Чтобы получить согласие с результатами наблюдений, Бор предположил, что электрон в атоме водорода движется только по тем круговым орбитам ${ }^{*}$, для которых его момент импульса
\[
M=n \hbar, \quad n=1,2,3, \ldots,
\]

где $n$ – квантовые числа.
С помощью этого правила квантования можно найти радиусы круговых стационарных орбит водородоподобных систем ( $\mathrm{H}, \mathrm{He}^{+}$, $\mathrm{Li}^{++} .$. ) и соответствующие им энергии. Пусть заряд ядра водородоподобной системы равен $Z e$. Масса ядра значительно больше массы электрона, поэтому ядро при движении электрона можно считать неподвижным. Следуя Бору, будем предполагать, что электрон движется вокруг ядра по окружности радиуса $r$.
Согласно 2-му закону Ньютона
\[
m \frac{v^{2}}{r}=\frac{Z e^{2}}{r^{2}},
\]
* Позднее Зоммерфельд обобщил рассуждения Бора на эллиптические орбиты. Однако в настоящее время это потеряло значение, и мы оставим данный вопрос без внимания.

где $m$-масса электрона. Отсюда кинетическая энергия электрона
\[
K=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{Z e^{2}}{2 r},
\]

и полная энергия электрона в кулоновском поле ядра
\[
E=K+U=\frac{m v^{2}}{2}-\frac{Z e^{2}}{r}=-\frac{Z e^{2}}{2 r} .
\]

Согласно правилу квантования (2.18), $r m v=n \hbar$, откуда
\[
v=n \hbar / r m \text {. }
\]

После подстановки (2.22) в (2.19) получим выражение для радиуса $n$-й стационарной орбиты:
\[
r_{n}=\frac{\hbar^{2}}{m e^{2}} \frac{n^{2}}{Z} .
\]

Радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода ( $n=1, Z=1$ ) равен
\[
r_{1}=\hbar^{2} / m e^{2}=0,529 \cdot 10^{-8} \mathrm{~cm} .
\]

Его называют боровским радиусом.
Энергия $E_{n}$ электрона на $n$-й стационарной орбите определяется формулой (2.21), в которой под $r$ надо понимать (2.23). И мы приходим к следующему выражению для $E_{n}$ :
\[
E_{n}=-\frac{m e^{4}}{2 \hbar^{2}} \frac{Z^{2}}{n^{2}} .
\]

Эта формула описывает уровни энергии стационарных состояний электрона в водородоподобной системе. Для атома водорода схема энергетических уровней, соответствующих (2.25), показана на рис. 2.7. При $n \rightarrow \infty$ уровни энергии сгущаются к своему предельному значению $E_{\infty}=0$.

Состояние атома с наименьшей энергией ( $n=1$ ) называют основным. Для атома водорода основному состоянию соответствует энергия $E_{1}=-13,53$ эВ. Эта энергия (по модулю) является энергией свлзи электрона в основном состоянии: $E_{\text {св }}=E_{1}$. Именно такую энергию надо сообщить электрону в основном состоянии ( $n=1$ ), чтобы удалить его из атома водорода. По этой причине ее называют еще и энергией ионизации:
\[
E_{\text {ион }}=E_{\text {св }}=13,6 \text { эВ. }
\]

Это значение, полученное из боровской теории атома, находится в хорошем согласии с результатами эксперимента.

Пример. Найдем скорость электрона на первой боровской орбите атома водорода.
Для этого в формулу (2.22) подста-
Рис. 2.7
вим (2.23) с учетом того, что в на-
шем случае $Z=1$ и $n=1$. В результате получим:
\[
v_{1}=e^{2} / \hbar=2,2 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c} .
\]

Спектральные серии водородоподобных систем. Согласно второму постулату Бора (2.17), определяющему энергию фотонов при переходе системы из одного стационарного состояния в другое, и формуле (2.24) имеем:
\[
\hbar \omega=E_{2}-E_{1}=\frac{m e^{4} Z^{2}}{2 \hbar^{2}}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) .
\]

Отсюда частота фотона
\[
\omega=\frac{m e^{4} Z^{2}}{2 \hbar^{3}}\left(\frac{1}{n_{1}{ }^{2}}-\frac{1}{n_{2}{ }^{2}}\right) .
\]

Таким образом, мы пришли к обобщенной формуле Бальмера (2.16), установив при этом, от каких величин зависит постоянная Ридберга:
\[
R_{\infty}=\frac{m e^{4}}{2 \hbar^{3}} .
\]

Подстановка в это выражение числовых значений $m, e$ и $\hbar$ дает величину, хорошо согласующуюся с экспериментальным значением постоянной Ридберга (2.13). Индекс $\infty$ при $R$ в (2.28) означает, что эта величина получена в предположении, что масса ядра весьма велика, и ядро при движении электрона неподвижно.

Учет конечности массы ядра приводит к тому, что массу $m$ электрона в (2.28) следует заменить на приведенную массу $\mu$ системы электрон-ядро: $\mu=m M /(m+M)$, где $M$ – масса ядра. Тогда
\[
R=\frac{R_{\infty}}{1+m / M} .
\]

Как видим, постоянная Ридберга зависит и от массы ядра. Для атома водорода, ядром которого является протон, формула (2.29) дает значение, более точно совпадающее с экспериментальным.

Приведенная на рис. 2.7 система энергетических уровней помогает наглядно представить спектральные серии Лаймана, Бальмера и др. как группы переходов между соответствующими уровнями. Эти переходы изображены на рисунке вертикальными стрелками.

Систему энергетических уровней атома принято называть и иначе – системой термов. Терм $T$ – это величина, определяемая согласно (2.16) и (2.25) как
\[
T_{n}=R / n^{2}=\left|E_{n}\right| / \hbar,
\]

где $R$ – постоянная Ридберга. В отличие от энергии $E_{n}$, терм величина положительная, и чем ниже уровень, тем больше его значение. Терм имеет ту же размерность, что и частота $\omega$, т. е. $\mathrm{c}^{-1}$. Соответствующая частота фотона, испущенного при переходе атома из состояния с квантовым числом $n_{1}$ в состояние с квантовым числом $n_{2}$, определяется формулой
\[
\omega_{12}=T_{2}-T_{1}=\frac{R}{n_{2}^{2}}-\frac{R}{n_{1}^{2}} .
\]

Формулы (2.15) и (2.28) позволяют записать выражение для энергии связи (энергии ионизации) водородоподобной системы в основном состоянии в более удобном виде:
\[
E_{\text {св }}=E_{\text {ион }}=\hbar \mathrm{RZ}^{2} .
\]

Пример. Найдем энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре испускания которых длина волны третьей линии серии Бальмера $\lambda_{3}=108,5 \mathrm{нм}$.
Искомая энергия определяется формулой (2.31). В данном случае $Z$ неизвестно. Для его нахождения воспользуемся тем, что частота третьей линии серии Бальмера
\[
\omega_{3}=R Z^{2}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(2+3)^{2}}\right)=\frac{21}{100} R Z^{2} .
\]

Частота $\omega_{3}$ связана с длиной волны $\lambda_{3}$ формулой $\omega_{3}=2 \pi c / \lambda_{3}$. Поэтому из (1) следует, что
\[
R Z^{2}=\frac{100}{21} \frac{2 \pi c}{\lambda_{3}} .
\]

Таким образом, искомая энергия связи
\[
E_{\text {ев }}=\frac{100}{21} \frac{\pi c \hbar}{\lambda_{3}}=54,4 \text { эВ. }
\]

Попутно из формулы (2) можно найти, что $Z=2$, т. е. мы имеем дело с ионом $\mathrm{He}^{+}$.

Магнитный момент атома водорода. Пусть электрон движется со скоростью $v$ по орбите радиусом $r$ (рис. 2.8). Через площадку, пересекающую орбиту электрона, переносится ежесекундно заряд $e v$, где $e$ – заряд электрона, $v$ – число оборотов электрона вокруг ядра в секунду. Следовательно, движущийся по орбите электрон образует круговой ток $I=e v$. Поскольку заряд электрона отрицателен, направление движения электрона противоположно направлению тока.
Магнитный момент такого тока (в гауссовой Puc. 2.8 системе) по определению равен $\mu=I S / c$, или $\mu=e v \cdot \pi r^{2} / c$. Учитывая, что $2 \pi r v=v$, перепишем предыдущее выражение в виде
\[
\mu=\frac{e r v}{2 c} .
\]

Остается учесть, что момент импульса электрона $M=r m v$, и мы получим:
\[
\boldsymbol{\mu}=-\frac{e}{2 m c} \mathbf{M},
\]

где знак минус указывает, что направления обоих моментов,
Вектор М называют орбитальным моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему (см. рис. 2.8).

Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту называют гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно
\[
\frac{\mu}{M}=\frac{e}{2 m c} .
\]

Воспользовавшись боровским правилом квантования момента импульса, т. е. формулой (2.18), перепишем (2.33) в виде
\[
\mu=\mu_{\mathrm{B}} n, \quad n=1,2,3, \ldots,
\]

где $\mu_{\mathrm{B}}$ – это так называемый магнетон Бора:
\[
\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e \hbar}{2 m c}=0,927 \cdot 10^{-20} \text { эрг } / \Gamma \mathrm{c} .
\]

Таким образом, при движении электрона по первой боровской орбите ( $n=1$ ) его магнитный момент равен одному магнетону Бора. В дальнейшем мы увидим, что это резко расходится с экспериментом, значит, полученный результат оказывается совершенно неверным. И тем не менее, мы привели формулы, связывающие магнитный момент с механическим, поскольку они послужат основой для получения правильных результатов (см. § 7.1).

Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в развитии теории атома, в понимании новых квантовых закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микромира. Эта теория отчетливо показала неприменимость законов классической физики для описания внутриатомных явлений.

Теория Бора стимулировала постановку многих экспериментов, принесших важные результаты. Даже в тех многочисленных случаях, когда теория не могла дать количественное объяснение явлений, два постулата Бора служили руководящей нитью при классификации и количественной интерпретации этих явлений.

Однако двух постулатов Бора недостаточно для построения полной теории. Они должны быть дополнены правилами квантования. Эти правила, достаточно искусственно введенные Бором для одноэлектронного атома, радикально проблемы не решили. Их не удалось распространить даже на простейший после водорода атом гелия, содержащий два электрона. Кроме того, теория Бора позволила вычислить только частоты спектральных линий, но не их интенсивность.

Основной же, принципиальный недостаток теории Бора -это ее непоследовательность: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой. Эта теория принимала существование стационарных состояний атома, что совершенно непонятно с точки зрения классической физики. И вместе с тем к движению электронов в стационарных состояниях она применяла законы классической механики, хотя и считала неприменимой классическую электродинамику (поскольку нет излучения).

Итак, планетарную модель атома нельзя считать серьезной теорией. Она просто неверна. Тот факт, что эта модель приводит к очень хорошим результатам в случае атома водорода (при расчете некоторых величин), по существу случайный. Этот успех явился мощным толчком к развитию квантовой теории атома. Сам Бор рассматривал свою теорию как промежуточный этап в поисках верной теория. Такой последовательной теорией явилась квантовая физика.