Опыты Дэвиссона и Джермера (1927). Идея их опытов заключалась в следующем. Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то можно ожидать, даже не зная механизма отражения этих волн, что их отражение от кристалла будет иметь такой же интерференционный характер, как у рентгеновских лучей.

В одной серии опытов Дэвиссона и Джермера для обнаружения дифракционных максимумов (если таковые есть) измерялись ускоряющее напряжение электронов и одновременно положение детектора $D$ (счетчика отраженных электронов). В опыте использовался монокристалл никеля (кубической системы), сошлифованный так, как показано на рис. 3.1.

Если его повернуть вокруг вертикальной оси в положение, соответствующее рисунку, то в этом положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярными к плоскости падения (плоскости рисунка), расстояние между которыми $d=0,215$ нм.
Pnc. 3.1

Детектор перемещали в плоскости падения, меняя угол $\theta$. При угле $\theta=50^{\circ}$ и ускоряющем напряжении $V=54$ В наблюдался особенно отчётливый максимум отраженных электронов, полярная диаграмма которого показана на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Этот максимум можно истолковать как интерференционный максимум первого порядка от плоской дифракционной решетки

с указанным выше периодом в соответствии с формулой
\[
d \sin \theta=\lambda,
\]

Падающий пучок
Рис. 3.3
что видно из рис. 3.3. На этом рисунке каждая жирная точка представляет собой проекцию цепочки атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка. Период $d$ может быть измерен независимо, например, по дифракции рентгеновских лучей.
Вычисленная по формуле (3.8) дебройлевская длина волны для $V=54$ В равна 0,167 нм. Соответствующая же длина волны, найденная из формулы (3.9), равна 0,165 нм. Совпадение настолько хорошее, что полученный результат следует признать убедительным подтверждением гипотезы де-Бройля.

Другая серия опытов Дэвиссона и Джермера состояла в измерении интенсивности $I$ отраженного электронного пучка при заданном угле падения, но при различных значениях ускоряющего напряжения $V$.

Теоретически должны появиться при этом интерференционные максимумы отражения подобно отражению рентгеновских лучей от кристалла. Oт различных кристаллических плоскостей кристалла в результате дифракции падающего излучения на атомах исходят волны, как бы испытавшие зеркальное отражение от этих плоскостей. Данные волны при интерференции усиливают друг друга, если выполняется условие Брэгга-Вульфа:
\[
2 d \sin \alpha=m \lambda, \quad m=1,2,3, \ldots,
\]

где $d$ – межплоскостное расстояние, $\alpha$ – угол скольжения.
Напомним вывод этой формулы. Из рис. 3.4 видно, что разность хода двух волн, 1 и 2, отразившихся зеркально от соседних атомных слоев, $A B C=2 d \sin \alpha$. Следовательно, направления, в которых возникают интерференционные максимумы, определяются условием (3.10).
Теперь подставим в формулу (3.10) выра-
Pис. 3.4 жение (3.8) для дебройлевской длины волны. Поскольку значения $\alpha$ и $d$ экспериментаторы оставляли неизменными, то из формулы (3.10) следует, что
\[
\sqrt{V_{m}} \sim m,
\]
т.е. значения $\sqrt{V_{m}}$, при которых образуются максимумы отражения, должны быть пропорциональны целым числам $m=1,2$, $3, \ldots$, другими словами, находиться на одинаковых расстояниях друг от друга.

Это и было проверено на опыте, результаты которого представлены на рис. 3.5, где $V$, В. Видно, что максимумы интенсивности $I$ почти равноудалены друг от друга (такая же картина возникает и при дифракции ренттеновских лучей от кристаллов).
Puc. 3.5

Полученные Дэвиссоном и Джермером результаты весьма убедительно подтверждают гипотезу де-Бройля. Заметим также, что в теоретическом отношении, как мы видели, анализ дифракции дебройлевских волн полностью совпадает с дифракцией рентгеновского излучения.

Итак, характер зависимости (3.11) экспериментально подтвердился, однако наблюдалось некоторое расхождение с предсказаниями теории. А именно, между положениями экспериментальных и теоретических максимумов (последние показаны стрелками на рис. 3.5) наблюдается систематическое расхождение, которое уменьшается с увеличением ускоряющего напряжения $V$. Это расхождение, как выяснилось в дальнейшем, обусловлено тем, что при выводе формулы Брэгга-Вульфа не было учтено преломление дебройлевских волн.

О преломлении дебройлевских волн. Показатель преломления $n$ дебройлевских волн, как и электромагнитных, определяется формулой
\[
n=v_{\mathrm{B}} / v_{\mathrm{c}},
\]

где $v_{\text {в }}$ и $v_{\mathrm{c}}$ – фазовые скорости этих волн в вакууме и среде (кристалле). Выше (стр. 61) было отмечено, что фазовая скорость дебройлевокой волны – принципиально ненаблюдаемая величина. Поэтому формулу (3.12) следует преобразовать так, чтобы показатель преломления $n$ можно было выразить через отношение измеряемых величин.

Это можно сделать следующим образом. По определению, фазовая скорость
\[
v=\omega / k,
\]

где $k$ – волновое число ( $2 \pi / \lambda)$. Считая аналогично фотонам, что частота а дебройлевских волн тоже не меняется при переходе границы раздела сред (если такое предположение несправедливо, то опыт неизбежно укажет на это), представим (3.12) с учетом (3.13) в виде
\[
n=\frac{k_{\mathrm{c}}}{k_{\mathrm{B}}}=\frac{\lambda_{\mathrm{B}}}{\lambda_{\mathrm{c}}} .
\]

Попадая из вакуума в кристалл (металл), электроны оказываются в потенциальной яме. Здесь их кинетическая энергия $K$ возрастает на «глубину» потенциальной ямы (рис. 3.6). Из формулы (3.8), где $K=e V$, следует, что $\lambda \sim 1 / \sqrt{V}$. Поэтому выражение (3.14) можно переписать так:
Рис. 3.6
\[
n=\frac{\sqrt{V+V_{0}}}{\sqrt{V}}=\sqrt{1+\frac{V_{0}}{V}},
\]

где $V_{0}$ – внутренний потенциал кристалла. Видно, что чем больше $V$ (относительно $V_{0}$ ), тем $n$ ближе к единице. Таким образом, $n$ проявляет себя особенно при малых $V$, и формула Брэгга-Вульфа принимает вид
\[
2 d \sqrt{n^{2}-\cos ^{2} \alpha}=m \lambda .
\]

Доказательство этой формулы приведено в решении задачи 3.7.
Убедимся, что формула Брэгга-Вульфа (3.16) с учетом преломления действительно объясняет положения максимумов интенсивности $I(\sqrt{V})$ на рис. 3.5. Заменив в (3.16) $n$ и $\lambda$ согласно формулам (3.15) и (3.8) их выражениями через ускоряющую разность потенциалов $V$, т. е.
\[
n^{2}=1+V_{0} / V, \quad \lambda=1,226 / \sqrt{V}, \mathrm{нM},
\]

получим:
\[
\sqrt{\frac{V_{0}}{V}+\sin ^{2} \alpha}=\frac{m}{2 d} \frac{1,226}{\sqrt{V}} .
\]

Теперь учтем, что распределение $I(\sqrt{V})$ на рис. 3.5 получено для никеля при значениях $V_{0}=15 \mathrm{~B}, d=0,203$ нм и $\alpha=80^{\circ}$. Тогда (3.18) после несложных преобразований можно переписать так:
\[
\sqrt{V}=\frac{\sqrt{9,1 m^{2}-V_{0}}}{\sin \alpha} .
\]

Вычислим по этой формуле значение $\sqrt{V}$, например, для максимума третьего порядка ( $m=3$ ), для которого расхождение с формулой Брэгга-Вульфа (3.10) оказалось наибольшим:
\[
\sqrt{V}=\frac{\sqrt{9,1 \cdot 3^{2}-15}}{0,985}=8,3 \mathrm{~B}^{1 / 2} .
\]

Совпадение с действительным положением максимума 3 -го порядка не требует комментариев.

Итак, опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блестящим подтверждением гипотезы де-Бройля.

Опыты Томсона и Тартаковского. В этих опытах пучок электронов пропускался через поликристаллическую фольгу (по методу Дебая при изучении дифракции рентгеновского излучения). Как и в случае рентгеновского излучения, на фотопластинке, расположенной за фольгой, наблюдалась система дифракционных колец. Сходство обеих картин поразительно. Подозрение, что система этих колец порождается не электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возникающим в результате падения электронов на фольгу, легко рассеивается, если на пути рассеянных электронов создать магнитное поле (поднести постоянный магнит). Оно не влияет на рентгеновское излучение. Такого рода проверка показала, что интерференционная картина сразу же искажалась. Это однозначно свидетельствует, что мы имеем дело именно с электронами.
Г. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (десятки кэВ), П.С. Тарковский – со сравнительно медленными электронами (до 1,7 кэВ).

Опыты с нейтронами и молекулами. Для успешного наблюдения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны этих волн была сравнима с расстояниями между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользоваться частицами с достаточно малыми скоростями. Соответствующие опыты по дифракции нейтронов и молекул при отражении от кристаллов были проделаны и также полностью подтвердили гипотезу де-Бройля в применении и к тяжелым частицам.

Благодаря этому было экспериментально доказано, что волновые свойства являются универсальным свойством всех частиц. Они не обусловлены какими-то особенностями внутреннего строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.

Опыты с одиночными электронами. Описанные выше опыты выполнялись с использованием пучков частиц. Поэтому возникает естественный вопрос: наблюдаемые волновые свойства выражают свойства пучка частиц или отдельных частиц?

Чтобы ответить на этот вопрос, В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили в 1949 г. опыты, в которых применялись столь слабые пучки электронов, что каждый электрон проходил через кристалл заведомо поодиночке и каждый рассеянный электрон регистрировался фотопластинкой. При этом оказалось, что отдельные электроны попадали в различные точки фотопластинки совершенно беспорядочным на первый взгляд образом (рис. 3.7, a). Между тем при достаточно длительной экспозиции на фотопластинке возникала дифракционная картина (рис. 3.7, б), абсолютно идентичная картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было доказано, что волновыми свойствами обладают и отдельные частицы.

Таким образом, мы имеем дело с микрообъектами, которые обладают одновременно как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Это позволяет нам в дальнейшем говорить об электронах, но выводы, к Рис. 3.7 которым мы придем, имеют совершенно общий смысл и в равной степени применимы к любым частицам.