Введение. В настоящее время мы знаем, что любой атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки. Размеры ядра менее $10^{-12} \mathrm{cм}$, размеры же самого атома, определяемые электронной оболочкой, порядка $10^{-8}$ см, т. е. в десятки тысяч раз больше размеров ядра. При этом практически вся масса атома сосредоточена в ядре.

Если все это так, то атом должен быть в высокой степени прозрачным для пронизывающих его частиц. Экспериментальное доказательство изложенной модели атома было дано Резерфордом (1911) с помощью рассеяния $\alpha$-частиц (ядер атомов Не) тонкой металлической фольгой.

Было обнаружено, что подавляющее число $\alpha$-частиц, рассеивалось на небольшие углы (не больше $\sim 3^{\circ}$ ). Вместе с тем наблюдались также отдельные $\alpha$-частицы, рассеянные на большие углы. Относительно последних Резерфорд сделал вывод, что такие частицы появляются в результате единичного акта их взаимодействия с ядром атома.

Исходя из предположений, что взаимодействие указанных $\alpha$-частиц с ядром является кулоновским, а заряд и масса ядра локализованы в очень малой области атома, Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния $\alpha$-частиц и вывел формулу для распределения рассеянных $\alpha$-частиц в зависимости от угла отклонения $\theta$. В своих рассуждениях Резерфорд принимал во внимание рассеяние $\alpha$-частиц только на ядрах, поскольку заметного отклонения $\alpha$-частиц электронами не может быть из-за того, что масса электронов на четыре порядка меньше массы $\alpha$-частиц.
Когда $\alpha$-частица пролетает вблизи ядра, ее траектория представляет собой гиперболу, причем угол отклонения $\alpha$-частицы – угол $\theta$ – равен углу между асимптотами гиперболы (рис. 2.1).
Pис. 2.1

Для угла $\theta$ было получено выражение

где $q$ и $q_{0}$ – заряды налетающей частицы и ядра, $b$ – прицельный параметр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 2.1), $K$ – кинетическая энергия частицы вдали от ядра.

Из формулы (2.1) видно, что чем меньше прицельный параметр $b$, тем больше угол отклонения $\theta$.
Вывод формулы (2.1) приведен в Приложении.
Формула Резерфорда. Непосредственная проверка формулы (2.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр $b$ налетающей частицы. Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (2.1) в основу для следующих расчетов.

Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение. Для отклонения в интервале углов $(\theta, \theta+\mathrm{d} \theta$ ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале ( $b, b+\mathrm{d} b$ ). При этом значения $\mathrm{d} \theta$ и $\mathrm{d} b$ будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (2.1) в виде
\[
b=\frac{q q_{0}}{2 K} \operatorname{ctg} \frac{\theta}{2},
\]

а затем возьмем дифференциал от этого выражения
\[
\mathrm{d} b=-\frac{q q_{0}}{2 K} \frac{\mathrm{d} \theta}{2 \sin ^{2}(\theta / 2)} .
\]

Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки $\mathrm{d} b$ и $\mathrm{d} \theta$ взаимно противоположны. В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин $\mathrm{d} b$ и $\mathrm{d} \theta$, поэтому знак минус в (2.3) мы не будем учитывать.

Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна $S$. Тогда число ядер рассеивающего тонкого слоя будет равно $n S$, где $n$ – число ядер (атомов) в расчете на единицу поверхности. При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр $b$ в интервале ( $b, b+\mathrm{d} b)$ и, значит, рассеянных в интервале углов $(\theta, \theta+d \theta)$, будет равно (рис. 2.2)
Рис. 2.2
\[
\frac{\mathrm{d} N}{N}=\frac{\mathrm{d} S}{S}=\frac{n S \cdot 2 \pi b \mathrm{~d} b}{S}=n \cdot 2 \pi b \mathrm{~d} b,
\]

где $\mathrm{d} S$ – суммарная площадь колец в сечении $S$ пучка, $\mathrm{d} N-$ поток частиц, рассеянных в интервале углов $(\theta, \theta+\mathrm{d} \theta$ ), и $N$ – поток падающих частиц в пучке.

Подставив в (2.4) выражения для $b$ и $\mathrm{d} b$ из (2.2) и (2.3), получим:
\[
\frac{\mathrm{d} N}{N}=n\left(\frac{q q_{0}}{2 K}\right)^{2} 2 \pi \frac{\cos (\theta / 2) \mathrm{d} \theta}{2 \sin ^{3}(\theta / 2)} .
\]

Умножим числитель и знаменатель правой части этого равенства на $\sin (\theta / 2)$. Тогда
\[
\frac{\mathrm{d} N}{N}=n\left(\frac{q q_{0}}{2 K}\right)^{2} \frac{2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta}{4 \sin ^{4}(\theta / 2)},
\]

где выражение $2 \pi \sin \theta d \theta$ – это телесный угол $d \Omega$, в пределах которого заключены углы рассеяния ( $\theta, \theta+d \theta$ ). Поэтому (2.6) можно переписать так:

Это и есть формула Резерфорда. Она определяет относительное число частиц, рассеянных в телесном угле $d \Omega$ под углом $\theta$ к первоначальному направлению их движения. Напомним, что в этой формуле $n$ – число ядер на единицу поверхности рассеивающего слоя (фольги).

Если нас интересует относительное число $\Delta N / N$ частиц, рассеянных в конечном интервале углов от $\theta_{1}$ до $\theta_{2}$, то выражение (2.7) надо проинтегрировать, учитывая, что $\mathrm{d} \Omega=$ $=2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta$. При этом следует иметь в виду, что для малых углов рассеяния (приблизительно меньших $3^{\circ}$ ) формула Резерфорда не применима. Это связано с тем, что очень малым углам соответствуют большие значения прицельного параметра, выходящие за пределы атома, где сила уже не имеет кулоновского характера.

Заметим, что вопрос о нахождении относительного числа частиц, рассеянных в конечном интервале углов $\theta$, может быть решен значительно проще (без интегрирования). Как именно, показано в нижеследующем примере.

Эффективное сечение. Формулу Резерфорда (2.7) можно представить в несколько ином виде, если ввести понятие $\partial и ф$ ференциального сечения $\mathrm{d} \sigma$, равного площади кольца радиусом $b$ и шириной $\mathrm{d} b$ (см. рис. 2.2). Имея прицельные параметры в интервале ( $b, b+\mathrm{d} b$ ), налетающие частицы отклоняются ядрами согласно (2.1) на углы в интервале ( $\theta, \theta+d \theta$ ). Поскольку
\[
\mathrm{d} \sigma=2 \pi b \mathrm{~d} b,
\]

формулу (2.7) можно представить так:

где дифференциальное эффективное сечение
\[
\mathrm{d} \sigma=\left(\frac{q q_{0}}{4 K}\right)^{2} \frac{2 \pi \sin \theta \mathrm{d} \theta}{\sin ^{4}(\theta / 2)} .
\]

Таким образом, формула (2.9) означает, что относительное число частиц, рассеянных в интервале углов $(\theta, \theta+d \theta)$, равно произведению количества ядер на единицу поверхности фольги (n) на соответствующее дифференциальное сечение (2.10).

Пример. Найдем относительное число $\Delta N / N$ частиц, рассеянных в интервале углов от $\theta_{1}$ до $\theta_{2}$. Остальное предполагается заданным.
Величина $\Delta N / N$ пропорциональна согласно (2.9) площади кольца, внутренний и внешний радиусы которого равны $b_{1}$ и $b_{2}$, т. е.
\[
\Delta N / N=n\left(\pi b_{2}^{2}-\pi b_{1}^{2}\right) .
\]

Значения же $b_{1}$ и $b_{2}$ однозначно связаны с углами $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ формулой (2.1) или (2.2). Заменив параметр $b$ в (*) выражением (2.2), получим:
\[
\frac{\Delta N}{N}=n \pi\left(\frac{q q_{0}}{2 K}\right)^{2}\left(\operatorname{ctg}^{2} \frac{\theta_{2}}{2}-\operatorname{ctg}^{2} \frac{\theta_{1}}{2}\right) .
\]

Вот и весь расчет. Практически так и следует поступать.
Проверка формулы Резерфорда. Формула (2.7) была подтверждена экспериментально. В качестве налетающих частиц использовали $\alpha$-частицы (их заряд $q=2 e$ ) от радиоактивного источника. Кинетическая энергия $\alpha$-частиц была порядка нескольких МэВ.

Если зафиксировать телесный угол $\mathrm{d} \Omega$, в котором подсчитывают рассеянные $\alpha$-частицы, и менять при этом угол $\theta$ (рис. 2.3), то из формулы (2.7) следует, что
\[
\mathrm{d} N \cdot \sin ^{4}(\theta / 2)=\text { const. }
\]

На опыте прежде всего было проверено соблюдение именно этого условия. Оказалось, что, несмотря на то, что каждый из сомножителей в левой части (2.11) изменялся (в процессе изменения угла $\theta$ ) на три порядка, их произведение с хорошей точностью Рис. 2.3 оставалось постоянным. Это означает, что формула (2.7) правильно описывает процесс рассеяния $\alpha$-частиц.

Опыты, подтверждающие формулу Резерфорда, могут рассматриваться как косвенное доказательство справедливости закона Кулона на весьма малых расстояниях (от $10^{-12}$ до $10^{-9} \mathrm{~cm}$ ).

Кроме того, они свидетельствуют в пользу предположения, что масса атома практически сосредоточена в очень малой его области – в ядре, размеры которого не превышают $10^{-12} \mathrm{cм}$.

Пример. Найдем расстояние, на которое приблизится $\alpha$-частица к неподвижному ядру атома золота, двигаясь точно по направлению к его центру. Порядковый номер атома золота $Z=79$ и кинетическая энергия налетающей $\alpha$-частицы вдали от ядра $K=5,7$ МэВ.
В момент остановки $\alpha$-частицы ее кинетическая энергия целиком переходит в потенциальную: $K=2 Z e^{2} / r_{\text {мин }}$. Отсюда
\[
r_{\text {мии }}=\frac{2 Z e^{2}}{K}=\frac{2 \cdot 79\left(4,8 \cdot 10^{-10}\right)^{2}}{5,7 \cdot 1,6 \cdot 10^{-6}}=4 \cdot 10^{-12} \mathrm{cM} .
\]

Из вышесказанного не следует, что закон Кулона справедлив на любых расстояниях между налетающей частицей и ядром. Опыты по рассеянию, например, протонов, ускоренных ускорителем, показали, что при достаточно больших энергиях наблюдаются резкие отступления от закона Кулона, когда прицельный параметр становится менее $10^{-12} \mathrm{cм}$. На таких расстояниях проявляют свое действие ядерные силы притяжения, значительно превосходящие кулоновские силы отталкивания.

Итак, результаты опытов по рассеянию $\alpha$-частиц говорят в пользу ядерной (планетарной) модели атома, предложенной Резерфордом. Однако эта модель оказалась в резком противоречии с законами классической электродинамики.

Предположение, что электроны движутся вокруг ядра по траекториям, подобно планетам вокруг Солнца, наталкивается на непреодолимую (с точки зрения классики) трудность. Двигаясь по искривленным траекториям, электрон испытывает ускорения, а значит неизбежно должен излучать электромагнитные волны. Этот процесс сопровождается потерей энергии, в результате чего электрон должен в конечном счете упасть на ядро. Время жизни такого атома оказывается порядка $10^{-11}$ с (см. задачу 2.5). Этот результат красноречиво говорит о степени неустойчивости рассмотренной модели атома.