Поиск уравнения, управляющего изменениями состояния системы, т. е. ее $\Psi$-функции во времени успешно был завершен Э. Шредингером (1926). Это – основное уравнение нерелятивистской квантовой теории, уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом.

Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной теории Бора и соответственно – с результатами наблюдений.

Уравнение Шредингера играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон Ньютона) в нерелятивистской механике.
Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

где і – мнимая единица ( $\sqrt{-1}$ ), $m$ – масса частицы, $
abla^{2}$ – оператор Лапласа, $U$ – потенциальная энергия (мы ограничимся рассмотрением потенциальных силовых полей, для которых функция $U(\mathbf{r})$ не зависит явно от времени).

Обратим внимание на следующую особенность уравнения (4.5). В то время как, согласно интерпретации $\Psi$-функции, частица, как говорят, \”размазана» в пространстве, потенциальная энергия $U$ рассматривается в (4.5) как функция локализованной точечной частицы в силовом поле.

Стационарные состояния. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния – состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Сама $\Psi$-функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаема. В стационарных состояниях она имеет вид
\[
\Psi(\mathbf{r}, t)=\psi(\mathbf{r}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, \quad \omega=E / \hbar,
\]

где функция $\psi(\mathbf{r})$ не зависит от времени, а выражение для частоты $\omega$ написано согласно (3.2).

При таком виде $\Psi$-функции плотность вероятности $P$ остается постоянной. В самом деле,
\[
P=\Psi \Psi^{*}=\psi(\mathbf{r}) \cdot \psi^{*}(\mathbf{r}),
\]
т. е. действительно, плотность вероятности $P$ от времени не зависит.

Для нахождения функции $\psi(\mathbf{r})$ в стационарных состояниях подставим выражение (4.6) в уравнение (4.5), и мы получим
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi+U \psi=E \psi
\]

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него, (4.5) называют временным или общим уравнением Шредингера.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением (4.8) и будем записывать его (как это обычно принято) в виде

Еще раз напомним, что потенциальная энергия – функция $U(\mathbf{r})$-здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Квантование. В отличие от первоначальной теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Шредингера оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения (4.9), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция $\psi(\mathbf{r})$ должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т. е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия $U(\mathbf{r})$ терпит разрыв. Эти условия не представляют чего-нибудь особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.

Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии $E$. Их называют собственными значениями, а функции $\psi(\mathbf{r})$, являющиеся решениями уравнения (4.9) при этих значениях энергии, собственными функциями, принадлежащими собственным значениям $E$. В этом и состоит естественный и общий принцип квантования.

Собственные значения энергии $E$ и принимаются за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии $E$ могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр.

В общем случае зависимости потенциальной энергии $U(\mathbf{r})$ от координат, решение уравнения Шредингера представляет собой весьма громоздкую задачу. Но если мы все же нашли это решение $\psi(\mathbf{r})$, то в принципе мы можем найти не только распределение вероятности местонахождения частицы, но также вероятности собственных значений различных физических величин (например, энергии, импульса, момента импульса). Надо только знать способ, как извлечь значения этих величин из функции $\psi(\mathbf{r})$. Но об этом в дальнейшем.

Заметим, что при более строгом рассмотрении стационарных состояний выясняется, что они вовсе не стационарные. Вместе с тем, решения уравнения Шредингера приводят к наличию строго стационарных состояний, в противоречии с известными экспериментальными фактами. Здесь проявляется очевидная ограниченность уравнений Шредингера: они не описывают радиационных переходов. Тем не менее, предсказываемые уравнением Шредингера стационарные состояния с хорошей точностыо соответствуют почти стационарным состояниям. Об этом свидетельствует опыт.

Теперь перейдем к рассмотрению нескольких простейших случаев, на которых проиллюстрируем, что квантование – это, действительно, естественное следствие вышеприведенных условий, накладываемых на решения уравнения Шредингера. При этом никаких дополнительных предположений делать не требуется.