5.1. Проверить следующее операторное равенство:
\[
\left(1+\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}=1+2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} .
\]

Р е ш е н и е. Имея в виду, что $\hat{Q}^{2} \psi=\hat{Q}(\hat{Q} \psi)$, запишем:
\[
\left(1+\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\psi+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)=\psi+\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}=\left(1+2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) \psi .
\]

Равенство, таким образом, доказано.
5.2. Коммутативность операторов. Проверить, коммутируют ли операторы:
a) $\hat{x}$ и $\hat{p}_{x}$;
б) $\hat{x}$ и $\hat{p}_{y}$;
в) $\hat{p}_{x}$ и $\hat{p}_{y}$.
Р е ше ни е. а) Вопрос сводится к установлению разности:
\[
x \hat{p}_{x} \psi-\hat{p}_{x} x \psi=-\mathrm{i} \hbar\left(x \frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(x \psi)\right)=-\mathrm{i} \hbar\left(x \frac{\partial \psi}{\partial x}-x \frac{\partial \psi}{\partial x}-\psi\right)=\mathrm{i} \hbar \psi .
\]

Следовательно, эти операторы взаимно не коммутируют.
б) $x \hat{p}_{y} \psi-\hat{p}_{y} x \psi \sim\left(x \frac{\partial \psi}{\partial y}-x \frac{\partial \psi}{\partial y}\right)=0$,
т. е. операторы коммутативны.
в) $\hat{p}_{x} \hat{p}_{y} \psi-\hat{p}_{y} \hat{p}_{x} \psi \sim\left(\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial x}=0$.

Операторы коммутативны.
5.3. Собственные значения и собственные функции. Найти собственное значение оператора $\hat{A}=-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$, принадлежащее собственной функции $\psi=C \sin 2 x, C$ – постоянная.
Р е ш е ни е. Согласно (5.16)
\[
-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi=A \psi \text {. }
\]

Дважды продифференцировав функцию $\psi$ по $x$, получим
\[
-\frac{\partial}{\partial x}(2 \cos 2 x)=4 \sin 2 x .
\]

Из сопоставления (2) с (1) находим $A=4$.

5.4. Найти собственные функции $\psi$ и собственные значения оператора $-\mathrm{i} \frac{\partial}{\partial x}$, если $\psi(x)=\psi(x+a), a$ – постоянная. $\mathrm{P}$ е ш е н и е. На основании (5.16) запишем
\[
-\mathrm{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi=\lambda \psi
\]

откуда
\[
\frac{\partial \psi}{\psi}=\mathrm{i} \lambda \partial x .
\]

Проинтегрировав это уравнение, получим
\[
\ln \psi=\mathrm{i} \lambda x+C,
\]

где $C$ – произвольная постоянная. Потенцируя (3), получим
\[
\psi=C \mathrm{e}^{\mathrm{i} \lambda x} .
\]

По условию ( $\psi$ – периодическая) следует, что
\[
\mathrm{e}^{i \lambda x}=\mathrm{e}^{i \lambda(x+a)},
\]

откуда
\[
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \lambda a}=1, \quad \lambda a=2 \pi n, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

В результате
\[
\psi=C \mathrm{e}^{\mathrm{i} \lambda x}, \quad \lambda=\frac{2 \pi n}{a}, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

Постоянная $C$ остается неопределенной.
5.5. Средние значения. В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемом $\psi$-функцией, координатная часть которой $\psi(x)=A \exp \left(\mathrm{i} k x-x^{2} / a^{2}\right)$, где $A$ и $a$ – неизвестные постоянные. Найти средние значения:
а) координаты $x$; б) проекции импульса $p_{x}$.
Р е ше н и е. а) В соответствии с формулой (5.1)
\[
\langle x\rangle=\int x \psi \psi^{*} \mathrm{~d} x=A A^{*} \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp \left(-2 x^{2} / a^{2}\right) \mathrm{d} x .
\]

Поскольку подынтегральная функция нечетная, то интеграл равен нулю, значит и $\langle x\rangle=0$.

б) Согласно (5.3) сначала найдем производную $\partial \psi / \partial \mathbf{x}$ :
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\psi(x) \cdot\left(\mathrm{i} k-2 x / a^{2}\right) .
\]

После подстановки этого выражения в (5.3) получим
\[
\left\langle p_{x}\right\rangle=-\mathrm{i} \hbar A A^{*} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\mathrm{i} k-2 x / a^{2}\right) \exp \left(-2 x^{2} / a^{2}\right) \mathrm{d} x .
\]

Из условия нормировки следует, что
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi \psi^{*} \mathrm{~d} x=A A^{*} \int_{-\infty}^{+\alpha_{2}} \exp \left(-2 x^{2} / a^{2}\right) \mathrm{d} x=1 .
\]

Кроме того, интеграл (1) представляет собой разность двух интегралов. Второй их них равен нулю, так как подынтегральная функция его является нечетной. Остается первый интеграл:
\[
\left\langle p_{x}\right\rangle=\hbar k A A^{*} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left(-2 x^{2} / a^{2}\right) \mathrm{d} x .
\]

Учитывая (2), получим в результате
\[
\left\langle p_{x}\right\rangle=\hbar k .
\]
5.6. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в состоянии, описываемом нормированной пси-функцией
\[
\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi a}} \frac{\mathrm{e}^{-r / a}}{r},
\]

где $r$ – расстояние от центра поля, $a$ – постоянная. Найти $\langle r\rangle$.
Р е ш е н и е. В данном случае в формуле (5.1) под $\mathrm{d} x$ надо понимать элемент объема $\mathrm{d} V$. Б качестве такового для упрощения расчета наиболее целесообразно взять сферический слой с радиусами $r$ и $r+\mathrm{d} r$. Для него $\mathrm{d} V=4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r$ и
\[
\langle r\rangle=\int r \psi^{2} 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r=\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2 r / a}}{2 \pi a r^{2}} 4 \pi r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{2}{a} \int_{0}^{\infty} e^{-2 r / a} r \mathrm{~d} r .
\]

Введем новую переменную $2 r / a=y$. Тогда предыдущее выражение примет вид
\[
\langle r\rangle=\frac{a}{2} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-y} y \mathrm{~d} y .
\]

Взяв интеграл по частям, находим, что он равен единице. Таким образом
\[
\langle r\rangle=a / 2 .
\]
5.7. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками ( $0<x<l$ ), если частица находится в состоянии $\psi(x)=A x(l-x)$.
Р ешение е. Прежде всего найдем нормировочный коэффициент $A$ :
\[
\int_{0}^{l} \psi^{2} \mathrm{~d} x=A^{2} \int x^{2}(l-x)^{2} \mathrm{~d} x=A^{2} l^{5} / 30 .
\]

Из условия нормировки полученный результат должен быть равен единице. Отсюда
\[
A^{2}=30 / l^{5} .
\]

Средняя кинетическая энергия согласно (5.5) определяется как
\[
\langle K\rangle=\int_{0}^{l} \psi(\hat{K} \psi) \mathrm{d} x,
\]

где выражение в круглых скобках можно представить с помощью (5.8) в виде
\[
\hat{K} \psi=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}(-2 A) .
\]

После подстановки в выражение для $\langle K\rangle$ и интегрирования получим:
\[
\langle K\rangle=5 \hbar^{2} / m l^{2} .
\]
5.8. Оператор проекции момента $\hat{\boldsymbol{M}}_{z}$. Показать, что в сферической системе координат оператор $\hat{M}_{z}=-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$. Использовать формулы, связывающие декартовы и сферические координаты, а также выражение для оператора $\hat{M}_{z}$ в декартовой системе координат.
Р еш е н и е. Запишем с помощью рис. 5.6 связь между декартовыми и сферическими координатами:
\[
\begin{array}{l}
x=r \sin \theta \cos \varphi, \\
y=r \sin \theta \sin \varphi, \\
z=r \cos \theta .
\end{array}
\]

С помощью этих формул выразим частную производную по ч через производные по $x, y, z$.
\[
\frac{\partial}{\partial \varphi}=\frac{\partial x}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial \varphi} \frac{\partial}{\partial z} .
\]

Вычислив частные производные $\partial x / \partial \varphi, \partial y, \partial \varphi$ и $\partial z / \partial \varphi$ формул (1), подставим результаты в (2) и получим
Рис. 5.6
\[
\frac{\partial}{\partial \varphi}=-r \sin \theta \sin \varphi \frac{\partial}{\partial x}+r \sin \theta \cos \varphi \frac{\partial}{\partial y}+0 .
\]

Из сопоставления с (1) видим, что (3) можно переписать так:
\[
\frac{\partial}{\partial \varphi}=-y \frac{\partial}{\partial x}+x \frac{\partial}{\partial y} .
\]

Правая часть этого равенства полностью совпадает с выражением в скобках формулы (5.11). Дальнейшее очевидно.
5.9. Вращательный спектр молекулы. Оценить, сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекулы СО, момент инерции которой $I=1,44 \cdot 10^{-39} \mathrm{\Gamma} \cdot \mathrm{cм}^{2}$ и собственная частота колебаний $\omega=4,1 \cdot 10^{14} \mathrm{c}^{-1}$ ?
Р еш ен и е. Искомое число линий должно быть равно числу вращательных уровней между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями ( $v=0$ и $v=1$ ), интервал между которыми согласно (4.23) равен $\hbar \omega$. Задача, таким образом, сводится к определению максимального вращательного квантового числа $r$ уровня с энергией $\hbar \omega$. Учитывая (5.33), запишем
\[
\hbar \omega=\frac{\hbar^{2}}{2 I} r(r+1) \text {, }
\]

откуда
\[
r^{2}+r-2 \omega I / \hbar=0 .
\]

Решение этого уравнения дает $r_{\text {макс }}$ :
\[
r_{\text {макс }}=\frac{-1+\sqrt{1+4(2 \omega I / \hbar)}}{2} \approx 2 \omega I / \hbar=33 .
\]

Следовательно, чисто вращательный спектр данной молекулы содержит около 30 линий.
5.10. Колебательно-вращательная полоса. В середине колебательно-вращательной полосы спектра испускания молекул $\mathrm{HCl}$, где отсутствует «нулевая» линия, запрещенная правилом отбора, интервал между соседними линиями равен $\Delta \omega_{0}$. Найти расстояние между ядрами молекулы $\mathrm{HCl}$.
$\mathrm{P}$ е ш е н и е. Сначала найдем интервал $\Delta E$ между соседними вращательными энергетическими уровнями. Согласно (5.34),
\[
\Delta E=\frac{\hbar^{2}}{I}(r+1) .
\]

Соответствующая ему частота перехода
\[
\omega_{r}=\Delta E / \hbar=(r+1) \hbar / I .
\]

При переходе к соседней линии $r$ меняется на единицу, согласно правилу отбора (5.35), и интервал между соседними линиями
\[
\Delta \omega=(\Delta r) \cdot \hbar / I=\hbar / I,
\]

где $\Delta r=1$. Остается учесть, что в середине колебательно-вращательной полосы этот интервал будет вдвое больше, а также выражение (5.37) для момента инерции молекулы. В результате получим $\Delta \omega_{0}=2 \Delta \omega=2 \hbar / \mu d^{2}$, откуда
\[
d=\sqrt{2 \hbar / \mu \Delta \omega_{0}},
\]

где $\mu$ – приведенная масса молекулы, $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.