В предыдущей главе было показано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием $\psi$-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля. Кроме того, как выяснилось, $\psi$-функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса и др.

Таким образом, $\psi$-функция полностью определяет не только «положение частицы, но и все ее динамические характеристики. Надо только знать рецепты, с помощью которых можно «извлечь» интересующую нас информацию из $\psi$-функции. К решению этой задачи мы и приступаем.

Средние значения физических величин. Понятие среднего значения различных физических величин является весьма важным в квантовой теории. Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере – определим среднее значение координаты $x$ частицы, если известна ее $\psi$-функция, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты $x$.

Мы уже знаем, что $|\psi(x)|^{2}$ или $\psi(x) \psi^{*}(x)$ является плотностью вероятности найти частицу в окрестности координаты $x$. Тогда вероятность местонахождения частицы в интервале $(x, x+\mathrm{d} x)$ есть $\mathrm{d} P=\psi \psi^{\star} \mathrm{d} x$, и среднее значение $x$ определяется как
\[
\langle x\rangle=\int x \psi \psi^{*} \mathrm{~d} x,
\]

где интегрирование проводится по интересующей нас области. При этом предполагается, что $\psi$-функция является нормированной в (5.1). т. е. удовлетворяет условию (4.3):
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi \psi^{*} \mathrm{~d} x=1 .
\]

И вообще, среднее значение любой функции координат $f(x)$ определяется формулой, аналогичной (5.1), т. е.
\[
\langle f(x)\rangle=\int f(x) \psi \psi^{*} \mathrm{~d} x .
\]

Значительно сложнее задача о нахождении среднего значения проекции импульса $p_{x}$ частицы, состояние которой задается определенной пси-функцией $\psi(x)$. Весьма громоздкий расчет (выходящий за рамки данной книги) приводит к следующему результату:
\[
\left\langle p_{x}\right\rangle=\int \psi^{*}\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{x}}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{x} .
\]

Для единообразия перепишем выражения (5.1) – (5.3) в такой форме:
\[
\begin{array}{l}
\langle x\rangle=\int \psi^{*} x \psi \mathrm{d} x . \\
\langle f(x)\rangle=\int \psi^{*} f(x) \psi \mathrm{d} x . \\
\left\langle p_{x}\right\rangle=\int \psi^{*}\left(-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \psi \mathrm{d} x .
\end{array}
\]

Запись средних значений этих величин именно в такой форме поможет нам в следующем параграфе сделать важный шаг в развитии адекватного математического формализма, выражающего специфические свойства микрочастиц.

Операторы. Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на $x$ или на какую-либо функцию $f(x)$, дифференцирование по $x$, т. е. $\partial / \partial x, \partial^{2} / \partial x^{2}$ и т. д. Операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например $\hat{Q}$, и его действие на некоторую функцию $f(x)$ записывают как $\hat{Q} f(x)$.

Некоторые свойства операторов. Операторы можно складывать: $\hat{A}+\hat{B}$. Действие такого суммарного оператора на любую функцию $f(x)$ дает результат $\hat{A} f(x)+\hat{B} f(x)$.

Под произведением операторов $\hat{A} \hat{B}$ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию $f(x)$ равен $\hat{A}(\hat{B} f(x)$ ). T. е. функция $f(x)$ сначала подвергается действию оператора $\hat{B}$, а затем полученный результат – действию оператора $\hat{A}$.

Следует иметь в виду, что не всегда $\hat{A} \hat{B}=\hat{B} \hat{A}$. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют друг с другом (коммутирующие операторы). В противном случае операторы некоммутирующие. Пример некоммутирующих операторов – это $x$ и $\partial / \partial x$. В самом деле,
\[
\left(x \frac{\partial}{\partial x}\right) f=x \frac{\partial f}{\partial x}, \quad\left(\frac{\partial}{\partial x} x\right) f=\frac{\partial}{\partial x}(x f)=1+x \frac{\partial f}{\partial x} .
\]

Следовательно,
\[
x \frac{\partial}{\partial x}
eq \frac{\partial}{\partial x} x .
\]

Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Отличие лишь в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок операторов-сомножителей: это зависит от того, коммутируют они или нет.

Оператор $\hat{A}$ называют линейным, если для любых двух функций $f_{1}$ и $f_{2}$ и любых постоянных $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ выполняется соотношение
\[
\hat{A}\left(\alpha_{1} f_{1}+\alpha_{2} f_{2}\right)=\alpha_{1} \hat{A} f_{1}+\alpha_{2} \hat{A} f_{2} .
\]

Именно с линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.