В квантовой теории с моментом импульса $M$ связан не только электрон, но и такой важный вопрос, как вращение молекул.

В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой $E=M^{2} / 2 I$, где $I$ момент инерции тела относительно соответствующей оси вращения.

Такая же формула справедлива и в квантовой теории, но только для связи между операторами:
\[
\hat{E}=\hat{M}^{2} / I \text {. }
\]

Из этой формулы следует, что собственные значения оператора энергии, так же как и собственные значения оператора $\hat{M}^{2}$, являются квантованными величинами. Согласно (5.21) имеем

где $r$ – вращательное квантовое число (мы просто заменили $l$ на $r$, чтобы подчеркнуть, что это соотношение относится к вращению молекул).

Неизменяемую вращательную систему в квантовой физике называют ротатором. Формула (5.33) определяет его энергетические уровни, а значит и вращательные уровни молекулы. Из этой формулы следует, что расстояние между вращательными уровнями ротатора (молекулы) растет с увеличением квантового числа $r$. В самом деле, интервал между уровнями $r$ и $r+1$
\[
\Delta E=\frac{\hbar^{2}}{2 I}[(r+1)(r+2)-(r+1)]=\frac{\hbar^{2}}{I}(r+1) .
\]

Для вращательного квантового числа $r$ действует правило отбора

Поэтому частоты линий, испускаемых при переходах между вращательными уровнями, могут иметь значения, определяемые условием $\hbar \omega=\Delta E$, откуда
\[
\omega=\frac{\hbar}{I}(r+1)=\omega_{1}(r+1) .
\]

Заметим, что в случае двухатомной молекулы момент инерции $I$ берется относительно оси $O O$, проходящей через ее центр масс $C$ и перпендикулярной прямой, проходящей через ядра атомов молекулы (рис. 5.3). Тогда (в этом полезно убедиться самостоятельно)

Рис. 5.3
\[
I=\mu d^{2},
\]

где $d$ – расстояние между ядрами молекулы, $\mu$ – ее приведенная масса, $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right), m_{1}$ и $m_{2}$ – массы обоих атомов.
Спектр вращательных уровней энергии и соответствущ их спектральных линий изображен на рис. 5.4. Чисто вращательные спектры молекул находятся в далекой инфракрасной области и в области сантиметровых волн.
Ранее (§ 4.4) было показано, что у молекул должны существовать колебательные уровни. Только что мы рассмотрели отдельно вращательные уровни. В общем же случае молекулы колеблются и вращаются одновременно. Это при-
Рис. 5.4 водит к возникновению так называемых колебательно-вращательных полос, состоящих из весьма близких линий, расположенных симметрично относительно «линии» с частотой $\omega_{0}$ и отстоящих друг от друга на $\Delta \omega=\omega_{1}=\hbar / I$. Схема соответствующих уровней, переходов и расположения спектральных линий в полосе показана ни рис. 5.5. В середине полосы интервал между соседними линиями вдвое больше, поскольку линия с частотой $\omega_{0}$ не возникает из-за правила отбора (5.35), согласРис. 5.5 но которому $\Delta r= \pm 1$.