Сначала рассмотрим простейший случай — прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия $U$ зависит только от одной координаты $x$, причем при $x=0$ претерпевает скачок (рис. 4.11). У такого барьера
\[
U(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } x<0, \\
U_{0} & \text { при } x>0 .
\end{array}\right.
\]

Пусть слева на границу барьера налетает с полной энергией $E$ частица или поток частиц. На языке квантовой теории это означает, что на барьер слева «падает» дебройлевская волна
Рис. 4.11
\[
\Psi(x, t)=a \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} .
\]

Чтобы удовлетворить граничным условиям для $\Psi$ и $\partial \Psi / \partial x$ при $x=0$, должна существовать как прошедшая волна, так и отраженная. В этих трех волнах частота $\omega$ одна и та же ( $\omega=E / \hbar)$, поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно $\psi(x)$.

Наша задача: сначала найти амплитуды отраженной и падающей волн, а затем — коэффициенты отражения $R$ и пропускания $D$ для такого барьера. Исходим из уравнения Шредингера (4.9). В нашем случае оно имеет вид
\[
\psi_{x}^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0, \quad k^{2}=2 m\left(E-U_{0}\right) / \hbar^{2} .
\]

Здесь возможны два случая (см. рис. 4.11): $E>U_{0}$ и $E<U_{0}$.
1. В случае $\boldsymbol{E}>\boldsymbol{U}_{0}$ общее решение уравнения (4.27) имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(x \leqslant 0)=a_{1} \exp \left(\mathrm{i} k_{1} x\right)+b_{1} \exp \left(-\mathrm{i} k_{1} x\right), k_{1}=\sqrt{2 m E} / \hbar . \\
\psi_{2}(x \geqslant 0)=a_{2} \exp \left(\mathrm{i} k_{2} x\right)+b_{2} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2} x\right), \quad k_{2}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)} / \hbar .
\end{array}
\]

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой $a_{1}$, причем вещественной, а отраженная — амплитудой $b_{1}$. В области $x>0$ имеется только проходящая волна, поэтому

$b_{2}=0$. Из условия непрерывности $\psi$ и $\psi_{x}^{\prime}$ в точке $x=0$ следует, что
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(0)=\psi_{2}(0), \text { или } a_{1}+b_{1}=a_{2}, \\
\psi_{1}^{\prime}(0)=\psi_{2}^{\prime}(0), \text { или } a_{1} k_{1}+b_{1} k_{1}=a_{2} k_{2} .
\end{array}
\]

Из совместного решения зтих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде $a_{1}$ падающей волны равны:
\[
\frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}, \quad \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} .
\]

Для определения интересующих нас коэффициентов $R$ и $D$ введем понятие плотности потока вероятности $\mathcal{P}$. Скорость распространения вероятности такого потока просто совпадает с классической скоростью $v$ частицы, и мы можем написать $v=p / m=\hbar k / m$, поскольку согласно (3.1) $p=\hbar k$. Таким образом,
\[
v \sim k,
\]

и плотность потока вероятности пропорциональна величине $k \Psi \Psi^{\star}:$
\[
\mathcal{P} \sim k \Psi \Psi^{*} .
\]

В соответствии с видом $\Psi$-функции (4.26) для падающей, отраженной и прошедшей волн мы имеем
\[
\mathcal{P} \sim k_{1} a_{1}^{2}, \quad \mathcal{P}^{\prime} \sim k_{1} b_{1}{ }^{2}, \quad \mathcal{P}^{\prime \prime} \sim k_{2} a_{2}{ }^{2} .
\]

Теперь можно записать выражения для коэффициентов отражения $R$ и пропускания $D$ :
\[
R=\frac{\mathcal{P}^{\prime}}{\mathcal{P}}=\left(\frac{b_{1}}{a_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}, \quad D=\frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{2}=\frac{4 k_{1} k_{2}}{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}} .
\]

Отсюда следует, что $R+D=1$, что и должно быть по определению. Кроме того, видно, что значения $R$ и $D$ не зависят от направления движения частицы: слева направо на рис. 4.11 или наоборот.
Заметим, что в классическом случае $R=0$ при $E>U_{0}$.

2. В случае $\boldsymbol{E}<\boldsymbol{U}_{0}$ формулы (4.30) остаются справедливыми. Однако $k_{2}$ будет чисто мнимым согласно (4.28). При этом выражение (4.31) для коэффициента отражения следует записать так:
\[
R=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right|^{2} .
\]

Здесь числитель и знаменатель — величины комплексно-сопряженные. Значит $R=1$, т. е. отражение частиц будет полным. Но $\psi$-функция при $x>0$ не обращается в нуль. В самом деле, полагая $k_{2}=\mathrm{i} k$, где $k=\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} / \hbar$, получим, что $\psi_{2} \sim \mathrm{e}^{-k x}$ и плотность вероятности местоположения частицы
\[
P(x)=P(0) \mathrm{e}^{-2 k x} .
\]

Видно, что с увеличением глубины проникновения $x$ плотность вероятности $P(x)$ убывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность ( $U_{0}-E$ ). Обычно глубину проникновения определяют как расстояние $l$, на котором $P(x)$ убывает в е раз. При этом в (4.33) $2 k l=1$ и
\[
l=1 / 2 k=\hbar / \sqrt{8 m\left(U_{0}-E\right)} .
\]

Можно убедиться, что для электрона при $U_{0}-E \approx 10^{-3}$ эВ глубина проникновения $l \approx 10^{-7} \mathrm{cм}$.

Таким образом $\psi$-функция проникает в область $x>0$, несмотря на то, что падающая волна отражается полностью.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии $E$ на кинетическую и потенциальную не совместимо с соотношением неопределенностей (3.20), см. также стр. 95.

Туннельный эффект. Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией $E$ налетает на некоторый потенциальный барьер $U(x)$, то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т. е. пройти область, где $E<U$.

В качестве иллюстрации приведем результаты расчета плотности вероятности $P(x)$ местоположения частицы, налетающей слева на простейший прямоугольный потенциальный барьер, показанный на рис. 4.12. Слева от барьера мы имеем падающую и отраженную волны, а за барьером — только прошедшую волну. Внутри барьера $\psi$-функция имеет не волновой характер, в результаРис. 4.12 те чего $P(x)$ убывает практически экспоненциально.

Соответствующий расчет показывает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 4.13) вероятность прохождения частицы сквозь барьер, т. е. коэффициент прозрачности
\[
D \approx \exp \left(-\frac{2}{\hbar} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m(U-E)} \mathrm{d} x\right) .
\]

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше ( $U-E$ ) по сравнению с $E$.

Туннельный эффект — специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе не может быть). Этим эффектом объясняются многие Pис. 4.13 физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.