Из закона сохранения энергии следует, что модуль импульса рассеянной частицы остается таким же, как и до рассеяния, поскольку ядро, на котором происходит рассеяние, мы считаем неподвижным (из-за большой массы). Отсюда модуль приращения импульса рассеянной частицы (рис. П.1, б):
\[
|\Delta \mathbf{p}|=2 p_{0} \sin (\theta / 2)
\]

Рис. II. 1
С другой стороны, из рис. П.1, а следует, что
\[
|\Delta \mathbf{p}|=\int F_{n} \mathrm{~d} t=\int \frac{q q_{0}}{r^{2}} \cos \alpha \cdot \mathrm{d} t,
\]

где $F_{n}$ – проекция кулоновской силы на направление $\Delta \mathbf{p}$ (или $\mathbf{n})$, действующей на налетающую частицу ( $q$ ) со стороны ядра ( $q_{0}$ ). Перепишем интеграл (П.7) в иной форме, учитывая, что согласно рис. П. $1, a$ углы $\alpha, \varphi, \theta$ связаны соотношением $\alpha+\varphi=$ $=(\pi-\theta) / 2$, откуда
\[
\alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}-\varphi .
\]

Тогда $\cos \alpha=\sin (\varphi+\theta / 2)$ и интеграл (П.7) после замены $\mathrm{d} t=\mathrm{d} \varphi / \dot{\varphi}$ можно представить в виде
\[
|\Delta \mathbf{p}|=\int \frac{q q_{0}}{r^{2}} \frac{\sin (\varphi+\theta / 2) \mathrm{d} \varphi}{\dot{\varphi}} .
\]

Замена $\mathrm{d} t$ сделана для того, чтобы в знаменателе получить величину $r^{2} \dot{\varphi}$. Она связана с моментом импульса $M_{z}$ относительно оси $Z$, проходящей через ядро $q_{0}$ и перпендикулярной плоскости рисунка. Действительно, $M_{z}=m r v_{\varphi}=m r^{2} \dot{\varphi}$, где $v_{\varphi}-$ проекция скорости частицы на орт $\mathbf{e}_{\varphi}$, перпендикулярный радиусу-вектору $\mathbf{r}$. Момент силы, действующий на налетающую частицу (относительно ядра $q_{0}$ ) все время равен нулю. Поэтому момент $M_{z}$ сохраняется и равен своему первоначальному значению $b p$, т. е. $r^{2} \dot{\varphi}=b v_{0}$.

Теперь проинтегрируем (П.8) по $\varphi$ от 0 до $\pi-\theta$. В результате получим:
\[
|\Delta \mathbf{p}|=\frac{q q_{0}}{b v_{0}} 2 \cos \frac{\theta}{2} .
\]

Из сопоставления (П.9) с (П.6) получаем искомое соотношение:
\[
\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}=\frac{q q_{0}}{2 b K} .
\]

где, напомним, $b$ – прицельный параметр, $K$ – кинетическая энергия налетающей частицы вдали от ядра.