Задача об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора является одной из наиболее важных задач о собственных значениях.

В квантовой теории понятие силы теряет смысл (см. сноску на стр. 85), поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как поведение частицы массы $m$ с потенциальной энергией $U(x)$ такой же, как у классического осциллятора, а именно
\[
U=\varkappa x^{2} / 2,
\]

где $x$ – постоянная. Графиком функции (4.20) является парабола (рис. 4.6). Согласно классической механике осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой
* Говоря о \”разрыве», мы должны понимать этот термин не в математическом, а в физическом смысле: функция $U(x)$ меняется от одного значения до другого в очень малой области пространства, испытывая по существу скачок. Именно поэтому в таком месте график $U(x)$ изображают практически вертикальным отрезком.

$\omega=\sqrt{\varkappa / m}$. В квантовой теории это равенство следует рассматривать просто как введение некоторой новой постоянной (и не более), однако, как будет видно в дальнейшем, это делается неспроста. Сейчас же, выразив в формуле (4.20) $x$ через $\omega$ и $m$, получим
\[
U=\frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} .
\]

Рис. 4.6
Теперь обратимся к уравнению Шредингера (4.9), которое в нашем одномерном случае будет иметь вид
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E-\frac{m \omega^{2}}{2} x^{2}\right) \psi=0 .
\]

Нахождение решения этого уравнения, т. е. $\psi$-функции, является громоздкой математической задачей. Для нас главное не в этом. Оказывается, уравнение (4.22) имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции) при собственных значениях $E$, равных
\[
v=0,1,2, \ldots
\]

Схема соответствующих энергетических уровней (4.23) дана на рис. 4.7. Видно, что эти уровни – эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия $E_{0}=\hbar \omega / 2$, ее называют нулевой энергией.

То, что минимальная энергия квантового осциллятора не равна нулю (частица не может «лежать» в нижней точке параболической потенциальной ямы), связано с принципом неопределенности, как и в слуРис. 4.7 чае прямоугольной ямы. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы, и ее импульс и координаты имели бы одновременно определенные значения, что противоречит принципу неопределенности.

Наличие нулевой энергии подтверждается экспериментально.
Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними \”стационарными\” уровнями, при которых квантовое число $v$ изменяется на единицу:

Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.

При каждом из этих переходов испускается или поглощается фотон с энергией $\hbar \omega$, где $\omega$ – его циклическая частота. Именно здесь введенная ранее постоянная $\omega$ приобретает физический смысл. Говорить же, что в стационарных состояниях квантовый осциллятор испытывает колебания с частотой $\omega$, это в принципе неверно. Дело обстоит совершенно иначе. Поясним это с помощью рис. 4.8, где приведены графики распределения плотности вероятности $\psi^{2}(x)$ местоположения частицы при $v=0$, 1,2 и при большом значении $v$. Жирными отрезками на оси $X$ показаны интервалы, на концах которых $E=U$. Классическая частица при колебаниях за пределы интервала заходить не может. Квантовая же частица ведет себя совершенно не так. Она, как видно из рисунка, может быть обнаружена и вне пределов этих интервалов, где $E<U$. И ни о каких колебаниях квантового осциллятора в стационарных состояниях речи быть не может. Мы можем говорить лишь о распределении плотности вероятности местоположения частицы. С ростом квантового числа квантовый осциллятор все больше становится классическим, у которого плотность вероятности плавно изменяется от минимума при $\boldsymbol{x}=0$ до бесконечности в точках поворота (где $E=U$ ), т. е. совершенно противоположно тому, что мы имеем для квантового осциллятора, например, в состоянии с $v=0$ (см. рис. 4.8).
Pac. 4.8

Колебания молекул. В атомной физике к осциллятору сводится задача о колебаниях молекул и многие другие важные задачи. Применим полученные выводы к колебаниям, например, двухатомных молекул.

На рис. 4.9 изображена потенциальная энергия $U$ взаимодействия атомов в двухатомной молекуле (типа $\mathrm{NaCl}$ ) в зависимости от расстояния $r$ между ядрами атомов. Из вида кривой $U(r)$ следует, что атомы в молекуле могут совершать колебания относительно равновесного расстояния $r_{0}$ между ядрами, и у молекулы, следовательно, должны сущеPис. 4.9 ствовать дискретные колебательные уровни энергии. Они описываются той же формулой (4.23), где теперь под $\omega$ надо понимать $\omega_{0}=\sqrt{\varkappa / \mu}, \mu$ – приведенная масса молекулы, $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.

Нижняя часть потенциальной кривой на рис. 4.9 совпадает с параболой (она изображена пунктиром), поэтому при малых колебаниях молекулы ведут себя как идеальные, гармонические осцилляторы, и их нижние колебательные уровни должны быть эквидистантны, как показано ва рис. 4.10.

Наличие дискретных колебательных уровней приводит к появлению в молекулярных спектрах линий, связанных с переходами между этими уровнями в соответствии с правилом отбора (4.24), и поэтому весь колебательный спектр должен состоять из одной линии (см. рис. 4.10). Впрочем при этом наблюдается не чисто колебательный, а так называемый колебательно-вращательный спектр (см. § 5.3).
Puc. 4.10
Ангармоничность (отклонение от гармоничности), наступающая при увеличении интенсивности колебаний, приводит к тому, что с увеличением квантового числа $v$ энергетические уровни сгущаются, и в формулу (4.23) необходимо вводить поправку на ангармоничность.