Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что М сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. Однако в квантовой теории момент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, $M_{z}$. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.

Это означает, что направление момента $\mathbf{M}$ в пространстве является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор $\mathbf{M}$ как-то \”размазан\” по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной оси $Z$ (рис. 5.1). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция $M_{z}$. Другие две проекции, $M_{x}$ и $M_{y}$, оказываются

Рис. 5.1 полностью неопределенными.

Говоря в дальнейшем о «векторе» момента, мы будем иметь в виду именно такой квантовый смысл этой величины.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением момента для одного электрона. В дальнейшем же по мере усложнения системы выясним, как это отразится на моменте системы (§6.4).

Модуль момента импульса. Начнем с квадрата момента. Согласно (5.13) для этого необходимо решить уравнение
\[
\hat{M}^{2} \psi=M^{2} \psi .
\]

Оператор $\hat{M}^{2}$ достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому мы ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора:
\[
M^{2}=l(l+1) \hbar^{2}, \quad l=0,1,2, \ldots,
\]

где $l$ – так называемое орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента
\[
l=0,1,2, \ldots
\]

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).
Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему оператором имеется существенное различие. Классический момент $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ зависит от выбора точки $O$, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки $O$ (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах).

Это значит, что оператор момента импульса зависит только от направления координатных осей. Поэтому его лучше называть оператором углового момента.

Не зависят от выбора точки $O$ и собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, $\hat{M}^{2}$ и $\hat{M}_{z}$.

Проекция момента $\boldsymbol{M}_{z}$. Поскольку в одном и том же состоянии проекции момента на два различных направления не могут иметь определенные значения, то избранное направление можно взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось $Z$, так как в этом случае оператор $\hat{M}_{z}$ дается более простой формулой (5.12).

Таким образом, для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (5.16), peшить уравнение
\[
-\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \psi=M_{z} \psi .
\]

Подстановка $\psi=C \mathrm{e}^{\alpha \varphi}$ приводит после сокращения на общий множитель $\mathrm{e}^{\alpha \varphi}$ к уравнению $-\mathrm{i} \hbar \alpha=M_{z}$, из которого $\alpha=\mathrm{i} M_{z} / \hbar$. Значит, решение уравнения (5.22) таково:
\[
\psi=C \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \varphi}, \quad m=M_{z} / \hbar .
\]

Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, ддя чего должно быть выполнено условие
\[
\psi(\varphi+2 \pi)=\psi(\varphi) .
\]

Данное условие выполняется только при целых значениях $m$ в (5.23).

Следовательно, проекция углового момента на ось $Z$ является кратной постоянной Планка:
\[
M_{z}=m \hbar, \quad m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

Поскольку ось $Z$ выбирают произвольно, равенство (5.24) означает, чтто проекция углового момента на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 5.2. Разумеется, подобные схемы не следует понимать буквально, ибо «вектор\” М принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем (§ 7.1), число $m$ называют магнитным квантовым числом.

С точки зрения квантовой теории волновая функция $\psi_{l}$, соответствующая определенному квантовому числу $l$, представляет собой суперпозицию состояний ( $\psi_{l m}$-функций), отличающихся друг от друга квантовым числом $m$. Иначе говоря, состояние с заданным $l$ является вырожденным по $m$, причем кратность вырождения, т. е. число различных значений $m$, как Рис. 5.2 следует из (5.24), равно $2 l+1$. Как будет показано в дальнейшем ( $\$ 7.2$ ), вырождение снимается при помещении атома в магнитное поле.

Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. $\left|M_{z}\right| \leqslant M$, поэтому в соответствии с (5.20) и (5.21) должно выполняться условие
\[
|m| \leqslant \sqrt{l(l+1)} .
\]

Отсюда следует, что максимальное значение $|m|$ равно $l$.
Мы видим, что при заданном $l$ число $m$ принимает $2 l+1$ значений:
\[
l, l-1, \ldots, 0, \ldots,-(l-1),-l,
\]

образующих спектр величины $M_{z}$. Заметим, что в квантовой теории при указании орбитального момента принято называть только $l$, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все возможные значения его проекций на ось $Z$. Так например, когда говорят, что орбитальный момент $l=2$, то имеется в виду модуль $M$ момента и спектр $M_{z}$ :
\[
M=\hbar \sqrt{6}, \quad M_{z}=2 \hbar, 1 \hbar, 0,-1 \hbar,-2 \hbar .
\]

Итак, мы имеем:

Полученные результаты, определяющие возможные значения $M$ и $M_{z}$, называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически (см. рис. 5.2).

Рассуждения, приведенные выше, можно провести и в обратном порядке: не от $M$ к $M_{z}$, а наоборот. При этом можно использовать довольно поучительный прием, познакомиться с которым имеет определенный смысл.

Итак, найдем зависимость $M$ от числа $l$. Для этого мысленно представим себе множество одинаковых частиц с одним и тем же моментом $M$, но с разными значениями его проекции $M_{2}$. Известно, что для средних значений справедливо равенство
\[
\left\langle M^{2}\right\rangle=\left\langle M_{x}^{2}\right\rangle+\left\langle M_{y}^{2}\right\rangle+\left\langle M_{z}^{2}\right\rangle .
\]

Левая часть этого равенства равна просто $M^{2}$, а правая, в силу равновероятности всех проекций, может быть представлена как $3\left\langle M_{z}^{2}\right\rangle$. Тогда (5.27) примет вид
\[
M^{2}=3\left\langle M_{z}^{2}\right\rangle .
\]

Далее, согласно (5.21) при всяком значении $l$ проекция $M_{z}$ может принимать $2 l+1$ различных значений. Поэтому среднее значение $M_{z}^{2}$ равно
\[
\left\langle M_{z}^{2}\right\rangle=\hbar^{2}\left\langle m^{2}\right\rangle=\hbar^{2} \frac{\sum_{m=1}^{l} m^{2}}{2 l+1} .
\]

Из математики известно, что
\[
\sum_{m=1}^{l} m^{2}=\frac{l(l+1)(2 l+1)}{6} .
\]

Тогда формула (5.29) преобразуется к виду
\[
\left\langle M_{z}^{2}\right\rangle=\frac{\hbar^{2}}{3} l(l+1) .
\]

И наконец, после подстановки (5.30) в (5.28) получим
\[
M^{2}=\hbar^{2} l(l+1),
\]

что и требовалось доказать.