Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что М сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. Однако в квантовой теории момент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, $M_z$. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.

Это означает, что направление момента $\mathbf{M}$ в пространстве является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор $\mathbf{M}$ как-то \»размазан\» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной оси $Z$ (рис. 5.1). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция $M_z$. Другие две проекции, $M_x$ и $M_y$, оказываются

Рис. 5.1 полностью неопределенными.

Говоря в дальнейшем о «векторе» момента, мы будем иметь в виду именно такой квантовый смысл этой величины.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением момента для одного электрона. В дальнейшем же по мере усложнения системы выясним, как это отразится на моменте системы (§6.4).

Модуль момента импульса. Начнем с квадрата момента. Согласно (5.13) для этого необходимо решить уравнение
$${\hat{M}}^2\psi =M^2\psi .$$

Оператор ${\hat{M}}^2$ достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому мы ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора:
$$M^2=l(l+1){\hslash }^2,l=0,1,2,\dots ,$$

где $l$ — так называемое орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента
$$l=0,1,2,\dots$$

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).
Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему оператором имеется существенное различие. Классический момент $\mathbf{r}\times \mathbf{p}$ зависит от выбора точки $O$, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки $O$ (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах).

Это значит, что оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его лучше называть оператором углового момента.

Не зависят от выбора точки $O$ и собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, ${\hat{M}}^2$ и ${\hat{M}}_z$.

Проекция момента ${\mathit{M}}_z$. Поскольку в одном и том же состоянии проекции момента на два различных направления не могут иметь определенные значения, то избранное направление можно взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось $Z$, так как в этом случае оператор ${\hat{M}}_z$ дается более простой формулой (5.12).

Таким образом, для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (5.16), peшить уравнение
$$-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }\psi =M_z\psi .$$

Подстановка $\psi =C{\mathrm{e}}^{\alpha \phi }$ приводит после сокращения на общий множитель ${\mathrm{e}}^{\alpha \phi }$ к уравнению $-\mathrm{i}\hslash \alpha =M_z$, из которого $\alpha =\mathrm{i}{M}_z/\hslash$. Значит, решение уравнения (5.22) таково:
$$\psi =C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m\phi },m=M_z/\hslash .$$

Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, ддя чего должно быть выполнено условие
$$\psi (\phi +2\pi )=\psi (\phi ).$$

Данное условие выполняется только при целых значениях $m$ в (5.23).

Следовательно, проекция углового момента на ось $Z$ является кратной постоянной Планка:
$$M_z=m\hslash ,m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

Поскольку ось $Z$ выбирают произвольно, равенство (5.24) означает, чтто проекция углового момента на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 5.2. Разумеется, подобные схемы не следует понимать буквально, ибо «вектор\» М принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем (§ 7.1), число $m$ называют магнитным квантовым числом.

С точки зрения квантовой теории волновая функция ${\psi }_l$, соответствующая определенному квантовому числу $l$, представляет собой суперпозицию состояний ( ${\psi }_{lm}$-функций), отличающихся друг от друга квантовым числом $m$. Иначе говоря, состояние с заданным $l$ является вырожденным по $m$, причем кратность вырождения, т. е. число различных значений $m$, как Рис. 5.2 следует из (5.24), равно $2l+1$. Как будет показано в дальнейшем ( $\mathrm{\$}7.2$ ), вырождение снимается при помещении атома в магнитное поле.

Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. $\left|M_z\right|⩽M$, поэтому в соответствии с (5.20) и (5.21) должно выполняться условие
$$|m|⩽\sqrt{l(l+1)}.$$

Отсюда следует, что максимальное значение $|m|$ равно $l$.
Мы видим, что при заданном $l$ число $m$ принимает $2l+1$ значений:
$$l,l-1,\dots ,0,\dots ,-(l-1),-l,$$

образующих спектр величины $M_z$. Заметим, что в квантовой теории при указании орбитального момента принято называть только $l$, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все возможные значения его проекций на ось $Z$. Так например, когда говорят, что орбитальный момент $l=2$, то имеется в виду модуль $M$ момента и спектр $M_z$ :
$$M=\hslash \sqrt{6},M_z=2\hslash ,1\hslash ,0,-1\hslash ,-2\hslash .$$

Итак, мы имеем:

Полученные результаты, определяющие возможные значения $M$ и $M_z$, называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (см. рис. 5.2).

Рассуждения, приведенные выше, можно провести и в обратном порядке: не от $M$ к $M_z$, а наоборот. При этом можно использовать довольно поучительный прием, познакомиться с которым имеет определенный смысл.

Итак, найдем зависимость $M$ от числа $l$. Для этого мысленно представим себе множество одинаковых частиц с одним и тем же моментом $M$, но с разными значениями его проекции $M_2$. Известно, что для средних значений справедливо равенство
$$⟨M^2⟩=⟨M_x^2⟩+⟨M_y^2⟩+⟨M_z^2⟩.$$

Левая часть этого равенства равна просто $M^2$, а правая, в силу равновероятности всех проекций, может быть представлена как $3⟨M_z^2⟩$. Тогда (5.27) примет вид
$$M^2=3⟨M_z^2⟩.$$

Далее, согласно (5.21) при всяком значении $l$ проекция $M_z$ может принимать $2l+1$ различных значений. Поэтому среднее значение $M_z^2$ равно
$$⟨M_z^2⟩={\hslash }^2⟨m^2⟩={\hslash }^2\frac{\sum _{m=1}^l{m}^2}{2l+1}.$$

Из математики известно, что
$$\sum _{m=1}^l{m}^2=\frac{l(l+1)(2l+1)}{6}.$$

Тогда формула (5.29) преобразуется к виду
$$⟨M_z^2⟩=\frac{{\hslash }^2}{3}l(l+1).$$

И наконец, после подстановки (5.30) в (5.28) получим
$$M^2={\hslash }^{2}l(l+1),$$

что и требовалось доказать.