19. Чтобы показать, как в некоторых случаях можно оценить количечтвенно устойчивость равновесия твердого тела, рассмотрим задачу, в которой встречаются одновременно связи обоих видов, изученные в предыдущих параграфах, т. е. тело имеет закрепленные точки и точки опоры. Именно, рассмотрим твердое тело $S$, имеющее закреплөнную ось $а$ и одну или больпе опор на плоскости $\pi$, проходящей через ось, и для определенности предположим, что плоскость $\pi$ (а следовательно, и ось а) горизонтальна и что твердое тело опирается на верхнюю сторону плосвости $\pi$, как это имеет место, например, у крышки на шарнирах, когда она опирается на стенки соответствующего ящика. Наконец, представим себе, что ось $a$ направлена в тј сторону, относктельно воторой вращение тела $S$, допускаемое плоскостью опоры, оказывается правым.

Заметим, далее, что если бы опора отсутствовала и, следовательно, речь шла просто о твердом теле с закрепленной осью, то необходимое и достаточное условие равновесия заключалось бы в равенстве нулю результирующего момента активных сил относительно оси (п. 8). Мы можем свести задачу как раз к этому случаю, рассматривая временно в качестве активных сил реакции $\boldsymbol{\Phi}$, происходящие от опор. Таким образом, обозначая через $M_{a}$ и $M_{a}^{\prime}$ результирующие моменты относительно оси $a$ активных сил и соответственно реакций опоры $\boldsymbol{\Phi}$, заключаем, что необходимое и достаточное условие для равновєсия нашего твердого тела имеет вид
\[
M_{a}+M_{a}^{\prime}=0 .
\]

Реакции опоры $\Phi$ являются неизвестными; следовательно, неизвестен и их результирующий момент $M_{a}^{\prime}$. Независимо от того, имеется или нет трение в опорах, известно, что всякая отдельная реакция $\Phi$, не равная нулю, направлена в ту сторону от плоскости $\pi$, в которую тело $S$ может вращаться, или, другими словами, всякая реакция стремится сообщить телу правое вращение относительно направленной оси $a$, так что несомненно будем иметь
\[
M_{a}^{\prime} \geqslant 0
\]

отсюда и из уравнения (6) следует, что для равновесия тела $S$ необходимо, чтобы активные силы удовлетворяли условию
\[
M_{a} \leqslant 0 .
\]
20. Докажем, что условие (7) оказывается также и достаточным для обеспечения равновесия. Для этой цели достаточно убедиться, что всякий раз как удовлетворяется неравенство (7), возможно определить каким-либо образом реакции Ф отдельных опор так, чтобы удовлетворить условию (6), достаточному для равновесия, а также, конечно, общим требованиям статики опертых твердых тел (п. 12).

Начиная со случая, когда вне оси $a$ имеется только одна точка опоры $P$ и опора абсолютно гладкая, легко увидим, что при выцолнении условия (7) единственная реакция $\boldsymbol{\Phi}$, способная обеспечить равновесие, будет однозначно определена. Действительно, реакция $\Phi$, как першендикулярная к плоскости $\pi$ и правая относительно направленной оси $a$, имеет по отношению к ней момент $h \Phi$, если через $h$ обозначим расстояние точки $P$ от оси; достаточно будет взять для $\Phi$ значение (положительное или нуль) $-M_{a} / h$ для того, чтобы было удовлетворено условие равновесия (6).

Если, далее, окажется, что в единственной опоре $P$ имеетел трение, то для равновесия достаточно будет, чтобы нормальная составляющая реакции имела только что определенное значение; момент касательной реакции относительно оси $a$ в любом случае равен нулю, поэтому касательная реакция будет оставаться неопределенной, однако при соблюдении условия, что полная реакция не выходит из внешней полости гонуса трения.

Наконец, если имеется несколько опор с трением или без него, то при наличии условия (7) всегда можно будет бесконечным множеством способов выбрать систему реакций, результирующий момент которых относительно осп был бы равен $M_{a}$. Достаточно, например, предположить все реакции равными нулю, за исключением одной, готорая определяется способом, указанным выше, в предположении, что имеется только одна опора. Равновесие оказывается поэтому действительно обеспеченным соотношением (7); во всех случаях, за исключениәм одного, рассмотренного выше (когда имеется только одна опора и притом абсолютно гладкая), мы встречаемся с неопределенностью реакций, которую нельзя устранить, если не обращаться к соображениям, выходящим за пределы статики твердых тел.
21. Из соотношения (7) следует, что равновеске твердого тела, имеющего закрепленную ось и опиающегося на плоскость, может быть нарушено только такими аєтивными силами, результирующий момент которых относительно этой оси (ориентированной так, как мы условились выше) положителен. Поэтому можно сказать, что заданное состояние равновесия будет тем далее от этого опасного случая, чем больше абсолютная величина $\left|M_{a}\right|$ момента (самого по себе отрицательного) активных сил; естественно поэтому принять число $\left|M_{a}\right|$ за меру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия. Число $\left|M_{a}\right|$ пределяет наибольшее значение, которого может достичь без нарушения равновөсия момент относительно оси случайных сил, т. е. сил, не причисляемых заранее к активным силам.

Это число $\left|M_{a}\right|$ называется моментом устойчивости равновесия твердого тела, имеющего эакрепленную ось и опирающегося на плоскость.
22. Рассждения предыдущего пункта можно распространить на случай твердого тела, опорный многоугольник которого (прямолинейный или криволинейный, но во всяком случае выпуклый) на плоскости $\pi$ окружен со всех сторон малыми выступами, так что тело не может скользить по плоскости, а может только поворачиваться вокруг любой из его сторон или вокруг любой из его касательных. Будем вообще обозначать через $a$ те прямые, вокруг которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса о том, будет ли тело в дейстнительности опрокидываться, если оно подвергается действию заданной системы активных сил, то здесь дело будет обстоять так же, как и в случае твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость (III. 19 -21). Поэтому, если представим себе все прямые $a$ направленными в ту сторону, по отношению к которой опрокидывание, возможное для твердого тела, окажетея правым, то для равновесия потребуется, чтобы результирующий момент активных сил относительно всякой отдельно взятой пэямой $a$ был отрицательным (или равным нулю). Вследетвие этого в статических условиях будет законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого состояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих результирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно различных прямых $a$.

В частности (если иметь в виду концретные задачи, которые находят здесь свое схематическое представление), оказывается интересным случай тяжелого твердого тела $S$, которое опирается на горизонтальную плоскость тат, что центр тяжести его проектируетея внутрь опорного многоугольника или на его контур. Шри этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного веса тела, действует горизонтальная сила, воторая стремится опрокинуть тело.

Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения отдельных прямых $a$, то вес тела $S$, приложенный в дентре тяжести, который, по предположению, проектируется внутрь или на контур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каждой из прямых а вес будет иметь отрицательный (или равный нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может быть положительным или отрицательным (или равным нулю), в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обозначим через $-B_{a}$ и $T_{a}$ моменты веса и горизонтальной силы относительно любой прямой $a$, то для равновесия твердого тела будет необходимо и достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось условие
\[
M_{a}=T_{a}-P_{a} \leqslant 0 .
\]

Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вертикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить словами так: линия действия равнодействующей веса и горизонтальной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольнипа.

тельных. Будем вообще обозначать через а те прямые, вокруг которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса 0 том, будет ли тело в действительности опрокидываться, если оно подвергается действию заданной системы активных сил, то здесь дело будет обстоять так же, как и в случае твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость (III. 19-21). Поэтому, если представим себе все прямые $a$ направленными в ту сторону, по отношению к которой опрољидывание, возможное для твердого тела, окажется правым, то для равновесия потребуетея, чтобы результирующий момент активных сил относительно всякой отдельно взятой прямой $a$ был отрицательным (или равным нулю). Вследствие этого в статических условиях будет законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого состояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих результирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно различных прямых $a$.

В частности (если иметь в виду конкретные задачи, которые находят здесь свое схематичестое представление), оказывается интересным случай тяжелого твердого тела $S$, которое опирается на горизонтальную плоскость так, что центр тяжести его цроектируетея внутрь опорного многоугольника или на его контур. При этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного веса тела, действует горизонтальная сила, которая стремится опрокинуть тело.

Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения отдельных прямых $a$, то вес тела $S$, приложенный в центре тяжести, который, по предположению, проектируется внутрь или на контур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каждой из прямых а вес будет иметь отридательный (или равный нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может быть положительным или отрицательным (или равным нулю), в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обоздачим через $-R_{a}$ и $T_{a}$ моменты веса и горизонтальной силы относительно любой прямой $a$, то для равновесия эвердого тела будет необходимо и достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось условие
\[
M_{a}=T_{a}-P_{a} \leqslant 0 .
\]

Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вертикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить словами так: линия действия равнодействующей веса и горизонтальной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольника.

Во втором случае, как бы ни двигалось тело около точки $O$, центр тяжести $G$ пөднимается, так как должен оставаться на одном и том же расстоянии от $O$ и, следовательно, двигаться іо сфере, самой низкой точкой которой является его исходное положение, находящееся под точкой $O$ на одной с ней вертикали. Отсюда следует, что при движении тела от любого положения до положения равновесия вес совершает положительную работу. Равновесие поэтому оказываетея устойчивым. Подобным же образом устанавливается, что в третьем случае мы имеем существенно неустойчивое равновесие.
Фиг. 37.
б) Однородная полуефера на горизонтальной, абсолютно гладкой плоскости. Предположим, что однородная тяжелая полусфера с центром в $O$ находится в равновесии, опираясь своим полюсом $P$ на горизонтальную плоскость в некоторой произвольной точке $Q$ этой плосқости (фиг. 38).

При этих условуях ось симметрии $P O$ полусферы будет вертикальна, и так как вследствие однородности твердого тела центр тяжести $G$ лежит на $P O$, то вес и реакция прямо противоположны друг другу. Јюбое перемещение полусферы, не нарушающее ее соприкосновения с плоскостью, можно получить, комбинируя перемещения двух следующих типов.
1. Заставить полусферу скользить по плоскости так, чтобы соприкосновение происходило постоянно в $P$ и, следовательно, ось $P O$ оставалась вертикальной.
2. Оставляя неизменной точку прикосновения $Q$ плоскости, наклонить ось РО полусферы, устанавливая соприкосновение с плоскостью в другой точке полусферы, отличной от $P$.
Ясно, что на всех этих перемещениях реакция плоскости опоры (всегда нормальная к ней) совершает работу, равную нулю, так что достаточно обратиться к весам. Работа веса в первом случае равна нулю. Во втором случае в конце перемещения центр тяжести $G$ будет находиться на некоторой высоте над плоскостью опоры, большей высоты $G P$, на которой он находился в состоянии равновесия. Действительно (см. фиг. 38, правую часть), проектируя $G$ на вертикаль $O Q$ в $G^{\prime}$, необходимо будем иметь $O G^{\prime}<O G$ и, следовательно,
\[
G^{\prime} Q=O Q-O G^{\prime}>O Q-O G,
\]

Из соотношения ( $7^{\prime}$ ), которое иожно написать в виде
\[
T_{a} \leqslant P_{a},
\]

мы замечаем, что в случае разновесия для всякой прямой $a$, относительно которой момент горнзонтальной силы $T_{a}$ будет положительным, отношение $P_{a} / T_{a}$ будет больше или, цо меньшей мере, равно единице; чем больпе это отнопение, тем лучше тело предохранено от опасности опрокидывания вокруг соответствующей прямой $a$. Поэтому в случае равновесия минимум положительных отношений $P_{a} / T_{a}$ называется коэффиииентом устойчивости.