Орбитальный магнитный момент. Ранее неоднократно отмечалось, что с механическим моментом $M$ атома связан магнитный момент $\mu$. В § 2.3 было получено классическое выражение (2.33) для связи $\mu$ с $M$, обусловленной орбитальным движением электрона в атоме водорода. В квантовой теории величины $\mu$ и $M$ следует заменить операторами $\hat{\mu}$ и $\hat{M}$ :
\[
\hat{\mu}=-\frac{e}{2 m c} \hat{M}, \quad \hat{\mu}_{z}=-\frac{e}{2 m c} \hat{M}_{z} .
\]

Отсюда следует, что изучение свойств магнитного момента электрона сводится к изучению свойств операторов $\hat{\mu}$ и $\hat{\mu}_{z}$. А так как операторы $\hat{\mu}$ и $\hat{M}, \hat{\mu}_{z}$ и $\hat{M}_{z}$ отличаются друг от друга только постоянным множителем, то их свойства совершенно аналогичны: магнитный и механический моменты квантуются по одинаковым правилам.

В стационарном состоянии определенные значения могут иметь только модуль магнитного момента $\mu_{L}$ и одна из его проекций на произвольную ось $Z$. Имея в виду (7.1), а также (6.34) и (6.36), запишем собственные значения операторов $\hat{\mu}$ и $\hat{\mu}_{z}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mu_{L}=-\mu_{\mathrm{B}} \sqrt{L(L+1)}, \quad L=0,1,2, \ldots \\
\mu_{L z}=-\mu_{\mathrm{B}} m_{L}, \quad m_{L}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots, \pm L,
\end{array}
\]

где $\mu_{B}$ — магнетон Бора (2.36): $\mu_{B}=e \hbar / 2 m c$. Он играет роль кванта магнитного момента (точнее его проекции $\mu_{z}$ ).
В заключение отметим, что
1) отношение магнитного момента к механическому, т. е.
\[
\mu / M=e / 2 m c,
\]

называют гиромагнитным отношением;
2) знак минус в вышеприведенных формулах указывает на то, что «векторы» $\boldsymbol{\mu}$ и М взаимно противоположны по направлению (в классическом смысле понятия «векторов»).

Опыты IIтерна и Герлаха. Наличие у атомов магнитных моментов и их квантование было доказано экспериментально Штерном и Герлахом (1921). В их опытах пучок атомов пропускался сквозь сильно неоднородное поперечное магнитное поле (рис. 7.1, a). Необходимая степень неоднородности поля достигалась с помощью специальной формы полюсных наконечников $N$ и $S$ электромагнита (рис. 7.1, б). После прохождения магнитного поля пучок атомов попадал на фотопластинку $P$ и оставлял на ней след.
Рис. 7.1
Если атомы обладают магнитным моментом, то согласно электродинамике на них будет действовать сила, проекция которой на ось $Z$ (см. рис. 7.1, б)
\[
F_{z}=\mu_{z} \frac{\partial B_{z}}{\partial z},
\]

где $\mu_{z}$ — проекция магнитного момента атома на ось $Z$. Из этой формулы видно, что для получения необходимого эффекта при малых значениях $\mu_{z}$ нужно обеспечить достаточно большую неоднородность поля, т. е. $\partial B_{z} / \partial z$. Это и достигалось с помощью указанной формы полюсных наконечников.

В отсутствие магнитного поля след пучка на фотопластинке $P$ имел вид одной полоски ( $z=0$ ). При включении же магнитного поля наблюдалось расщепление пучка (рис. 7.1, в), что являлось следствием квантования проекции магнитного момента $\mu_{z}$ в формуле (7.5): $\mu_{z}$ может принимать только ряд дискретных значений. В опытах обнаружилось также, что для разных атомов число компонент, на которые расщеплялся пучок, было или нечетным, или четным.

Анализ полученных результатов показал, что нечетное число компонент возникает у атомов, обладающих только орбитальным механическим моментом $M_{L}$, тогда магнитное поле снимает вырождение по $L$ и число компонент (значений $m_{L}$ ) будет равно $2 L+1$, т. е. нечетным.

Если же момент атома является суммой орбитального и спинового, т. е. определяется квантовым числом $J$, то число компонент будет равно $2 J+1$, и в зависимости от того, полуцелым или целым будет значение $J$, число компонент будет соответственно четным или нечетным.

В частности, при пропускании атомов водорода или серебра пучок расщеплялся на две компоненты, что в свое время явилось полной неожиданностью, поскольку в основном состоянии их орбитальные моменты равны нулю (а спиновые моменты были еще неизвестны), и пучок не должен был расщепляться.

Но вскоре объяснение было найдено: эти атомы обладают спиновым моментом ( $s=1 / 2$ ), и число $2 s+1$ компонент $m_{s}$ в полном соответствии с опытом равно двум.

Спиновый магнитный момент. Зная степень неоднородности магнитного поля, т. е. $\partial B_{z} / \partial z$, Штерн и Герлах по величине расщепления пучка на фотопластинке рассчитали значение проекции спинового магнитного момента на направление магнитного поля, $\mu_{B}$. Выяснилось, что $\mu_{B}$ равен одному магнетону Бора. Этот результат сначала также оказался неожиданным, поскольку приводит к гиромагнитному отношению вдвое превышающему (7.4), связывающему орбитальные моменты. В связи с этим говорят, что спин обладает удвоенным магнетизмом.

Итак, спиновый магнитный момент и его проекция на произвольную ось $Z$ определяются как
\[
\begin{array}{l}
\mu_{S}=-2 \mu_{\mathrm{B}} \sqrt{S(S+1)}, \\
\mu_{S z}=-2 \mu_{\mathrm{B}} m_{S}, \quad m_{S}=S, S-1, \ldots,-S .
\end{array}
\]

При $S=1 / 2 \quad m_{S}=+1 / 2$ и $-1 / 2$.
Принято говорить, что спиновый магнитный момент электрона равен одному магнетону Бора. Такая терминология обусловлена тем, что при измерении магнитного момента мы обычно измерлем его проекцию, а она как раз и равна одному $\mu_{\mathrm{5}}$.

Опыты Штерна и Герлаха явились еще одним убедительным доказательством наличия у электрона спина*.

Полный магнитный момент атома. Вследствие удвоенного магнетизма спина гиромагнитное отношение полных моментов $\mu / M_{J}$ оказывается значительно более сложным. Оно зависит от квантовых чисел $L, S$ и $J$. Соответствующий расчет, проводимый в квантовой теории, позволил найти магнитный момент $\mu$ и его проекцию на ось $Z$ :
\[
m_{J}=J, J-1, \ldots,-J,
\]

где $g$ — множитель (или фактор) Ланде:
\[
g=\frac{3}{2}+\frac{S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)} .
\]

В частности, в синглетных состояниях ( $S=0$ ) $J=L, g=1$, и мы приходим к формулам (7.2) и (7.3). А при $L=0(J=S, g=2)$ к формулам (7.6) и (7.7).

Отметим также некоторые «экзотические» случаи. Например:
1) в состоянии ${ }^{3} P_{0} \quad g=0 / 0$; эта неопределенность не должна смущать, поскольку при $J=0$ механический момент равен нулю, а значит, отсутствует и магнитный момент;
2) в состоянии ${ }^{4} D_{1 / 2} \quad g=0$, т. е. механический момент есть, а магнитный отсутствует;
3) в состоянии ${ }^{6} F_{1 / 2} g=-2 / 3$, а это значит, что в данном состоянии знак минус в формулах (7.8) и (7.9) исчезает. На языке классики это означает, что «векторы» $\mu$ и М «сонаправлены\» (не взаимно противоположны).
* Помимо этих опытов следует упомянуть и о так называемых магнитомеханических явлениях — опытах Эйнштейна и де Хааса, а также опыте Барнетта. И в этих опытах было обнаружено, что гиромагнитное отношение спиновых моментов тоже вдвое больше отношения орбитальных.

4) в состоянии ${ }^{5} P_{1} g=5 / 2$, т.е. фактор Ланде в некоторых состояниях может быть и больше двух (вопреки утверждению некоторых авторов).
Случаи 2) и 3), когда $g=0$ и $g<0$, представляют собой чисто квантовые эффекты, не имеющие аналогов в классической физике.