Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме $U(x)$, имеющей две различные конфигурации – два случая. Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси $X$.
Случай 1. Он является самым простым: ширина ямы равна $l$, стенки ямы бесконечно высокие (рис. 4.1, a). Потенциальная энергия в этом случае имеет следующие значения: она равна нулю в интервале $(0, l)$ и обращается в бесконечность при $x=0$ и $x=l$.
Рис. 4.1

Исходим из уравнения Шредингера (4.9). Для одномерного случая в пределах ямы (где $U=0$ ) это уравнение упрощается:
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+k^{2} \psi=0,
\]

где введено обозначение
\[
k^{2}=2 m E / \hbar^{2} \text {. }
\]

Общее решение уравнения (4.10) имеет вид
\[
\psi(x)=a \sin (k x+\alpha),
\]

где $a$ и $\alpha$ – произвольные постоянные.
Теперь самое главное: мы должны потребовать от функции $\psi(x)$, чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что $\psi(x)$ в виде (4.12) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там $\psi(x)=0$, и для непрерывности $\psi$-функции необходимо, чтобы при $x=0$ и $x=l$ функция (4.12) была бы равна нулю. Из условия
\[
\psi(0)=a \sin \alpha=0
\]

следует, что $\alpha=0$. Из условия же
\[
\psi(l)=a \sin k l=0
\]

в свою очередь следует, что
\[
k l= \pm \pi n,
\]

где $n=1,2,3, \ldots$ ( $n=0$ отпадает, так как при этом $\psi=0$ – частицы вообще нет).
Подставив $k$ из (4.13) в (4.11), получим
\[
E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m l^{2}} n^{2}, \quad n=1,2,3, \ldots
\]

Энергия оказалась квантованной и ее спектр – дискретный (рис. 4.1, б).

Итак, собственные значения $E$ мы нашли – это (4.14). Теперь найдем соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения $k$ из (4.13) в (4.12), где $\alpha=0$, тогда
\[
\psi(x)=a \sin (n \pi x / l) .
\]

Для определения коэффициента $a$ воспользуемся условием нормировки (4.3). В нашем случае оно примет вид
\[
a^{2} \int_{0}^{l} \sin ^{2} \frac{n \pi x}{l} \mathrm{~d} x=1 .
\]

На концах интервала $(0, l$ ) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса (а оно равно $1 / 2$ ) на ширину ямы $l$ :
\[
a^{2}(1 / 2) l=1,
\]

откуда $a=\sqrt{2 / l}$.
Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид
\[
\psi_{n}(x)=\sqrt{2 / l} \sin (n \pi x / l), \quad n=1,2,3, \ldots
\]

Графики нескольких собственных функций показаны на рис. 4.2 пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности – сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии ( $n=1$ ) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.
Рис. 4.2
С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа $n$ ) максимумы распределения $\psi_{n}^{2}(x)$ располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях $n$ картина распределения $\psi_{n}^{2}(x)$ практически \”сливается\” и представляется равномерным – частица начинает вести себя совсем «по-классически».

Внимательный читатель по-видимому заметил, что найденные нами собственные функции (4.15) удовлетворяют не всем естественным условиям: на границах ямы $\psi$-функции не гладкие, испытывают излом. Это обстоятельство является следствием того, что на границах ямы $U \rightarrow \infty$, чего в реальном мире не бывает. При любом конечном разрыве потенциальной энергии $\psi$-функция все равно остается гладкой (об этом подробнее ниже).

Заметим также, что в отличие от классики минимальное значение энергии $E$ частицы в яме согласно (4.14) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен суцествовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия.

Случай 2. Частица движется в одномерном потенциальном поле $U(x)$, показанном на рис. 4.3. Уже этот случай связан с достаточно громоздкими математическими преобразованиями.

Если полная энергия частицы $E<U_{0}$, то говорят, что частица находится в потенциальной яме, или в связанном состоянии. Будь частица классической, она не смогла бы при этом условии выйти за пределы ямы, поскольку там ее кинетическая энерРис. 4.3 гия была бы отрицательной, что невозможно. Отражаясь от стенок ямы, частица двигалась бы только в ее пределах и могла быть с равной вероятностью обнаружена в любом месте ямы.

Существенно иначе ведут себя частицы, подчиняющиеся квантовым законам. Чтобы выяснить, как именно, воспользуемся уравнением Шредингера (4.9) в одномерном виде. Поскольку функция $U(x)$, как видно из рис. 4.3, является ступенчатой, то удобно разбить область изменения $x$ на два участка, 1 и 2 , с постоянными значениями $U$, получить решения для каждого участка, а затем «сшить\” эти решения так, чтобы $\psi$-функция была непрерывной и гладкой.

Снабдим решения на участке 1 индексом 1 , а на участю 2 индексом 2. Теперь запишем уравнение Шредингера для этих двух участков:
\[
\begin{array}{ll}
\psi_{1}^{\prime \prime}+k^{2} \psi_{1}=0, & k^{2}=2 m E / \hbar^{2}, \\
\psi_{2}^{\prime \prime}+\varkappa^{2} \psi_{2}=0, & \varkappa^{2}=2 m\left(U_{0}-E\right) / \hbar^{2} .
\end{array}
\]

Общие решения этих уравнений имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(x)=a \sin (k x+\alpha), \\
\psi_{2}(x)=b \mathrm{e}^{-\kappa x}+c \mathrm{e}^{\varkappa x} .
\end{array}
\]

Они должны удовлетворять естественным условиям. Из условия непрерывности $\psi$-функции, учитывая, что при $x \leqslant 0 \quad \psi_{1} \equiv 0$, имеем $\psi_{1}(0)=0$, откуда $\alpha=0$. Из требования конечности $\psi$-функции следует, что коэффициент $c=0$, поскольку экспонента с положительным показателем соответствует непрерывному росту вероятности обнаружения частицы в области 2 с увеличением глубины проникновения $x$. И наконец, требование непрерывности и гладкости $\psi$-функции в точке $x=l$ означает, что
\[
\psi_{1}(l)=\psi_{2}(l), \quad \psi_{1}^{\prime}(l)=\psi_{2}^{\prime}(l) .
\]

Отсюда мы приходим к трансцендентному уравнению
\[
\operatorname{tg} k l=-k / x,
\]

которое удобнее представить через синус по формуле
\[
\sin \alpha=1 / \sqrt{1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha} .
\]

В результате получим
\[
\sin k l= \pm C k l,
\]

где $C=\hbar / \sqrt{2 m l^{2} U_{0}}$.
Изобразив графики левой и правой частей этого уравнения (рис. 4.4), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям $E$, будут соответствовать тем точкам пересечения, для которых $\operatorname{tg} k l<0$ согласно (4.18). Это значит, что корни уравнения (4.19) должны находиться в четных четвертях окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками).

Из рис. 4.4 видно, что корни уравнения (4.19), т. е. связанные состояния, существуют в такой яме не всегда. Пунктиром показано предельное полоРис. 4.4 жение прямой $C k l$.

Например, первый уровень, как следует из этого рисунка, появляется при условии $k l=\pi / 2$, когда $C k l=1$, откуда $E=U_{0}$. Второй уровень – при $k l=(3 / 2) \pi$ и т. д.

Таким образом, в данной яме при $E<U_{0}$ спектр собственных значений энергии $E$ оказывается дискретным. Этим значениям соответствуют связанные состояния частицы и характеризующие эти состояния $\psi$-функции, одна из которых показана на рис. 4.5. Рис. 4.5
Следует еще раз отметить, что такая потенциальная яма, как показывает расчет и график на рис. 4.4, может не содержать и ни одного уровня (это будет при условии $l^{2} U_{0}<\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m$ ). В этом случае движение частицы не локализовано в конечной области, ее движение, как говорят, инфинитно.

Нельзя не обратить внимания на тот удивительный (с точки зрения классики) факт, что частица, будучи в связанном состоянии, может оказаться и в области 2 (см. рис. 4.3), где ее полная энергия $E<U_{0}$. Объясняется это тем, что равенство $E=K+U$ в квантовой теории теряет смысл: кинетическая $K$ и потенциальная $U$ энергии в силу принципа неопределенности не могут одновременно принимать точные значения. В самом деле, $U$ зависит от координат, а $K$ – от импульса частицы. Поэтому не следует удивляться тому, что в некоторых местах полная энергия $E<U$.

Отметим также, что с ростом, например, глубины ямы, т. е. $U_{0}$, число уровней энергии $E$ и связанных состояний будет увеличиваться, а вероятность обнаружения частицы в области 2 будет становиться все меньше, и при $U_{0} \rightarrow \infty$ она обратится в нуль, $\psi$-функция в точке $x=l$ приобретает излом (теряет гладкость), с чем мы и столкнулись в случае 1 и наблюдаем в данной яме в точке $x=0$.

Уместно здесь коснуться вопроса о гладкости $\psi$-функции в месте конечного разрыва ${ }^{*}$ функции $U(x)$. Проинтегрируем уравнение Шредингера по малому интервалу координаты $x$, внутри которого имеется скачок $U(x)$, например, в точке $x=0$. В результате получим
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}(+\delta)-\frac{\partial \psi}{\partial x}(-\delta)=-\int_{-\delta}^{+\delta} \frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U) \mathrm{d} x,
\]

где координату $x$ берем в малом интервале ( $-\delta,+\delta$ ). Ввиду конечности скачка $U(0)$ интервал при $\delta \rightarrow 0$ тоже стремится к нулю. Отсюда и следует, что слева и справа от точки $x=0$ производные $\partial \psi / \partial x$ будут одинаковы, значит $\psi$-функция оказывается гладкой.