $x$ будет зарегистрирована с неопределенностью $\Delta x \approx b$. При этом вследствие дифракции с наибольшей вероятностью частица будет двигаться в пределах угла $2 \theta$, где $\theta$ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Он определяется условием, при котором разность хода волн от обоих краев щели будет равна $\lambda$ (это доказывается в волновой оптике):
\[
b \sin \theta=\lambda .
\]

В результате дифракции возникает неопределенность значения $p_{x}$ – проекции импульса, разброс которого
\[
\Delta p_{x} \approx p \sin \theta .
\]

Учитывая, что $b \approx \Delta x$ и $p=2 \pi \hbar / \lambda$, получим из двух предыдущих выражений:
\[
\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx p \lambda=2 \pi \hbar,
\]

что согласуется по порядку величины с (3.20).
Таким образом, попытка определить координату $x$ частицы, действительно, привела к появлению неопределенности $\Delta p_{x}$ в импульсе частицы.

Анализ многих ситуаций, связанных с измерениями, показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. В отличие от последних, в квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолен никаким совершенствованием приборов и методов измерений. Соотношение (3.20) и устанавливает один из таких пределов. Взаимодействие между микрочастицей и макроскопическим измерительным прибором нельзя сделать сколь угодно малым. Измерение, например, координаты частицы неизбежно приводит к принципиально неустранимому и неконтролируемому искажению состояния микрочастицы, а значит и к неопределенности в значении импульса.

Некоторые выводы. Соотношение неопределенностей (3.20) является одним из фундаментальных положений квантовой теории. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности:
1. Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.
2. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.
3. Часто теряет смысл деление полной энергии $E$ частицы (как квантового объекта) на потенциальную $U$ и кинетическую $K$. В самом деле, первая, т. е. $U$, зависит от координат, а вторая – от импульса. Эти же динамические переменные не могут иметь одновременно определенного значения.
Размер атома водорода. Прежде чем рассмотреть важный пример, относящийся к атому водорода, остановимся на вопросе, который часто вызывает недоумение. Пусть частица «заперта» в одномерной области размером $l$. При нахождении возможного значения минимальной энергии $E_{\text {мин }}$ частицы мы обычно считаем, что импульс частицы по порядку величины равен его неопределенности, т. е. $p \sim \Delta p$. На каком основании?

Чтобы понять, почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию $E>E_{\text {мин }}$. Тогда ее импульс может быть представлен как $p=\langle p\rangle+\Delta p$. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию $E$, а значит и импульс $\langle p\rangle$. При этом $\Delta p$ не меняется, поскольку $\Delta p \approx \hbar / l$ согласно соотношению (3.20). Когда $E$ станет равной $E_{\text {мин }}$, величина $\langle p$ > обратится в нуль и останется только $\Delta p$. Эту величину и принимают за $p$. Теперь перейдем к атому водорода.

Оценим его размер и попытаемся понять, почему электрон не падает на ядро (как это можно объяснить с помощью соотношения неопределенностей).

Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для оценки наименьшей возможной энергии $E_{\text {мин }}$ электрона в кулоновском поле ядра можно положить разброс расстояний электрона от ядра $\Delta r \approx r$ и $\Delta p \approx p$. Тогда согласно (3.20) $p \approx \hbar / r$, и энергия $E$ может быть представлена как
\[
E=\frac{p^{2}}{2 m}-\frac{e^{2}}{r} \approx \frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{e^{2}}{r} .
\]

Значение $r$, при котором $E=$ мин, можно найти, приравняв производную $\mathrm{d} E / \mathrm{d} r$ к нулю:
\[
-\frac{\hbar^{2}}{m r^{3}}+\frac{e^{2}}{r^{2}}=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
r=\hbar^{2} / m e^{2} .
\]

Полученный результат полностью совпадает с боровским радиусом (2.23).
Подставив (3.23) в (3.22), мы найдем энергию $E_{\text {мин }}$ :
\[
E_{\text {мин }}=-\frac{e^{2}}{2 r}=-\frac{m e^{4}}{2 \hbar^{2}}=-13,6 \text { эВ, }
\]

что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода (2.25).

Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точными значениями $r$ и $E$ следует считать случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин и что, основываясь на волновых представлениях, или принципе неопределенности, можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро. Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых энергии (3.22), имеющих противоположные знаки. Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшив $r$, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот.

Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях. В результате электрон находится в среднем на таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения.