Световые кванты. Квантовая гипотеза Планка была оценена по достоинству и получила дальнейшее развитие прежде всего в работах Эйнштейна. Он первый указал на то, что кроме теплового излучения существуют и другие явления, которые можно объяснить на основе квантовой гипотезы.

В 1905 г. Эйнштейн выдвинул гипотезу световых квантов. Он предположил, что дискретный характер присущ не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету. Гипотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить результаты экспериментов по фотоэффекту, совершенно непонятные с позиций классической электромагнитной теории. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Фотоэлектрическим эффектом, или фотоэффектом называют испускание электронов веществом под действием света. Исследование закономерностей фотоэффекта проводят на установке, схематически показанной на рис. 1.1. При освещении катода $K$ монохроматическим светом через кварцевое окошко (пропускающее и ультрафиолетовые лучи) из катода вырываются фотоэлектроны, и
Рис. 1.1 в цепи возникает фототок, регистрируемый гальванометром $G$. График зависимости фототока $I$ от приложенного внешнего напряжения $V$ между катодом и анодом $A$ представлен на рис. 1.2. Этот график называют характеристикой фотоэлемента, т. е. того прибора, в котором наблюдают фотоэффект. Для этой зависимости характерно наличие участка тока насыщения $I_{\text {нас }}$, когда все электроны, вырванные светом с поверхности катода $K$, попадают на анод $A$, и другого участка, на котором фототок уменьшается до нуля при некотором внешнем задерживающем напряжении $V_{1}$ Pис. 1.2 (на рис. $1.2 V_{1}<0$ ).

Многочисленными экспериментами были установлены три основные закономерности фотоэффекта:
1. Фототок насыщения пропорционален падающему световому потоку (при одном и том же спектральном составе). Это значит, что число электронов, вырываемых светом ежесекундно, пропорционально мощности падающего света. Bпервые это было установлено А.Г. Столетовым (1889).
2. Для каждого металла существует максимальная длина волны света $\lambda_{\text {к }}$ (или минимальная частота $\omega_{\text {к }}$ ), при которой еще происходит вырывание электронов. Если длина волны превышает $\lambda_{\text {к }}$ – так называемую красную гранииу фотоэффекта, то испускание фотоэлектронов отсутствует даже при достаточно большой интенсивности падающего света*.
3. Максимальная кинетическая энергия $K$ фотоэлектронов линейно зависит от частоты $\omega$ облучающего света (причем $K_{\text {макс }}$ растет с увеличением $\omega$ ) и не зависит от интенсивности света. Заметим, что максимальное значение кинетической энергии фотоэлектронов определяют по так называемой задерживающей разности потенциалов (этот вопрос рассмотрен ниже).

С точки зрения классических волновых представлений сам факт вырывания электронов из металла неудивителен, так как падающая электромагнитная волна вызывает вынужденные колебания электронов в металле. Электрон, поглощая энергию, может накопить ее в количестве, достаточном для преодоления потенциального барьера, удерживающего электрон в металле, т. е. для совершения работы выхода. Если это так, то энергия фотоэлектронов должна зависеть от интенсивности света. Увеличение же интенсивности света приводит лишь к возрастанию числа фотоэлектронов.

Более того, резкое расхождение теории с опытом возникает при очень малой интенсивности света. По классической волновой теории фотоэффект в этих условиях должен протекать с заметным запаздыванием, поскольку требуется конечное время для накопления необходимой энергии. Однако опыт показывает, что фотоэффект появляется практически мгновенно, т.е. одно-
* При очень больших интенсивностях, например сфокусированное лазерное излучение, красная граница фотоэффекта исчезает.

временно с началом освещения (промежуток времени между началом освещения и появлением фототока не превышает $10^{-9} \mathrm{c}$ ).

Все трудности отпадают, если фотоэффект рассматривать на основе гипотезы Эйнштейна о световых квантах. В соответствии с этой гипотезой падающее монохроматическое излучение рассматривается как поток световых квантов – фотонов, энергия $\varepsilon$ которых связана с частотой $\omega$ соотношением
\[
\varepsilon=\hbar \omega .
\]

При поглощении фотона его энергия целиком передается одному электрону. Таким образом, электрон приобретает кинетическую энергию не постепенно, а мгновенно. Этим и объясняется безынерционность фотоэффекта.

Формула Эйнштейна. Полученная электроном энергия $\hbar \omega$ частично затрачивается на освобождение из металла. А остальная часть переходит в кинетическую энергию вылетевшего из металла фотоэлектрона. Минимальную энергию, необходимую для освобождения электрона из металла, т. е. для преодоления потенциального барьера, называют работой выхода $A$. Следовательно, для фотоэлектронов с максимальной кинетической энергией $K_{\text {макс }}$ закон сохранения энергии в элементарном акте поглощения фотона можно записать так:

Эта формула впервые была получена Эйнштейном и носит его имя – формула Эйнштейна.
Пример. Отдаленный от других тел металлический шарик, работа выхода электрона с поверхности которого равна $A$, освещают электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda$. Найдем, до какого минимального потенциала $\varphi_{\text {мин }}$ зарядится шарик, испуская фотоэлектроны.
По мере испускания фотоэлектронов шарик будет заряжаться, т. е. приобретать положительный потенциал $\varphi$, играющий роль задерживающего потенциала. Когда глубина потенциальной ямы, из которой должен *выбраться* фотоэлектрон, окажется равной его максимальной кинетической энергии, наступает равновесие, и мы можем в соответствии с (1.3) записать:
\[
e \varphi_{\text {макс }}=K_{\text {макс }}=\hbar \omega-A .
\]

Отсюда следует с учетом того, что $\omega=2 \pi c / \lambda$,
\[
\varphi_{\text {макс }}=(2 \pi \hbar \mathrm{c} / \lambda-A) / e .
\]

Из последней формулы видно, что соотношение между $\lambda$ и $A$ должно быть таким, чтобы величина, стоящая в скобках, была положительной.

Вернемся к формуле Эйнштейна (1.3). Из нее автоматически вытекают следующие закономерности, находящиеся в строгом согласии с опытом.
1. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности. Интенсивность обусловливает только количество фотоэлектронов, но совершенно не влияет на их максимальную кинетическую энергию. Кстати отметим, что наклон прямой на графике $K_{\text {макс }}(\omega)$, как видно из формулы (1.3), т. е. $\mathrm{d} K_{\text {макс }} / \mathrm{d} \omega=\hbar$. На этом основан один из методов определения постоянной Планка.
2. Существует низкочастотная граница – порог фотоэффекma, т.е. такая частота $\omega_{0}$, ниже которой фотоэффект отсутствует. Эта частота согласно (1.3) соответствует равенству $\hbar \omega_{0}=A$. Если $\omega<\omega_{0}$, то энергии фотона не хватает, чтобы электрон мог преодолеть потенциальный барьер «высотой» $A$ и выбраться из металла. На этом основан один из методов определения работы выхода*

Частоте $\omega_{0}$ соответствует красная граница фотоэффекта, длина волны которой $\lambda_{\kappa}=2 \pi c / \omega_{0}$. Наличие такой границы совершенно непонятно с волновой точки зрения. Значения $\lambda_{\text {к }}$ для некоторых металлов приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
* Работа выхода может быть определена экспериментально независимо от фотоэффекта, например, с помощью исследования термоэлектронной эмиссии. Эта работа зависит от ряда факторов и имеет порядок нескольких эВ.

В справочной литературе наблюдается довольно большой разброс в значениях $\lambda_{\mathrm{x}}$ для одних и тех же металлов. Поэтому к значениям $\lambda_{\mathrm{к}}$ в табл. 1.1 следует относиться с определенной осторожностью.

Трудности эксперимента. Необходимо заметить, что получение точных результатов сильно затрудняют два обстоятельства:
1) экспериментальная кривая $I(V)$ в области $V_{1}$ (см. рис. 1.2) подходит к оси $V$ практически асимптотически, вследствие чего определение $V_{1}$ довольно неопределенно;
2) всю кривую $I(V)$ смещает (влево или вправо) наличие так называемой контактной разности потенциалов, т. е. разности потенциалов, которая возникает между двумя различными металлами (а это приходится, как правило, делать, поскольку катод $K$ и анод $A$ изготовляют по необходимости из различных металлов). Причем известно, что контактная разность потенциалов между катодом и анодом не зависит от природы проводников, их соединяющих.
Неизбежное присутствие контактной разности потенциалов и трудность ее учета, а также ряд других экспериментальных затруднений и источников ошибок – все это привело к тому, что достаточно точное подтверждение уравнения Эйнштейна (1.3) было получено не сразу.

Это уравнение было подтверждено в тщательных опытах Милликена (1916) и последующих исследователей, создавших установку, в которой катод $K$ имел форму небольшого шарика, помещенного в центр сферической обкладки – анода $A$ (рис. 1.3). При такой конфигурации практически все электроны, вырванные светом из катода, попадают на анод и в отсутствие ускоряющей разности потенциалов. Кроме того, характеристика такого фотоэлемента $I(V)$ спадает к нулю достаточно круто, и значение $V_{1}$ (см. рис. 1.2) может быть определено с Рис. 1.3 хорошей точностью.

Задерживающая разность потенциалов. Именно эта величина позволяет задержать фотоэлектроны, вылетающие из катода с максимальной кинетической энергией $K_{\text {макс }}$, что и приводит к прекращению фототока. Если бы катод и анод фотоэлемента были изготовлены из одного и того же металла, то контактная разность потенциалов отсутствовала бы, и определение задерживающей разности потенциалов сводилось бы просто к измерению внешнего задерживающего напряжения, т. е. показаниям вольтметра $V_{3}<0$ (рис. 1.4). Действительно, при $V=0$ все фотоэлектроны вне зависимости от начальной скорости достигали бы анода, и мы уже имели бы ток насыщения.
Рис. 1.4
Определение задерживающей разности потенциалов усложняется, если катод и анод изготовлены из разных металлов (что обычно и бывает). В этом случае начинает играть заметную роль контактная разность потенциалов. Если она есть и, например, такова, что тормозит вылетающие из катода фотоэлектроны, то приходится прикладывать внешнее напряжение $V$ (измеряемое вольтметром). И если это напряжение таково, что компенсирует тормозящую контактную разность потенциалов, то начало горизонтального участка (тока насыщения) – точка 2 на рис. 1.5 – сдвинется вправо, в сторону положительных значений показания вольтметра $V$.
Рнс. 1.5
Таким образом, задерживающая разность потенциалов $V_{3}$ будет равна (по модулю) сумме
\[
V_{3}=V_{2}+\left|V_{1}\right|=V_{2}-V_{1},
\]

как показано на рис. 1.5 , где $V_{1}<0$. Заметим, что, вообще гово$p я, V_{1}$ есть величина алгебраическая, она может иметь любой знак или равняться нулю.

Если контактная разность потенциалов не тормозит, а ускоряет фотоэлектроны, т.е. имеет противоположный знак, то характеристика фотоэлемента $I(V)$ вместе с точкой 2 сместится влево. При этом выражение (1.4) для $V_{3}$ остается, как легко убедиться, прежним, только в нем оба показания вольтметра ( $V_{2}$ и $V_{1}$ ) могут оказаться отрицательными, но их разность по-прежнему будет положительной и равной $V_{3}$.

Итак, определив $V_{3}$, мы тем самым находим максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов $-K_{\text {макс }}$ в формуле Эйнштейна (1.3):
\[
K_{\text {макс }}=e V_{3}=e\left(V_{2}-V_{1}\right) .
\]

Отметим, что положение точки 2 на рис. 1.5, т. е. показание вольтметра $V=V_{2}$, зависит только от контактной разности потенциалов, положение же точки 1 , т. е. показание $V_{1}$ вольтметра – от частоты $\omega$ падающего света. Значит, и задерживающая разность потенциалов $V_{3}$ тоже зависит от $\omega$.
Если построить экспериментальный график зависимости $K_{\text {макс }}(\omega)$, то получается прямая (рис. 1.6), что является убедительным подтверждением формулы Эйнштейна (1.3).
Заметим, что точка пересечения прямой с осью абсцисс определяет частоту $\omega_{0}$, соответствующую красной границе фотоэффекта, а точка пересечения продолжения прямой с осью ординат Рис. 1.6 работу выхода $A$. Если же на оси ординат откладывать $V_{1}$, (показание вольтметра, при котором фототок обращается в нуль), то отмеченные две точки не будут соответствовать $\omega_{0}$ и $A$ (из-за наличия контактной разности потенциалов). К сожалению, это часто не учитывают, и полученные результаты сильно отличаются от действительных значений.

Пример: При последовательном освещении катода светом с частотой $v=1,0 \cdot 10^{15}$ Гц и $v^{\prime}=1,4 \cdot 10^{15}$ Гц показания вольтметра, при которых фототок прекращался, оказались $V_{1}=-0,40 \mathrm{~B}$ и $V_{1}^{\prime}=-2,0$ В (см. цис. 1.5). Найдем постоянную Планка.

Воспользовавшись уравнением Эйнштейна (I.3) и формулой (1.5), запишем:
\[
\begin{array}{l}
2 \pi \hbar v^{\prime}=A+e\left(V_{2}-V_{1}^{\prime}\right), \\
2 \pi \hbar v=A+e\left(V_{2}-V_{1}\right),
\end{array}
\]

где $V_{1}^{\prime}$ и $V_{1}<0$. Чтобы избавиться от неизвестных $A$ и $V_{2}$, вычтем (2) из (1):
\[
2 \pi \hbar\left(v^{\prime}-v\right)=e\left(V_{1}-V_{1}^{\prime}\right) .
\]

Отсюда
\[
\hbar=\frac{e}{2 \pi} \frac{V_{1}-V_{1}^{\prime}}{v^{\prime}-v}=\frac{4,8 \cdot 10^{-10} \cdot 1,6 / 300}{2 \pi 0,4 \cdot 10^{15}}=1,0 \cdot 10^{-27} \text { эрг } \cdot \text {. }
\]