8. Пусть мы имеем систему $S$, состоящую из некоторого конечного числа материальных точек $P_{i}$ с массами $m_{i}(i=1,2,3 \ldots)$, и рассматриваем силы веса $m_{i} g$, действующие на эти точки. Эти силы составляют систему параллельных и одинаково направленных векторов, которая имеет, как ұы знаем (гл. I, п. 56), внолне определенный центр $G$. Если мы выберем в качестве начала координат произвольную точку $O$ системы отсчета и обозначим через $m$ полную массу $\boldsymbol{\Sigma} m_{i}$ точек системы, то положение центра $G$ параллельных сил определится векторным уравнением
\[
\overrightarrow{O G}=\frac{\Sigma m_{i} \overrightarrow{O P}_{i}}{m}
\]

Точка $G$ называется центром тяжести системы. Она зависит исключительно от конфигурации системы и от масс отдельных ее точек, а потому называется также центром масс системы.

Относительно любой системы координат с началом в $O$ будем иметь
\[
x_{0}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{m}, \quad y_{0}=\frac{\boldsymbol{\Sigma} m_{i} y_{i}}{m}, \quad z_{0}=\frac{\boldsymbol{\Sigma} m_{i} z_{i}}{m},
\]

где:
$x_{i}, y_{i}, z_{i}$ – координаты точек $P_{i}$ системы;
$x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – координаты дентра тяжести $G$.
Отсюда видно, что если мы изменим массы всех точек системы в одном и том же отношении, то центр тяжести не изменится.
9. Из равенства (8) следует, что если все точки системы лежат в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то то же самое будет иметь место и для их центра тяжести.

Действительно, если в случае точек, дежащих в одной плоскости, мы возьмем начало координат $O$ в той же плоскости, то в ней же, очевидно, будут лежать и все векторы $\overrightarrow{O P}_{i}$, а, следовательно, в силу равенства (8) также и вєктор $\overrightarrow{O G}$, т. е. центр тяжести $G$. В случае прямой достаточно подобным же образом взять точку $O$ на прямой и применить формул! (8).
10. Статические моменты. Равенствам ( $8^{\prime}$ ) можно придать геометрическое истолкование, которое в векоторых приложениях имеет преимущество, так как оно не зависит от предварительного выбора системы координат.

Будем называть статическим моментом некоторой материальной точки с массой $m$ относительно какой-ниоудь плоскости $\pi$ произведение $m$ на расстояние точки от плоскости, со знаком плюс, если точка лежит в одном (произвольно выбранном) из двух полупространств, определяемых плоскость $\pi$, и со знаком минус, если точка лежит в другом полупространстве.

Совмещая с плоскостью $\pi$ одну из координатных плоскостей, например шлоскость $z=0$, из третьего из равенств ( $8^{\prime}$ ) выводим, что сумма статических моментов точек системы относительно любой плоскости $\pi$ равна статическому моменту всей массы системы, в предположении, что ьта маса сосредоточена в чентре тяжести.

Это и есть то геометрическое истолювание формул (8′), о котором говорилось выше; применяя его к трем координатным плоскостям, мы опять придем к фориулам (8′).

Для материальных точек, лежащих в одной и той же плоскости, мы будем иметь аналогичное предложение, если определим тем же способом статический момент материальной точки относительно прямой.
11. Из определения центра тяжести вытекают некоторые важные свойства его. Докажем прежде всего одно из них, которое справедливо для центра всякой системы параллельных приложенных векторов, направленных в одну и ту же сторону (ср. гл. I, п. 56):

Центр тяжести системы материальных точек лежит внутри всякой выпуклой поверхноети $о$, заключающей все точки систельы.

Достаточно показать, что относительно любой плоскости $\pi$, касательной в поверхности $\sigma$, центр тяжести $G$ лежит с той же стороны от плоскости $\pi$, с которой находится $\sigma$, так как тогда он должен лежать в области, огибаемой различными касательными плоскостями, т. е. как раз должен быть внутри $\sigma$.

Для этого, выбрав любую касательную плоскость $\pi$, примем ее за координатную плоскость $x y$ и направим ось $z$ в ту сторону, где дежит $\sigma$. Координаты $z$ отдельных точек $P_{i}$ будут тогда положительными, а следовательно, будет подожительной и координата $z=\sum_{i} m_{i} z_{i} / m$ центра тяжести.
Аналогичными рассуждениями можно догазать, что:
Центр тяжести системи материальных точек, лежащих в одной и той же плоскости, находится внутри выпиклой замкнутой линии, заключающей все точки системы.

Центр тяжести системы материальных точех, лежащих на одной и той же прямой, находится внутри отрезка, определяемого двумя крайними точками системы.
12. Распределительное свойстео центра тяжести. Если система $S$ материальных точек разделена на две части $S^{\prime}$ и $S^{\prime \prime}$ и $m^{\prime}, m^{\prime \prime}$ полные массы систем $S^{\prime}$ и $S^{\prime \prime}$, а $G^{\prime}, G^{\prime \prime}$ – их центры тяжести, то центр тяжести $G$ системы $S$ совпадает с центром тяжести масс $m^{\prime}$, $m^{\prime \prime}$, в предположении, что они сосредоточены соответственно в $G^{\prime}$ и $G^{\prime \prime}$.

Действительно, если через $P_{i}^{\prime}$ и $P_{j}^{\prime \prime}$ обозначим точки из $S^{\prime}$ и $S^{\prime \prime}$, через $m_{i}^{\prime}$ и $m_{j}^{\prime \prime}$ – их массы, то относительно любой точки $O$ будем иметь
\[
\overrightarrow{O G^{\prime}}=\frac{\sum m_{i} \overrightarrow{O P}_{i}^{\prime}}{m^{\prime}}, \quad \overrightarrow{O G}^{\prime \prime}=\frac{\sum m_{j}^{\prime \prime} O P_{j}^{\prime \prime}}{m^{\prime \prime}}
\]

в, стедовательно,
\[
m^{\prime} \overrightarrow{O G}^{\prime}+m^{\prime \prime} \overrightarrow{O G}^{\prime \prime}=\sum m_{i}^{\prime} \overrightarrow{O P}_{i}^{\prime}+\sum m_{j}^{\prime \prime} \overrightarrow{O P}_{j}^{\prime \prime} .
\]

Так как в суммы в правой части входят все точви данной системы, то заключаем на основании формулы (8), что
\[
m^{\prime} \overrightarrow{O G^{\prime}}+m^{\prime \prime} \overrightarrow{O G^{\prime \prime}}=m \overrightarrow{O G} ;
\]
т. е. центр тяжести $G$ системы совпадает с центром тяжести масс $m^{\prime}$, $m^{\prime \prime}$, помещенных соответственно в $G^{\prime}, G^{\prime \prime}$.

Теорема, очевидно, распространяется и на тот случай, когда система разделена более чем на две части.

13. ДиаметральныЕ плоскости и плоскости симметрии. Говорят, что система $S$ материальных точек обладает диаметральной плоскостью $\pi$, сопряженной с некоторым заданным направлением $r$ (не параллельным плоскости), когда всякой точке из $S$ соответствует другая с равной массой, расподоженная на прямой, параллельной $r$ и проходящей через первую, на том же самом расстоянии от плоскости $\pi$ и с противоположной стороны от нее.

Точки, которые таким образом соответствуют друг другу, называются сопряженными.

Дгаметральная плоскость $\pi$ ндзывается, в частности, плоскостью симметрии, вогда она перпендикулярна в сопряженному направлению $r$, так что сопряженные точки будут симметричными относительно плоскости $\pi$.

Так как дентром тяжести двух точек с равными массами явдяется их средняя точка, то всякая пара сопряженных точек имеет центр. тяжести на диаметральной плоскости $\pi$. Воображая систему $S$ разбитой на столько частей, сколько имеется пар сопряженных точек, и применяя распределительное свойство, выводим следующее заключение: если система обладает диаметральной плоскостью или, в частности, плоскостью симметрии, то уентр тяжести лежит 8 этой плоскости.

Отсюда следует, что:1) если имеются две диаметральные плоскости, то центр тяжести лежит на прямой их пересечения; 2) если система допускает больше чем две диаметральные плоскости, то эти плоскости имеют, по крайней мере, одну общую. точку, которая и является чентром тяжести системы.

В елучае системы, все точни которой расположены в одной и той же плоскости, можно, очевидно, рассматривать диаметральные прямые (сопряженные с заданныи направлением) или, в частности, оси симметрии; при этом будут справедливы выводы, аналогичные только что высказанным.
14. Теорема Лагранжа ${ }^{1}$ ). Будем называть полярнъм моментом инерции системы материальных точек относительно точки $P$ сумму произведений масс $m_{i}$ точек $P_{i}$ системы на квадраты их расстояний от $P$, т. е. число
\[
M_{P}=\sum_{i} m_{i} P P_{i}^{2} .
\]

Исходя из этого определения, докажем теорему: чентр тяжести люоой системь можно определить как такую точку пространства, для которой поляриый момент будет наименьиим.
1) Жозеф Луи Лагранж родилея в Турине в 1736 г., умер в Париже в 1813 г., широко известен как автор Аналитической механики. Он дал систематическое изложение аналитической механики, показав, как можно все частные теоремн о равновесии, как известные, так и доказанные им самим,

Действительно, принимая во внимание тождество
\[
P P_{i}^{2}=\overrightarrow{P P}_{i}^{2}, \quad \overrightarrow{P P}_{i}=\overrightarrow{P G}+\overrightarrow{G P}_{i}
\]

мы можем нащисать
\[
M_{P}=\Sigma m_{i} G P_{i}^{2}+P G^{2} \Sigma m_{i}+2 \overrightarrow{P G} \cdot \sum m_{i} \overrightarrow{G P}_{i} .
\]

Но в последнем члене правой чавти множитель
\[
\sum m_{i} \overrightarrow{G P}_{i}
\]

равен тождественно нулю, как это видно из равенства (8), если предположить, что начало координат $O$ совпадает с центром тяжести $G$; поэтому равенство (9), в котором первый член в правой части является не чем иным, каг полярным моментом $M_{G}$ системы относительно точки $G$, можно написать в виде
\[
M_{P}=M_{G}+m P G^{2} .
\]

Отсюда непосредственно следует, что центр тяжести $G$ есть точка, для которой полярный момент инерции достигает минимума; действительно, для всякой другой точки $P$ этот момент будет больше, чем $M_{G}$, на существенно цоложительную величину $m P G^{2}$, которая обращается в нуль только тогда, когда $P$ совщадает с $G$.