3.1. Волны де-Бройля. Какую энергию $\Delta E$ необходимо сообщить нерелятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волны $\lambda$ уменьшилась в $n$ раз?
Р е ш е и е. Обозначим конечную дебройлевскую длину волны как $\lambda^{\prime}$. Имея в виду, что согласно (3.1) $\lambda \sim 1 / p \sim 1 / \sqrt{K}$, запишем:
\[
n=\frac{\lambda}{\lambda^{\prime}}=\sqrt{\frac{K+\Delta E}{K}},
\]
где $K$ – первоначальная кинетическая энергия электрона. Отсюда
\[
\Delta E=K\left(n^{2}-1\right)=\frac{2 \pi^{2} \hbar^{2}}{m \lambda^{2}}\left(n^{2}-1\right),
\]
где $m$ – масса электрона.
3.2. Найти дебройлевскую длину волны протонов, если в однородном магнитном поле с индукцией $B$ радиус кривизны их траектории – окружности – равен $R$.
Р е ш е н и е. Согласно (3.1) для этого надо сначала определить импульс протона. Воспользуемся основным уравнением динамики:
\[
m \frac{v^{2}}{R}=e v B .
\]
Отсюда $p=R e B$, и искомая длина волны
\[
\lambda=2 \pi \hbar / \operatorname{ReB} \text {. }
\]
3.3. Нерелятивистская частица массы $m_{1}$ с кинетической энергией $K_{1}$ налетает на покоящуюся частицу массы $m_{2}$. Найти дебройлевскую длину волны $\tilde{\lambda}$ обеих частиц в системе их центра масс ( $L$-системе). Р е ш е н и е. Искомая длина волны согласно (3.1) определяется как $\tilde{\lambda}=2 \pi \hbar / \tilde{p}$, где $\tilde{p}-$ импульс каждой частицы в $L$-системе. Напомним, что в $L$-системе импульсы обеих частиц равны по модулю и противоположны по направлению. Итак, решение вопроса сводится к нахождению $\tilde{p}$.
Для этого найдем сначала скорость $\mathbf{v}_{C} L$-системы. По определению,
\[
\mathbf{v}_{C}=\frac{m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]
В нашем случае $\mathbf{v}_{2}=0$, следовательно
\[
\mathbf{v}_{C}=m_{1} \mathbf{v}_{1} /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]
Скорость частицы массы $m_{1}$ в $Ц$-системе $\tilde{\mathbf{v}}_{1}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{C}$, откуда следует с учетом (2), что
\[
\tilde{\mathbf{v}}_{1}=m_{1} \mathbf{v}_{1} /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]
Импульс этой частицы в $Ц$-системе
\[
\tilde{p}_{1}=m_{1} \tilde{v}_{1}=\mu v_{1},
\]
где $\mu$ – приведенная масса системы из двух частиц, т.е. $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
Подставив (3) в исходную формулу, найдем после несложных преобразований, что
\[
\tilde{\lambda}=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m_{1} K_{1}}}\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right) .
\]
3.4. При каком значении кинетической энергии $K$ дебройлевская длина волны $\lambda$ релятивистского электрона равна его комптоновской длине волны $\lambda_{c}$ ?
Р еш ен и е. Исходим из равенства $\lambda=\lambda_{C}$, где $\lambda$ определяется формулой (3.1), а $\lambda_{C}$ – формулой (1.21). Поэтому можно записать
\[
2 \pi \hbar / p=2 \pi \hbar / m c .
\]
Из релятивистской динамики известно (П.5), что
\[
p c=\sqrt{K\left(K+2 m c^{2}\right)} .
\]
Подставив (2) в (1), получим уравнение
\[
K^{2}+2 m c^{2} K-m^{2} c^{4}=0,
\]
решение которого
\[
K=(\sqrt{2}-1) m c^{2} .
\]
3.5. Параллельный пучок нерелятивистских электронов, ускоренных разностью потенциалов $V$, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми $d$. Определить расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, расположенном на расстоянии $l$ от щелей $(l \gg d)$.
Р еш ен и е. Из волновой оптики известно, что искомое расстояние $\Delta x$ (ширина интерференционной полосы) определяется формулой
\[
\Delta x=\lambda l / d .
\]
Подставив сюда вместо $\lambda$ выражение (3.1) для дебройлевской длины волны, получим
\[
\Delta x=\frac{2 \pi \hbar l}{d \sqrt{2 m e V}},
\]
где учтено, что кинетическая энергия электронов $K=\mathrm{eV}$.
3.6. Узкий пучок нерелятивистских электронов с кинетической энергией $K=180$ эВ падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол $\theta=55^{\circ}$ с направлением падающего пучка, наблюдается максимум отражения 4-го порядка. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния $d$. Преломления волн не учитывать.
Р е ш е н и е. Сначала изобразим схему (рис. 3.10), соответствующую условию задачи. Затем воспользуемся формулой Брэгга-Вульфа
\[
2 d \sin \alpha=n \lambda,
\]
где $\alpha$ – угол скольжения, который, как видно из рисунка, равен
\[
\alpha=\pi / 2-\theta / 2,
\]
а $\lambda$ – дебройлевская длина волны:
\[
\lambda=2 \pi \hbar / \sqrt{2 m K} .
\]
Рис. 3.10
После подстановки (2) и (3) в формулу (1) получим
\[
d=\frac{\pi \hbar n}{\sqrt{2 m K} \cos (\theta / 2)}=0,206 \mathrm{нm},
\]
где $n=4$ – порядок интерференционного максимума.
3.7. Преломление волн де-Бройля. Показать, что с учетом преломления формула Брэгга-Вульфа имеет вид
\[
2 d \sqrt{n^{2}-\cos ^{2} \alpha}=m \lambda,
\]
где $d$ – межплоскостное расстояние, $n$ – показатель преломления кристалла для дебройлевских волн, $m$ – порядок интерференционного максимума, $\lambda$ – дебройлевская длина волны.
Р еш ени е. Рассмотрим две интерферирующие волны, представленные лучами $1^{\prime}$ и $2^{\prime}$ (рис. 3.11). Из-за преломления волн угол падения $\theta$ не равен углу преломления $\theta^{\prime}$. Запишем «оптическую\” разность хода лучей 1 и 2. Как видно из рисунка, она равна
\[
\Delta=n(A B C)=n \cdot 2 d \cos \theta^{\prime}
\]
(эта разность хода выделена на рисунке жирными отрезками).
Рис. 3.11
С другой стороны, по закону преломления
\[
\sin \theta=n \sin \theta^{\prime} .
\]
Условие образования интерференционного максимума – это $\Delta=m \lambda$, где $m=1,2, \ldots$ Запишем это условие с помощью (1) и (2) следующим образом:
\[
2 d n \cos \theta^{\prime}=2 d n \sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \theta}{n^{2}}}=2 d \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta}=m \lambda .
\]
Согласно рис. $3.11 \sin \theta=\cos \alpha$, поэтому формулу (3) можно записать также в виде, представленном в условии задачи.
3.8. Соотношение неопределенностей. Убедиться, что измерение $x$-координаты микрочастицы с помощью микроскопа (рис. 3.12) вносит неопределенность в ее импульс $\Delta p_{x}$ такую, что $\Delta x \cdot \Delta p_{x}>\hbar$. Иметь в виду, что разрешение микроскопа, т. е. наименьшее разрешаемое расстояние $d=\lambda / \sin \theta$, где $\lambda-$ длина световой волны.
Р е ш е и е. У фотона, рассеянного на микрочастице и прошедшего через объектив $O$, проекция импульса $p_{x}$ не превышает, как видно из рисунка, значения $p \sin \theta=\hbar k$ $\sin \theta$, где $k=2 \pi / \lambda$. Эта величина характериPuc. 3.12 зует и неопределенность $\Delta p_{x}$ фотона. Но при рассеянии фотона на микрочастице последняя испытывает отдачу, в результате чего ее импульс получит такую же неопределенность $\Delta p_{x}$, как и фотон: $\Delta p_{x} \approx \hbar k \sin \theta$.
Имея, кроме того, в виду, что неопределенность координаты $\boldsymbol{x}$ микрочастицы $\Delta x \approx d=\lambda / \sin \theta$, получим в результате:
\[
\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx \frac{\lambda}{\sin \theta} \frac{2 \pi \hbar}{\lambda} \sin \theta=2 \pi \hbar,
\]
в чем и следовало убедиться.
3.9. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с очень высокими *стенками\”. Ширина ямы $l$. Оденить с помощью (3.20) силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной его энергии.
$\mathrm{P}$ е ш е н и е. В данном случае $\Delta x \approx l$. Кроме того, при минимальной энергии можно считать, что $\Delta p_{x} \approx p$. Тогда согласно (3.20) $p \approx \hbar / l$ и полная энергия электрона в яме (учитывая, что потенциальная энергия здесь равна вулю) определяется как
\[
E=K=\frac{p^{2}}{2 m} \approx \frac{\hbar^{2}}{2 m l^{2}} .
\]
Теперь представим себе, что одну из стенок ямы отодвинули на малое расстояние $\mathrm{d} l$. Это означает, что сила $F$, с которой электрон действует на эту стенку, совершила работу $F \mathrm{~d} l$ за счет убыли энергии $E$ :
\[
F \mathrm{~d} l=-\mathrm{d} E=\left(\hbar^{2} / m l^{3}\right) \mathrm{d} l .
\]
Отсюда искомая сила
\[
F=\hbar^{2} / m l^{3} .
\]
3.10. Частица массы $m$ движется в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия $U=x x^{2} / 2$ (гармонический осциллятор). Оценить с помощью (3.20) минимально возможную энергию $E$ частицы в этом поле.
Р е ш е и е. При $E=$ мин можно считать, что $p \approx \Delta p$ и $x \approx \Delta x$. Тогда в соответствии с (3.20) $p \approx \hbar / \Delta x \approx \hbar / x$, и мы можем записать выражение для полной энергии $E$ как
\[
E=K+U=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{\varkappa x^{2}}{2} \approx \frac{\hbar^{2}}{2 m x^{2}}+\frac{\varkappa x^{2}}{2} .
\]
Из условия $\mathrm{d} E / \mathrm{d} x=0$ находим значение $x_{m}$, при котором $E=$ мин:
\[
x_{m}=\hbar^{2} / m \kappa
\]
После подстановки (2) в (1) получим
\[
E_{\text {мин }} \approx \hbar \sqrt{x / m} \text {. }
\]
Точный расчет дает величину вдвое меньшую.
