Масса ядра не является аддитивной величиной: она не равна сумме масс образующих ядро нуклонов. Причиной является сильное взаимодействие нуклонов в ядре. Из-за этого взаимодействия для полного разделения ядра на отдельные свободные нуклоны необходимо произвести минимальную работу, которая и определяет энергию связи ядра $E_{\text {св }}$. Наоборот, при образовании ядра из свободных нуклонов эта энергия выделяется (в виде, например, электромагнитного излучения).
Известно, что энергия покоя частицы связана с ее массой как $E_{0}=m c^{2}$. Значит, энергия покоя ядра меньше суммы энергий покоя свободных нуклонов, входящих в состав данного ядра (рис. 8.2), и мы имеeм
Рис. 8.2
\[
E_{\mathrm{cB}}=\sum m_{N}-m_{s},
\]

где $\sum m_{N}$ – сумма масс нуклонов, $m_{я}$ – масса ядра. Здесь, как и в дальнейшем, массы частиц выражены в энергетических единицах. Более детально (8.4) записывают так:
\[
E_{\mathrm{cB}}=Z m_{p}+N m_{n}-m_{\text {s, }},
\]

где $Z$ и $N$ – число протонов и нейтронов в ядре, причем
\[
Z+N=A .
\]

Формула (8.5) неудобна для практических расчетов, поскольку в таблицах приводятся массы не ядер, а массы нуклидов, т.е. атомов $m_{я}$. Учитывая это обстоятельство, поступим так. Соотношение (8.5) практически не изменится, если заменить массу протона массой нуклида ${ }^{1} \mathrm{H}\left(m_{\mathrm{H}}\right)$, а массу ядра $m_{я}$ – массой соответствующего нуклида ( $m_{\mathrm{a}}$ ). Другими словами, в выражении (8.5) мы добавляем $Z$ электронов и столько же их вычитаем, пренебрегая при этом ничтожной по сравнению с массой ядра энергией связи электрона с ядром.
И тогда формулу (8.5) можно записать в виде
Более того, для упрощения расчетов вводят понятие дефект массы $\Delta$ как разность между массой (в а.е.м.) и массовым числом $A$ ядра или нуклона: $\Delta=m-A$. Тогда
\[
m_{\mathrm{H}}=1+\Delta_{\mathrm{H}}, \quad m_{n}=1+\Delta_{n}, \quad m_{\mathrm{a}}=A+\Delta_{\mathrm{a}},
\]

и формулу (8.6) можно представить в виде

где $N=A-Z$. Соответственно и в таблицах приводят не массы нуклидов, а их дефекты масс, как это показано (в качестве примера) в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Более обширная таблица дефектов масс $\Delta$ приведена в Приложении, из которой видно, что $\Delta$ может быть как положительным, так и отрицательным. За «начало отсчета» принят нуклид ${ }^{12} \mathrm{C}$, дефект массы которого $\Delta=0$.

Удельная энергия связи. Так называют энергию связи, приходящуюся в среднем на один нуклон, т. е. $E_{\text {св }} / A$. Эта величина характеризует меру прочности ядра: чем больше $E_{\text {св }} / A$, тем ядро прочнее.

Пример. Вычислим с помощью табл. 8.1 удельную энергию связи в ядре ${ }^{4} \mathrm{He}$.
Воспользовавшись формулой (8.8), запишем:
\[
E_{\text {cs }}=2 \cdot 0,007825+2 \cdot 0,008665-0.002604=0,030376 \text { а.е.м. }
\]

Учитывая, что 1 а.е.м. соответствует энергии 931,5 МэВ, получим:
\[
E_{\text {св }}=28,3 \mathrm{MэB} \text { и } E_{\text {св }} / A=7,1 \text { МэВ. }
\]

Для сравнения: энергия связи электронов в атомах порядка 10 эВ, что по существу пренебрежимо мало с величиной удельной энергии связи ядра.

Аналогично (8.8) имеет вид формула для расщепления ядра массы $m$, например, на две частицы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Необходимая для этого работа равна энергии связи $E_{\text {св }}$ этих частиц в исходном ядре. Она определяется (рис. 8.3) как
\[
E_{\mathrm{cB}}=\Delta_{1}+\Delta_{2}-\Delta_{\mathrm{a}},
\]

где все три слагаемых справа – это дефекты масс соответствующих данным ядрам нуклидов (в а.е.м. или МэВ). Еще раз отметим, что используя дефекты масс вместо самих масс, мы заметно упрощаем процедуру расчета.
Число протонов и нейтронов в процессе
Рис. 8.3
расщепления ядра не меняется, поэтому в выражении $E_{\text {св }}=$ $=\left(m_{1}+m_{2}\right)-m$, где $m_{1}$ и $m_{2}-$ массы ядер, на которые расщепилось исходное ядро массы $m$; массы (и энергии покоя) протонов и нейтронов сокращаются и остается только со знаком минус энергия связи этих трех ядер. В результате имеем
\[
E_{\text {св }}=E_{\text {св } я}-\left(E_{\text {св } 1}+E_{\text {св } 2}\right) \text {, }
\]

где $E_{\text {св я }}$ – энергия связи исходного ядра.
Формулы, подобные (8.9) и (8.10), широко используют в ядерной физике при анализе тех или иных ядерных реакций.

Интересно сравнить полученную в предыдущем примере удельную энергию связи у ядра ${ }^{4} \mathrm{He}$ с энергией связи, скажем, одного нейтрона в этом же ядре (т. е. с работой, которую необходимо затратить для извлечения одного нейтрона из этого ядра).

В этом процессе нуклид ${ }^{4} \mathrm{He}$ превращается в нуклид ${ }^{3} \mathrm{He}$, и мы, воспользовавшись формулой (8.9) и табл. 8.1, запишем:
\[
E_{\text {св }}=\Delta_{1}+\Delta_{3}-\Delta_{4}=0,02125 \text { а.е.м. }=19,8 \text { МэВ, }
\]

где $\Delta_{1}, \Delta_{3}, \Delta_{4}$ – это дефекты масс нуклидов ${ }^{1} \mathrm{H},{ }^{3} \mathrm{He}$ и ${ }^{4} \mathrm{He}$.
Отличие полученного результата от удельной энергии связи (7,1 МэВ) весьма разительное. Но дело в том, что это разные по своей сути величины. Можно, конечно, продолжать бы этот процесс: из ядра ${ }^{3} \mathrm{He}$ извлечь, например, протон, т. е. найти энергию связи протона с этим ядром. Получим нуклид ${ }^{3} \mathrm{H}$. Из него извлечь последовательно сначала один, затем другой нейтрон. И мы обнаружим, что суммарная работа всех этих процессов, т. е. сумма соответствующих энергий связи, окажется, как и должно быть, равной энергии связи ядра ${ }^{4} \mathrm{He}$, т. е. 28,3 МэВ.

Вернемся к удельной энергии связи $E_{\text {св }} / A$. Эта величина зависит от массового числа $A$. График соответствующей зависимости показан на рис 8.4. Анализ вида этого графика дает существенную информацию о свойствах ядер и даже о характере ядерных сил между нуклонами.

Рис. 8.4
В грубом приближении можно считать, что удельная энергия связи ядер почти не зависит от массового числа $A$ и равна примерно 8 МэВ. Приближенная независимость удельной энергии связи от $\boldsymbol{A}$ означает, что ядерные силы обладают свойством насыщения. Оно заключается в том, что каждый нуклон взаимодействует только с ограниченным числом соседних нуклонов. Иначе

бы удельная энергия связи линейно зависела от $A$ (если бы каждый нуклон взаимодействовал со всеми остальными, то энергия этого взаимодействия была бы пропорциональна $A$ – 1). Благодаря насыщению ядерных сил плотность ядерного вещества внутри ядра однородна. Именно поэтому линейный размер ядра с массовым числом $A$ пропорционален $A^{1 / 3}$ в соответствии с (8.3).

Отсюда также следует, что ядерные силы являются короткодействующими с радиусом порядка среднего расстояния между нуклонами в ядре ( $10^{-13} \mathrm{~cm}$ ).

Наиболее прочными являются ядра с массовыми числами $A \sim 50 \div 60$, т. е. элементов от $\mathrm{Cr}$ до $\mathrm{Zn}$. Удельная энергия связи этих ядер достигает 8,7 МэВ на нуклон. Как с ростом, так и с уменьшением $A$ удельная энергия связи уменьшается, и тяжелым ядрам становится энергетически выгодным делиться, образуя при этом более легкие (и прочные) ядра, а легким ядрам, наоборот, выгодно сливаться друг с другом, образуя более тяжелые ядра.

В обоих случаях выделяется энергия. Например, при делении ядра ${ }^{235} \mathrm{U}$ – около 200 МэВ (в основном в виде кине гической энергии разлетающихся под действием кулоновских сил отталкивания осколков). А при слиянии дейтрона с тритоном $(d+t=\alpha+n)$ происходит синтез $\alpha$-частиц – ядер нуклида ${ }^{4} \mathrm{He}$. – с выделением энергии 17,6 МэВ. В первом случае выделяемую энергию называют атомной, во втором – термоядерной. На единицу массы во втором случае выделяется в пять раз больше энергии, чем в первом, поэтому проблема управляемого термоядерного синтеза считается особо важной.