Главная > КВАНТОВАЯ ФИЗИКА. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (И.Е.Иродов)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Сначала рассмотрим простейший случай – прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия $U$ зависит только от одной координаты $x$, причем при $x=0$ претерпевает скачок (рис. 4.11). У такого барьера
\[
U(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } x<0, \\
U_{0} & \text { при } x>0 .
\end{array}\right.
\]

Пусть слева на границу барьера налетает с полной энергией $E$ частица или поток частиц. На языке квантовой теории это означает, что на барьер слева «падает» дебройлевская волна
Рис. 4.11
\[
\Psi(x, t)=a \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} .
\]

Чтобы удовлетворить граничным условиям для $\Psi$ и $\partial \Psi / \partial x$ при $x=0$, должна существовать как прошедшая волна, так и отраженная. В этих трех волнах частота $\omega$ одна и та же ( $\omega=E / \hbar)$, поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно $\psi(x)$.

Наша задача: сначала найти амплитуды отраженной и падающей волн, а затем – коэффициенты отражения $R$ и пропускания $D$ для такого барьера. Исходим из уравнения Шредингера (4.9). В нашем случае оно имеет вид
\[
\psi_{x}^{\prime \prime}+k^{2} \psi=0, \quad k^{2}=2 m\left(E-U_{0}\right) / \hbar^{2} .
\]

Здесь возможны два случая (см. рис. 4.11): $E>U_{0}$ и $E<U_{0}$.
1. В случае $\boldsymbol{E}>\boldsymbol{U}_{0}$ общее решение уравнения (4.27) имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(x \leqslant 0)=a_{1} \exp \left(\mathrm{i} k_{1} x\right)+b_{1} \exp \left(-\mathrm{i} k_{1} x\right), k_{1}=\sqrt{2 m E} / \hbar . \\
\psi_{2}(x \geqslant 0)=a_{2} \exp \left(\mathrm{i} k_{2} x\right)+b_{2} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2} x\right), \quad k_{2}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)} / \hbar .
\end{array}
\]

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой $a_{1}$, причем вещественной, а отраженная – амплитудой $b_{1}$. В области $x>0$ имеется только проходящая волна, поэтому

$b_{2}=0$. Из условия непрерывности $\psi$ и $\psi_{x}^{\prime}$ в точке $x=0$ следует, что
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}(0)=\psi_{2}(0), \text { или } a_{1}+b_{1}=a_{2}, \\
\psi_{1}^{\prime}(0)=\psi_{2}^{\prime}(0), \text { или } a_{1} k_{1}+b_{1} k_{1}=a_{2} k_{2} .
\end{array}
\]

Из совместного решения зтих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде $a_{1}$ падающей волны равны:
\[
\frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}, \quad \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} .
\]

Для определения интересующих нас коэффициентов $R$ и $D$ введем понятие плотности потока вероятности $\mathcal{P}$. Скорость распространения вероятности такого потока просто совпадает с классической скоростью $v$ частицы, и мы можем написать $v=p / m=\hbar k / m$, поскольку согласно (3.1) $p=\hbar k$. Таким образом,
\[
v \sim k,
\]

и плотность потока вероятности пропорциональна величине $k \Psi \Psi^{\star}:$
\[
\mathcal{P} \sim k \Psi \Psi^{*} .
\]

В соответствии с видом $\Psi$-функции (4.26) для падающей, отраженной и прошедшей волн мы имеем
\[
\mathcal{P} \sim k_{1} a_{1}^{2}, \quad \mathcal{P}^{\prime} \sim k_{1} b_{1}{ }^{2}, \quad \mathcal{P}^{\prime \prime} \sim k_{2} a_{2}{ }^{2} .
\]

Теперь можно записать выражения для коэффициентов отражения $R$ и пропускания $D$ :
\[
R=\frac{\mathcal{P}^{\prime}}{\mathcal{P}}=\left(\frac{b_{1}}{a_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}, \quad D=\frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left(\frac{a_{2}}{a_{1}}\right)^{2}=\frac{4 k_{1} k_{2}}{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}} .
\]

Отсюда следует, что $R+D=1$, что и должно быть по определению. Кроме того, видно, что значения $R$ и $D$ не зависят от направления движения частицы: слева направо на рис. 4.11 или наоборот.
Заметим, что в классическом случае $R=0$ при $E>U_{0}$.

2. В случае $\boldsymbol{E}<\boldsymbol{U}_{0}$ формулы (4.30) остаются справедливыми. Однако $k_{2}$ будет чисто мнимым согласно (4.28). При этом выражение (4.31) для коэффициента отражения следует записать так:
\[
R=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right|^{2} .
\]

Здесь числитель и знаменатель – величины комплексно-сопряженные. Значит $R=1$, т. е. отражение частиц будет полным. Но $\psi$-функция при $x>0$ не обращается в нуль. В самом деле, полагая $k_{2}=\mathrm{i} k$, где $k=\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} / \hbar$, получим, что $\psi_{2} \sim \mathrm{e}^{-k x}$ и плотность вероятности местоположения частицы
\[
P(x)=P(0) \mathrm{e}^{-2 k x} .
\]

Видно, что с увеличением глубины проникновения $x$ плотность вероятности $P(x)$ убывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность ( $U_{0}-E$ ). Обычно глубину проникновения определяют как расстояние $l$, на котором $P(x)$ убывает в е раз. При этом в (4.33) $2 k l=1$ и
\[
l=1 / 2 k=\hbar / \sqrt{8 m\left(U_{0}-E\right)} .
\]

Можно убедиться, что для электрона при $U_{0}-E \approx 10^{-3}$ эВ глубина проникновения $l \approx 10^{-7} \mathrm{cм}$.

Таким образом $\psi$-функция проникает в область $x>0$, несмотря на то, что падающая волна отражается полностью.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии $E$ на кинетическую и потенциальную не совместимо с соотношением неопределенностей (3.20), см. также стр. 95.

Туннельный эффект. Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией $E$ налетает на некоторый потенциальный барьер $U(x)$, то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т. е. пройти область, где $E<U$.

В качестве иллюстрации приведем результаты расчета плотности вероятности $P(x)$ местоположения частицы, налетающей слева на простейший прямоугольный потенциальный барьер, показанный на рис. 4.12. Слева от барьера мы имеем падающую и отраженную волны, а за барьером – только прошедшую волну. Внутри барьера $\psi$-функция имеет не волновой характер, в результаРис. 4.12 те чего $P(x)$ убывает практически экспоненциально.

Соответствующий расчет показывает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 4.13) вероятность прохождения частицы сквозь барьер, т. е. коэффициент прозрачности
\[
D \approx \exp \left(-\frac{2}{\hbar} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m(U-E)} \mathrm{d} x\right) .
\]

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше ( $U-E$ ) по сравнению с $E$.

Туннельный эффект – специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе не может быть). Этим эффектом объясняются многие Pис. 4.13 физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru