25. Мы будем рассматривать в этом параграфе голономную систему, состоящую из $N$ точек $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, имеющую $n$ степеней свободы. Относя ее к любой системе лагранжевых (независимых) координат $q_{h}(h=1,2, \ldots, n)$, будем иметь
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Так как всякее виртуальное перемещение
\[
\delta P_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta q_{h}
\]
(где $\delta q_{h}$-произвольные и независимые вариации) будет здесь обратимым (гл. VI, п. 14), то необходимые и достаточные условия, д.ля того чтобы система под действием данных сил $\boldsymbol{F}_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ была в равновесии, можно получить из общего уравнения статики
\[
\delta L=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}=0,
\]

которое, если примем во внимание уравнения (9), принимает вид
\[
\sum_{i=1}^{N} \sum_{h=1}^{n} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{h}} \delta q_{h}=0,
\]

или
\[
\sum_{h=1}^{n} Q_{h} \delta q_{h}=0
\]

если положим
\[
Q_{h}=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Уравнение (10′) должно иметь место при любом виртуальном перемещенни системы, т. е. при всяком возможном выборе произвольных вариаций $\delta q_{h}$ (в частности, когда все они принимаются равными нулю, за исключением одной); отсюда следует, что при равновесии должны одновременно удовлетворяться $n$ уравнений
\[
Q_{1}=0, \quad Q_{2}=0, \ldots, \quad Q_{n}=0 .
\]

Если, наоборот, эти уравнения удовлетворяютея, то будет удовлетворяться также и уравнение ( $\left.10^{\prime}\right)$, а следовательно, и уравнение (10) при каком угодно выборе $\delta q_{h}$, т. е. при всяком виртуальном перемещении системы; таким образом, равновесие будет обеспечено.

Следовательно, необходимые п достаточные условия для равновесия рассматриваемой голономной системы выражаются $n$ уравнениями (12).
26. Рассмотрим $n$ скалярных величин $Q_{h}$, определяемых равенствами (11). Из этих равенств следует прежде всего, что величины $Q_{h}$ будут равны нулю всякий раз, когда обращаются в нуль прямо приложенные силы $\boldsymbol{F}_{i}$; далее, когда голономная система сводится к $N$ свободным точкам $P_{i}$, так что за независимые координаты можно принять декартовы координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ этих точек, то $Q_{h}$ принимают вид
\[
\boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial x_{i}}, \quad \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial p_{i}}{\partial y_{i}}, \quad \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial z_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]
т. е. сводятся к проекциям $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ активных сил $\boldsymbol{F}_{i}$ на оси декартовых координат.

В виду этой аналогии (а также благодаря другим аналогиям между $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ и $Q_{h}$, которые мы сейчас укажем) величины $Q_{h}$ обыкновенно называют составляющими данной системь сил по лагранжевым поординатам $q_{h}{ }^{1}$ ).
27. Для того чтобы указать другие замечательные аналогии между лагранжевыми составляющими $Q_{h}$ системы сил и проекциями $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ сил на декартовы оси координат, выясним сначала, в каком смысле должны считаться заданными, с математической точки зрения, активные силы $\boldsymbol{F}_{i}$, действующие на систему.

В согласии с тем, что было сказано в случае одной свободной материальной точки (гл. VII, § 8), система сил $\boldsymbol{F}_{i}$ (где $\boldsymbol{F}_{i}$ есть результирующая сил, действующих на точку $P_{i}$ системы) в любой момент определяется в функции от конфигурации системы и от скоростей отдельных ее точек. Если мы примем во внимание равенства (8) и выражения, которые получаются из них для скоростей различных точек $P_{i}$
\[
\dot{P}_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \dot{q}_{h}+\frac{\partial P_{i}}{\partial t} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

то увидим, что система сил должна считаться известной, когда каждый из векторов $\boldsymbol{F}_{i}$ задан в функции от обобщенных координат $q_{h}$, от обобщенных скоростей $\dot{q}_{h}$ [которые называются скоростями системы по лагранжевым координатам $q_{h}$ (гл. VI, п. 10)] и, возможно, от времени.
1) Величины $Q_{h}$ называют также обобщенными силами, (Прим. ред.)

В частности, система сил называется чисто позиционной, если силы $\boldsymbol{F}_{i}$ зависят только от конфигурации системы, т. е. только от величин $q_{h}$. В этом случае, как это следует из равенств (11), также и лагранжевы составляющие $Q_{h}$ будут зависеть только от $q_{h}$; условия равновесия (12) дают тогда $n$ уравнений между $n$ координатами положения $q_{h}$, определяющими конфигурации равновесия системы, аналогично тому, как это имеет место в случае одной свободной точки, находящейся под действием позиционной силы, когда уравнөния равновесия получают, приравнивая нулю проекции активной силы на декартовы оси координат.
28. Следуя дальнейшим аналогиям между силами $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ и $Q_{h}$, укажем, что система сил $\boldsymbol{F}_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, приложенных к системе $N$ материальных точек, называется консервативной, если сумма работ сил $\boldsymbol{F}_{i}$ на любом перемещении $d P_{i}$ системы тождественна с полным дифференциалом какой-нибудь функции $U$ от $3 \mathrm{~N}$ декартовых координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ точек системы, т. е. когда имеем тождественно
\[
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot d P_{i}=d U
\]

Так как это уравнение можно написать явно в виде
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(X_{i} d x_{i}+Y_{i} d y_{i}+Z_{i} d z_{i}\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} d x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} d y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} d z_{i}\right),
\]

то заключаем, приравнивая коэффициенты при дифференциалах (произвольных и независимых) $d x_{i}, d y_{i}, d z_{i}$, что оно эквивалентно $3 N$ тождествам
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Функция $U$, определенная, по крайней мере, с точностью до аддитивной произвольной постоянной, называется, как и в случае только одной консервативной силы, потенциалом системы снл.

Далее, применяя тождество (13) к случаю виртуального перемещения, будем иметь
\[
\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}=\delta U
\]

или, привимая во внимание равенства (9) и (11),
\[
\sum_{h=1}^{N} Q_{h} \delta q_{h}=\delta U
\]

предполагая потенциал $U$ выраженным посредетвом равенств (8) в функции от лагранжевых координат $q_{h}$ и отождествляя коэффициенты при $\delta q_{h}$, получаем
\[
Q_{1}=\frac{\partial U}{\partial q_{1}}, \quad Q_{2}=\frac{\partial U}{\partial q_{2}}, \ldots, \quad Q_{n}=\frac{\partial U}{\partial q_{n}} .
\]

Поэтому мы можем сказать также, что и лагранжевы составляющие являются производными от потенциала.

Следует заметить, что предыдущее замечание необратимо, так как может случиться, что виртуальная работа на любом перемещении, совместимом со связями данной голононной системы,
\[
\sum_{h=1}^{n} Q_{h} \delta q_{h}
\]

тождественно равна полному дифференциалу, а виртуальная работа на совериенно произвольном перемечении
\[
\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta P_{i}
\]

может и не быть такою.
Всякий раз, как лагранжевы составляющие $Q_{h}$ имеют потенциал, из условий равновесия (12) и из тождеств (14) мы находим, что всякому мажсимуму или минимуму потенциала соответотвует конфигурация равновесия голономной системы.

Если, далее, мы распространим на равновесие голономных систем качественный критерий устойчизости, указанный в п. 18 гл. IX, то увидим, что также и для этих систем конфигурациями устойчивого равновесия являются те, которым соответствует максимальное значение потенииала. Мы вернемся к этому заключению в динамике, где дадим ему более строгое обоснование.
29. В п. 25 мы определили условия равновесия голономной системы, отнесенной к независимым лагранжевым кординатям. Можно спросить, как выражаютея эти условия в том случае, когда прибегают, как это в некоторых случаях оказывается удобным, к избыточным координатам. Ответ на этот вопрос будет вытекать из рассуждений, которые мы изложим в следующем параграфе.