5. Уравнения равновесия. Оставим теперь общие рассуждения и займемся сначала односвязными системами. Конфигурация равновесия, принимаемал каждой тапой стержневой системой под действием данной системы сил и представляющая собой ломаную линию, называется веревочным многоугольником (вследствие интересной интерпретации, которую мы укажем далее).

Для изучения веревочных многоугольников, возможных для данной стержневой системы, мы можем ограничиться на основании теоремы, доказанной в предыдущем пункте, рассмотрением сил, действующих исключительно на узлы.

Обозначив через $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ узлы системы (у которой, в силу предположения о простой связности, узел $P_{1}$ отличен от $P_{n}$ ), мы будем обозначать соответственно через $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$ приложенные к ним внешние силы. Что же касается (неизвестных) усилий, то совершенно бесполезно, гак мы сейчас увидим, сохранять двойное обозначение $\Psi$ и $\boldsymbol{\Phi}$ сил, относящихся к узлам и к стержням, применявшееся в предыдущих пунктах.

Действительно, если мы рассмотрим любой стержень $P_{i} P_{i+1}$ и условимся обозначать через $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ усилия, которые он испытывает соответственно в концах $P_{i}$ и $P_{i+1}$, то, рассматривая чисто узловую систему сил (п. 3 ), будем иметь
\[
\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=-\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i} .
\]

С другой стороны, на основании приндипа равенства действия и противодействия, узел $P_{i}$ вследствие соединения со стержнем $P_{i} P_{i+1}$ испытывает действие силы, прямо противоположной $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$, которая поэтому, на основании равенства (4), тождественна с $\mathbf{\Phi}_{i, i+1}$.

Прежде чем идти далее, остановимся еще на обозначениях, введенных нами для усилий. Во всяком символе $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ или $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$ оба индекса обозначают стержень, к которому отнесено усилие, идет ли речь об усилиях, испытываемых им самим, или о силах, с которыми он действует на узлы. Ести стержень рассматривается как воспринимающий усклие, то второй индекс, согласно принятому выше соглапению, абозначает тот конец стержня, к которому приложено усилие; если же, наоборот, мы будем рассматривать узел, например $P_{i}$, с которым соединены стержни $P_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} P_{i+1}$, то силами, действующими на $P_{i}$, соответственно будүт $\boldsymbol{\Phi}_{i, i-1}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$, так что узел, к которому приложена сила, определяется первъи индексом.

Важно еще заметить, что если усилие $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ (или $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$ ) является растягивающим, то порядок $i, i+1$ (или соответственно $i+1, i$ ) инденсов находится в согласии со стороной $P_{i} P_{i+1}$ (или $P_{i+1} P_{i}$ ), в которую действует усилие (на конец ли $P_{i+1}$ стержня $P_{i} P_{i+1}$ или на узел $P_{i}$ ).
Наконец полезно заметить, что в дальнейших статических исследованиях, для того чтобы привести вспомогательные величины к наименьшему числу, можно ограничиться, на основании равенства (4), введением лишь усилий типа $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$, так как другие усилия, в которых имеется обращение (инверсия) индексов, им равны и прямо противоположны.
Выразим теперь условия равновесия, которые, как мы видели в предыдущем пункте, будут исключительно типа \»б“ из п. 2. Так как на каждый промежуточный узел действуют три склы, а именно: сила $\boldsymbol{F}_{i}$ (фиг. 47) и силы:
\[
\Phi_{i, i-1}=-\Phi_{i-1, i} \text { п } \boldsymbol{\Phi}_{i, i+1},
\]

представляющи собой реакции стержней $P_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} P_{i+1}$, то мы будем иметь.
\[
\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=0 \quad(i=2,3, \ldots, n-1) .
\]

Наоборот, в каждом из концевых узлов $P_{1}$ и $P_{2}$ прямо приложенная сила должна быть уравновешена одной реакцией, и мы должны иметь
\[
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{\Phi}_{12}=0, \quad \boldsymbol{F}_{n}-\Phi_{n-1, n}=0 .
\]

Уравнения (5) и (6) в своей совокупности, как обеспечивающие равновесие отдельных твердых частей системы, и дают необходимые и достаточные условия для равновесия (односвязной) стержневой системы.

Уравнения (5) называются жеопределенными уравнениями (или условиями) равновесия, а уравнения (6), относящиеся к крайним узлам, — уравнениями (или условиями) на концах.

Если мы обратим внимание на то, что усилия $\Phi$ имеют линиями действия стороны веревочного многоугольника, то увидим, что для равновесия имеют значение соотношения между внешними силами, геометрическая конфигурация и величина усилий.

В большей части практических случаев усилия представляют собой неизвестные силы, которые требуется определить, предполагая, что веревочный многоугольник задан, или же неизвестна конфигурация равновесия, и нам нужно определить ее по данным задачи, исключая или, по крайней мере, принимая за вспомогательные непзвестные величины усплий.
6. Для того чтобы равновесие стержневой системы было возможно и в этом случае, как и во всяком другом, должны удовлетворяться основные уравнения, т. е. система приложенных векторов, представляющих собой внешние силы $\boldsymbol{F}_{i}$, должна быть эквивалентна нулю. Отсюда можно заранее заключить, что это последнее условие должно неявно содержаться в векторных уравнениях (5) и (6); это легко проверить и на самих этих уравнениях.

В самом деле, так как силы, входящие в уравнения (5) и (6), приложены $\boldsymbol{x}$ одной $u$ той же точке и потому результирующий момент их относительно общей точки приложения равен нулю, то каждое из этих уравнений можно истольовать не только как соотношение эквиполлентности, но и как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов (гл. I, I. 38). То же свойство будет выражать и уравнение, которое получится, если почленно сложить уравнения (5) п (6); вынолняя сложение и принимая во внимание равенства (4), получим уравнение
\[
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\ldots+\boldsymbol{F}_{n}=0,
\]

которое выражает, что система приложенных векторов $\boldsymbol{F}_{i}$ эквивалентна нулю.

Эта эквивалентность является, таким образом, следствием векторных уравнений (5) и (6); однако, поскольку эти уравнения не только необходимы, но также и достаточны для равновесия стержневой системы, они в общем случае неявно содержат дальнейшие условия.

Эти условия выражаются теоремой, которую мы докажем в следующем пункте и которая дает для условий равновесия односвязной стержневой системы механически выразительную и удобную для некоторых приложений форму,

7. Для того чтобы односвязная стержневая система, находящаяся под действием данной системь внешних сил, была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобъ система внешних сил бъла эквивалентна нулю ч чтобы, кроме того, результирующий момент, относительно каждого отдельно взятого узла, внешних сил, приложенных к предыдущим (или последующим) узлам, был равен нулю.

Чтобы доказать, что высказанные условия необходимы для равновесия, припомним прежде всего, что при равновесии [т. е. когда выполняются уравнения (5) и (6)] система внешних сил $\boldsymbol{F}_{i}$ векторно эквивалентна нулю. Кроме того, если сложим почленно первое из уравнений (6) п перєые $i-1$ из уравнений (5), рассматривая их как соотношения эквивалентности между системами приложенных векторов, то получим, принимая во внимание равенства (4), соотношение
\[
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\ldots+\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=0,
\]

которое выражает, что система внешних сил $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ векторно эквивалентна единственному усилио — $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$, имеющему линией действия отрезок $P_{i} \dot{P}_{i+1}$, и поэтому результирующий момент этой системы относительно каждого из узлов $P_{i}$, $P_{i+1}$ равен нулю.

Наоборот, если предположим условия теоремы выполненными, то прежде всего будем иметь соотношение эквивалентности
\[
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\ldots+\boldsymbol{F}_{n}=0 ;
\]

кроме того, так как результирующий момент системы внещних сил $\boldsymbol{F}_{1}, \boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{i}($ при $i=1,2, \ldots, n-1)$ относительно узла $P_{i}$ равен нулю, то эта система экзивалентна (гл. I, II. 39) одному вектору, приложенному в $P_{i}$, который мы можем обозначить через $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}=-\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$, так что будуг справедливы уравнения (7) при $i=1,2, \ldots, n-1$, причем все они будут представлять собой соотношения эквивалентности. Вычитал цочленно из равенства (8) равенство (7) при $i=n-1$, а из каждого из равенств (7) равенство с индексом нешосредственно низшим, мы последовательно получим равенства:
\[
\boldsymbol{F}_{n}-\boldsymbol{\Phi}_{n-1, n}=0, \boldsymbol{F}_{i}-\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=0 \cdot(i=1,2, \ldots, n-1),
\]

которые, будучи присоединены к последнему из равенств (7), т. е. к равенству
\[
\boldsymbol{F}_{1}+\Phi_{12}=0,
\]

будут иметь в точности вид уравнений равновесия (неопределенных и на пределах) стержневой системы (п. 5). Докажем теперь, что равновесие существует при условии, что приложенные векторы $\Phi_{i, i+1}$, которые мы формально определили посредством уравнений (7), имеют характер усилий, т. е. каждый из них имеет линией действия прямую $P_{i} P_{i+1}$.
Для этой цели рассмотрим соэтношения эквивалентности
\[
\boldsymbol{F}_{i}-\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=0
\]

или, в другом виде,
\[
\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i},
\]

и вспомним, что два приложенных вектора $\boldsymbol{F}_{i}$ и $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ имеют оба началом точку $P_{i}$ (первый по определению, второй по предположению), так что по отношению к этому узлу их результирующий момент равен нулю. Поэтому бтдет равен нулю также и момент относительно $P_{i}$ вектора $\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i}$, эквивалентного им, а так как этот вектор, по определению, приложен в $P_{i-1}$, то он имеет линией действия прямую $P_{i-1} P_{i}$.
8. Силовой многоугольник, или многоугольник Вариньона. Условие (пеобходимое для равновесия односвязной стержневой системы $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ ), заключающееся в том, что результирующая внешних сил $\boldsymbol{F}_{i}$ должна быть равна нулю, геометрически выражается тем, что векторный многојгольник, построенный для сил $\boldsymbol{F}_{1}$, $\boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$, должен быть замкнтым. Другими словами, если, задав точкт $Q_{1}$, определить $n-1$ точек $Q_{2}, Q_{3}, \ldots, Q_{n}$ последовательно равенствами
\[
Q_{2}-Q_{1}=\boldsymbol{F}_{1}, \quad Q_{3}-Q_{2}=\boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \quad Q_{n}-Q_{n-1}=\boldsymbol{F}_{n-1},
\]

или, в другом виде,
\[
{\overrightarrow{Q_{1}}}_{2}=\boldsymbol{F}_{1}, \quad{\overrightarrow{Q_{2}}}_{3}=\boldsymbol{F}_{2}, \ldots, \quad \overrightarrow{Q_{n-1}} Q_{n}=\boldsymbol{F}_{n-1},
\]

то будем иметь
\[
Q_{1}-Q_{n}=\boldsymbol{F}_{n},
\]

или, что одно и то же,
\[
\overrightarrow{Q_{n} Q_{1}}=\boldsymbol{F}_{n} .
\]

Многоугольник (замкнутыӥ) $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$, который таким образом надо присоединить к веревочному многоугольнику $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$, называется силовым многоугольником или многоугольником Вариньона. Он обладает одним характеэным свойством, которое мы здесь установим и которое позволит свести к простым геометрическим построениям решение задач о равновесии односвязных стержневых систем.
9. $B$ силовом многоугольнике $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$ (фпг. 48), присоединенном $n$ веревочному многоугольнику $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$, сторонъ $u$ диагонали $Q_{2} Q_{1}, Q_{3} Q_{1}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$, направленные в сторону $Q_{1}$,
будут соответственно әквиполлентны усилиям $\boldsymbol{\Phi}_{1,2}, \boldsymbol{\Phi}_{2,3}, \ldots$, $\mathbf{\Phi}_{n-1, n}$. эквиполлентен вектору — $\boldsymbol{F}_{1}$ и что вследствие первого из равенств (6) этот вектор эквиполлентен $\boldsymbol{\Phi}_{1 \cdot 2}$. $i=2$, т. е. равенство
\[
\boldsymbol{F}_{\mathbf{2}}-\boldsymbol{\Phi}_{1,2}+\boldsymbol{\Phi}_{3,3}=0 .
\]

Принимая во внимание только что полученный результат и можно написать предыдущее равенство в виде
или
откуда заключаем, что вектор $\overrightarrow{Q_{3} Q_{1}}$ эквиполлентен вектору $\boldsymbol{\Phi}_{2,3}$.
Таким образом будем продолжать до тех пор, пока не дойдем до вектора $\overrightarrow{Q_{n} Q_{1}}$, который, будучи эквиполлентен силе $\boldsymbol{F}_{n}$, будет также эквиполлентен, вследствие второго из равенств (6), усилию $\boldsymbol{\Phi}_{n-1, n}$.
$n-1, n \cdot$ Наоборот, если для какого-нибудь многоугольника $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ можно построить такой замкнутый многоугольник $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$, что сторонь и диагонали $Q_{2} Q_{1}, Q_{3} Q_{1}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$, сходящиеся в $Q_{1}$, будут соответственно параллельны прямым $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots$, $P_{n-1} P_{n}$, то многоугольник $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ будет представлять собой веревочный многоугольник, для поторого $Q_{1} Q_{2} \ldots Q_{n}$ является силовым многоугольником.

Действительно, если представим себе, что на стержневую систему $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ в узлах $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ действуют силы, эквинол$\boldsymbol{\Phi}_{3,3}, \ldots, \boldsymbol{\Phi}_{n-1, n}$ соответственно приниматея векторы $\overrightarrow{Q_{2} Q_{1}}$, $\overrightarrow{Q_{3} Q_{1}}, \ldots, \overrightarrow{Q_{n} Q_{1}}$, то, на основании сделанных допущений о двух
многоугольниках, будут непосредственно выполняться условия (5) и (6), необходимые и достаточные для равновесия стержневой системы.
10. Доказанное таким образом характеристическое свойство силового многоугольника позволяет, как мы об этом уже говорили, решать посредством геометрических построений задачи, относящиеся к равновесию односвязных стержневых систем.

Для того чтобы дать типичный пример приложения этого метода, рассмотрим стержневую систему $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$, прикрепленную на конце $P_{1}$ к неподвижному парниру и имеющую свободными другой конец и промежуточные узлы (за исключением лишь связей, происходящих от соединения их со стержнями). Представим себе, что к $n-1$ узлам $P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n}$ приложены заданные силы $\boldsymbol{F}_{2}$, $\boldsymbol{F}_{3}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$, и определим веревочный многоугольник (или конфигурацию равновесия системы) и реакцию в неподвижном конце $P_{1}$.

Прежде всего силовой многоугольник можно построить непосредственно, откладывая один за другим, начиная от произвольной точки $Q_{2}$, приложенные векторы $\overrightarrow{Q_{2} Q_{3}}, \overrightarrow{Q_{3} Q_{4}}, \ldots, \overrightarrow{Q_{n} Q_{1}}$, соответственно эквиполлентные векторам $\boldsymbol{F}_{2}, \boldsymbol{F}_{3}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n}$; после этого замыкающий вектор ${\overrightarrow{Q_{1}}}_{2}$ представит по величине, даправлению и стороне реакцию $\boldsymbol{F}_{1}$ в неподвижной точке.

Что же касается веревочного многоугольника, то вспомним, что его стороны должны быть параллельны соответственно отрезкам $Q_{2} Q_{1}, Q_{3} Q_{1}, \ldots, Q_{n} Q_{1}$. Поэтому, начиная с закрепленной точки $P_{1}$, мы должны направить первый стержень $P_{1} P_{2}$ параллельно $Q_{1} Q_{2}$ в ту или другую из двух возможных сторон; эта неопределенность в выборе стороны будет сохраняться до тех пор, пока мы не будем знать заранее, должно ли быть усилие $\boldsymbol{\Phi}_{1,2}$ растягивающим или сжимающим. Определив $P_{2}$, мы получим положение точки $P_{3}$, направив стержень $P_{2} P_{3}$ параллельно $Q_{3} Q_{1}$ (в ту или другую сторону в согласии с только что сказанным о характере усилия $\Phi_{1,2}$ ); так нужно поступать до тех пор, пока, направив стержень $P_{n-1} P_{n}$ параллельно $Q_{n} Q_{1}$ (в ту же самую сторону или в противоположную), мы не получим положение равновесия свободного конца $P_{n}$.
11. Параллельныв силы. Менее просто, чем в предыдущем случае, выполняөтся геометрическоз построение веревочного многоугольника, когда стержневая система прикреплена (посредством шарниров) к неподвижным точкам на обоих концах $P_{1}, P_{n}$ п задаются силы, приложенные в $n-2$ промежуточных узлах. Здесь мы ограничимся рассмотрением этой задачи в том случае, когда $n-2$ силы $\boldsymbol{F}_{2}, \boldsymbol{F}_{3}, \ldots, \boldsymbol{F}_{n-1}$ параллельны и направлены в одну и ту же сторону (фиг. 49); заметим, что это частное предположение заслуживает рассмотрения потому, что оно осуществляется в случае,
когда внешние силы, действующне на систему, представляют собой силы тяжести.

Прежде всего легко убедиться, что, независимо от того, закреплены концы или нет, в том случае, когда в системе сил, приложенных х узлам и способных поддерживать равновесие, сили, прямо приложенные к промежуточным узлам, параллельны (и направлены в какую угодно сторону), силовой многоугольник будет плоским.
В самом деле, в этом случае стороны $Q_{2} Q_{3}, Q_{3} Q_{4}, \ldots$, $Q_{n-1} Q_{n}$ силового многоугольника будут лежать на одной прямой, так что, каково бы ни было положение оставшейся вершины $Q_{1}$, приложенные векторы $\overrightarrow{Q_{2} Q_{1}}, \overrightarrow{Q_{3} Q_{1}}, \ldots, \overrightarrow{Q_{n} Q_{1}}$, представляющие собой усилия, бұдут компланарны, а поэтому такими же будут и стороны $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1} P_{n}$ веревочного многоугольника, поскольку они должны быть параллельны усилиям.
12. Предноложим тешерь опят, что оба конца $P_{1}, P_{n}$ стержневой системы закреплены, и, рассматривая $n-2$ параллельные силы как веса, обозначим величины их через $p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{n-1}$.

Для того чтобы определить скловой многоугольник, будем идти аналитическим путем. Возьмем в вертикальной плоскости, прохоцящей через точки $P_{1}$ и $P_{n}$, в которой должен лежать веревочный многоугольник (см. предыдущий пунгт), дегартову систему осей $O x y$ с осью $y$, направленной вверх, и обозначим через $x_{1}, y_{1}$ и $x_{n}, y_{n}$ координаты точек $P_{1}, P_{n}$, а через $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n-1}$ — длины стержней $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1}, P_{n}$.

За главные неизвестные задачи примем углы $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}$, которые эти стержни (каждый из них направлен в сторону обхода веревочного многоугольника от $P_{1}$ к $P_{n}$ ) образуют с направлением оси $x$; заметим при этом, что для определения их мы должны воспользоваться уравнениями равновесия (5) и (6). Обратим внимание только на неопределенные уравнения
\[
\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{\Phi}_{i-1, i}+\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=0 \quad(i=2,3, \ldots, n-1),
\]

так как уравнения (6) служат лишь для определения двух последних неизвестных (сил $\boldsymbol{F}_{1}$ и $\boldsymbol{F}_{r}$, приложенных к закрепленным узлам $P_{1}$ и $P_{n}$ ) и не влияют на форму многоугольника.

Далее, уравнения (5) (представляющие собой $n-2$ векторных уравнений в плоскости) нереходят в $2(n-2)$ скалярных уравнений между горизонтальными и вертикальными проекциями. Так как горизонтальные проекции си. $\Phi_{i}$ равны нулю, то, проектируя уравнения (5) на ось $x$, мы увндим, что усилия $\boldsymbol{\Phi}_{1,2}, \boldsymbol{\Phi}_{2,3}, \ldots$, $\boldsymbol{\Phi}_{n-1, n}$ все имеют одинаковые горизонтальные проекции.

Здесь мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда эти проекции, общую величину котсрых мы обозначим через $\varphi$, отличны от нуля. Действительно, если какое-нибудь из усилий обращается в нуль, то можно представить себе, что связность в соответствующем узле устранена без нарушения равновесия, и тогда задача оказывается сведенной к двум различным задачам, относящимся к многоугольникам с меньшим числом стержней. Исключив этот случай, никакое усилие уже нельзя считать равным нулю; и тогда предположение $\varphi=0$ будет означать, что усилия, а вместе с ними и стороны веревочного многоугольника, все будут вертикальными. Если мы оставим в стороне не представляющий интереса случай, когда $P_{1}$ и $P_{n}$ находятся на одной п той же вертикали, то упомянутая только что возможность исключается, поэтому следует считать, что $\varphi
eq 0$.

Теперь, принимая $\varphi$ за вспомогательную неизвестную, мы в состоянии выразить через $\varphi$ и через гивные неизвестные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}$ вертикальные составляющие усилий. Достаточно заметить, что если они имеют линиями действия $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1} P_{n}$, то отношения (конечные в силу предподожения, что $\varphi
eq 0$ ) между величинами вертикальных и горизонтальных составляющих выражаютея (каково бы ни было направление отдельных усилий) тангенсами углов наклона $\alpha_{1} ; \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}$, так что величины вертикальных составляющих соответственно будут иметь значения
\[
\varphi \operatorname{tg} \alpha_{1}, \quad \varphi \operatorname{tg} \alpha_{2}, \ldots, \quad \varphi \operatorname{tg} \alpha_{n-1} .
\]

Проектируя векторные уравнения (5) на ось $y$ (вертикальную и направленную вверх), мы получим уравнения
\[
p_{i}+\varphi \operatorname{tg} \alpha_{i-1}=\varphi \operatorname{tg} \alpha_{i} \quad(i=2,3, \ldots, n-1),
\]

к которым необходимо присоединить уравнения, связывающие $x_{n}$, $y_{n}$ с $x_{1}, y_{1}, l$ и $\alpha$. Эти два уравнения можно получить, спроектировав веревочный многоугольник $P_{1} P_{2} \ldots P_{n-1} P_{n}$ на две оси координат и выразив, что эти проекции являются не чем иным, как $x_{n}-x_{1}, y_{n}-y_{1}$.
Таким образом, мы получим
\[
\begin{array}{l}
x_{n}=x_{1}+\sum_{i=1}^{n-1} l_{i} \cos \alpha_{i}, \\
y_{n}=y_{1}+\sum_{i=1}^{n-1} l_{i} \sin \alpha_{i} .
\end{array}
\]

Уравнения (10), (11) в совокупности составляют $n$ уравнений между таким же числом неизвестных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n-1}$, 甲. Для решения их удобно положить
\[
\operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{\Psi}{\varphi},
\]

что, конечно, возможно, так как, на основании сделанного выше замечания, $\varphi$ можно предполагать не равным нулю. Суммируя уравнения (10) от $i=2$ до любого $i$ и согращая в полученном уравнении члены $\varphi \operatorname{tg} \alpha_{2}, \varphi \operatorname{tg} \alpha_{3}, \ldots, \varphi \operatorname{tg} \alpha_{i-1}$, общие обеим частям уравнения, будем иметь
\[
\operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{\psi+\sum_{j=2}^{i} p_{j}}{\varphi} \quad(i=2, \ldots, n-1) .
\]

Уравнения ( $\left.10^{\prime}\right)$ вместе с равенством $\operatorname{tg} \alpha_{1}=\psi / \varphi$ выражают тангенс любого угла $\alpha_{i}$ через $\psi$ и. Если определим из этих уравнений обычным способом $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ и внесем их значения в уравнения (11), то получим два уравнения между $\varphi$ п $山$, пригодных для определения этих велнин. Слегует, однако, предупредить, что действительное определение $\varphi$ и $े$ в общем случае будет очень сложным: для $n=3$ положение точки $P_{2}$ определяется непосредственно, если будут заданы длины $P_{1} P_{2}, P_{3} P_{2}$; но уже при довольно высокую степень.