5. Уравнения равновесия. Оставим теперь общие рассуждения и займемся сначала односвязными системами. Конфигурация равновесия, принимаемал каждой тапой стержневой системой под действием данной системы сил и представляющая собой ломаную линию, называется веревочным многоугольником (вследствие интересной интерпретации, которую мы укажем далее).

Для изучения веревочных многоугольников, возможных для данной стержневой системы, мы можем ограничиться на основании теоремы, доказанной в предыдущем пункте, рассмотрением сил, действующих исключительно на узлы.

Обозначив через $P_1,P_2,\dots ,P_n$ узлы системы (у которой, в силу предположения о простой связности, узел $P_1$ отличен от $P_n$ ), мы будем обозначать соответственно через ${\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_n$ приложенные к ним внешние силы. Что же касается (неизвестных) усилий, то совершенно бесполезно, гак мы сейчас увидим, сохранять двойное обозначение $\mathrm{\Psi }$ и $\mathbf{\Phi }$ сил, относящихся к узлам и к стержням, применявшееся в предыдущих пунктах.

Действительно, если мы рассмотрим любой стержень $P_i{P}_{i+1}$ и условимся обозначать через ${\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}$ и ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$ усилия, которые он испытывает соответственно в концах $P_i$ и $P_{i+1}$, то, рассматривая чисто узловую систему сил (п. 3 ), будем иметь
$${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=-{\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}.$$

С другой стороны, на основании приндипа равенства действия и противодействия, узел $P_i$ вследствие соединения со стержнем $P_i{P}_{i+1}$ испытывает действие силы, прямо противоположной ${\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}$, которая поэтому, на основании равенства (4), тождественна с ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$.

Прежде чем идти далее, остановимся еще на обозначениях, введенных нами для усилий. Во всяком символе ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$ или ${\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}$ оба индекса обозначают стержень, к которому отнесено усилие, идет ли речь об усилиях, испытываемых им самим, или о силах, с которыми он действует на узлы. Ести стержень рассматривается как воспринимающий усклие, то второй индекс, согласно принятому выше соглапению, абозначает тот конец стержня, к которому приложено усилие; если же, наоборот, мы будем рассматривать узел, например $P_i$, с которым соединены стержни $P_{i-1}{P}_i$ и $P_i{P}_{i+1}$, то силами, действующими на $P_i$, соответственно будүт ${\mathbf{\Phi }}_{i,i-1}$ и ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$, так что узел, к которому приложена сила, определяется первъи индексом.

Важно еще заметить, что если усилие ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$ (или ${\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}$ ) является растягивающим, то порядок $i,i+1$ (или соответственно $i+1,i$ ) инденсов находится в согласии со стороной $P_i{P}_{i+1}$ (или $P_{i+1}{P}_i$ ), в которую действует усилие (на конец ли $P_{i+1}$ стержня $P_i{P}_{i+1}$ или на узел $P_i$ ).
Наконец полезно заметить, что в дальнейших статических исследованиях, для того чтобы привести вспомогательные величины к наименьшему числу, можно ограничиться, на основании равенства (4), введением лишь усилий типа ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$, так как другие усилия, в которых имеется обращение (инверсия) индексов, им равны и прямо противоположны.
Выразим теперь условия равновесия, которые, как мы видели в предыдущем пункте, будут исключительно типа \»б“ из п. 2. Так как на каждый промежуточный узел действуют три склы, а именно: сила ${\mathit{F}}_i$ (фиг. 47) и силы:
$${\mathrm{\Phi }}_{i,i-1}=-{\mathrm{\Phi }}_{i-1,i}\text{ п }{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1},$$

представляющи собой реакции стержней $P_{i-1}{P}_i$ и $P_i{P}_{i+1}$, то мы будем иметь.
$${\mathit{F}}_{\mathit{i}}-{\mathbf{\Phi }}_{i-1,i}+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=0(i=2,3,\dots ,n-1).$$

Наоборот, в каждом из концевых узлов $P_1$ и $P_2$ прямо приложенная сила должна быть уравновешена одной реакцией, и мы должны иметь
$${\mathit{F}}_1+{\mathbf{\Phi }}_{12}=0,{\mathit{F}}_n-{\mathrm{\Phi }}_{n-1,n}=0.$$

Уравнения (5) и (6) в своей совокупности, как обеспечивающие равновесие отдельных твердых частей системы, и дают необходимые и достаточные условия для равновесия (односвязной) стержневой системы.

Уравнения (5) называются жеопределенными уравнениями (или условиями) равновесия, а уравнения (6), относящиеся к крайним узлам, — уравнениями (или условиями) на концах.

Если мы обратим внимание на то, что усилия $\mathrm{\Phi }$ имеют линиями действия стороны веревочного многоугольника, то увидим, что для равновесия имеют значение соотношения между внешними силами, геометрическая конфигурация и величина усилий.

В большей части практических случаев усилия представляют собой неизвестные силы, которые требуется определить, предполагая, что веревочный многоугольник задан, или же неизвестна конфигурация равновесия, и нам нужно определить ее по данным задачи, исключая или, по крайней мере, принимая за вспомогательные непзвестные величины усплий.
6. Для того чтобы равновесие стержневой системы было возможно и в этом случае, как и во всяком другом, должны удовлетворяться основные уравнения, т. е. система приложенных векторов, представляющих собой внешние силы ${\mathit{F}}_i$, должна быть эквивалентна нулю. Отсюда можно заранее заключить, что это последнее условие должно неявно содержаться в векторных уравнениях (5) и (6); это легко проверить и на самих этих уравнениях.

В самом деле, так как силы, входящие в уравнения (5) и (6), приложены $\mathit{x}$ одной $u$ той же точке и потому результирующий момент их относительно общей точки приложения равен нулю, то каждое из этих уравнений можно истольовать не только как соотношение эквиполлентности, но и как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов (гл. I, I. 38). То же свойство будет выражать и уравнение, которое получится, если почленно сложить уравнения (5) п (6); вынолняя сложение и принимая во внимание равенства (4), получим уравнение
$${\mathit{F}}_1+{\mathit{F}}_2+\dots +{\mathit{F}}_n=0,$$

которое выражает, что система приложенных векторов ${\mathit{F}}_i$ эквивалентна нулю.

Эта эквивалентность является, таким образом, следствием векторных уравнений (5) и (6); однако, поскольку эти уравнения не только необходимы, но также и достаточны для равновесия стержневой системы, они в общем случае неявно содержат дальнейшие условия.

Эти условия выражаются теоремой, которую мы докажем в следующем пункте и которая дает для условий равновесия односвязной стержневой системы механически выразительную и удобную для некоторых приложений форму,

7. Для того чтобы односвязная стержневая система, находящаяся под действием данной системь внешних сил, была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобъ система внешних сил бъла эквивалентна нулю ч чтобы, кроме того, результирующий момент, относительно каждого отдельно взятого узла, внешних сил, приложенных к предыдущим (или последующим) узлам, был равен нулю.

Чтобы доказать, что высказанные условия необходимы для равновесия, припомним прежде всего, что при равновесии [т. е. когда выполняются уравнения (5) и (6)] система внешних сил ${\mathit{F}}_i$ векторно эквивалентна нулю. Кроме того, если сложим почленно первое из уравнений (6) п перєые $i-1$ из уравнений (5), рассматривая их как соотношения эквивалентности между системами приложенных векторов, то получим, принимая во внимание равенства (4), соотношение
$${\mathit{F}}_1+{\mathit{F}}_2+\dots +{\mathit{F}}_{\mathit{i}}+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=0,$$

которое выражает, что система внешних сил ${\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_{\mathit{i}}$ векторно эквивалентна единственному усилио — ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}={\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}$, имеющему линией действия отрезок $P_i{\dot{P}}_{i+1}$, и поэтому результирующий момент этой системы относительно каждого из узлов $P_i$, $P_{i+1}$ равен нулю.

Наоборот, если предположим условия теоремы выполненными, то прежде всего будем иметь соотношение эквивалентности
$${\mathit{F}}_1+{\mathit{F}}_2+\dots +{\mathit{F}}_n=0;$$

кроме того, так как результирующий момент системы внещних сил ${\mathit{F}}_1,{\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_i($ при $i=1,2,\dots ,n-1)$ относительно узла $P_i$ равен нулю, то эта система экзивалентна (гл. I, II. 39) одному вектору, приложенному в $P_i$, который мы можем обозначить через ${\mathbf{\Phi }}_{i+1,i}=-{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$, так что будуг справедливы уравнения (7) при $i=1,2,\dots ,n-1$, причем все они будут представлять собой соотношения эквивалентности. Вычитал цочленно из равенства (8) равенство (7) при $i=n-1$, а из каждого из равенств (7) равенство с индексом нешосредственно низшим, мы последовательно получим равенства:
$${\mathit{F}}_n-{\mathbf{\Phi }}_{n-1,n}=0,{\mathit{F}}_i-{\mathbf{\Phi }}_{i-1,i}+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=0\cdot (i=1,2,\dots ,n-1),$$

которые, будучи присоединены к последнему из равенств (7), т. е. к равенству
$${\mathit{F}}_1+{\mathrm{\Phi }}_{12}=0,$$

будут иметь в точности вид уравнений равновесия (неопределенных и на пределах) стержневой системы (п. 5). Докажем теперь, что равновесие существует при условии, что приложенные векторы ${\mathrm{\Phi }}_{i,i+1}$, которые мы формально определили посредством уравнений (7), имеют характер усилий, т. е. каждый из них имеет линией действия прямую $P_i{P}_{i+1}$.
Для этой цели рассмотрим соэтношения эквивалентности
$${\mathit{F}}_i-{\mathbf{\Phi }}_{i-1,i}+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=0$$

или, в другом виде,
$${\mathit{F}}_i+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}={\mathbf{\Phi }}_{i-1,i},$$

и вспомним, что два приложенных вектора ${\mathit{F}}_i$ и ${\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}$ имеют оба началом точку $P_i$ (первый по определению, второй по предположению), так что по отношению к этому узлу их результирующий момент равен нулю. Поэтому бтдет равен нулю также и момент относительно $P_i$ вектора ${\mathbf{\Phi }}_{i-1,i}$, эквивалентного им, а так как этот вектор, по определению, приложен в $P_{i-1}$, то он имеет линией действия прямую $P_{i-1}{P}_i$.
8. Силовой многоугольник, или многоугольник Вариньона. Условие (пеобходимое для равновесия односвязной стержневой системы $P_1{P}_2\dots P_n$ ), заключающееся в том, что результирующая внешних сил ${\mathit{F}}_i$ должна быть равна нулю, геометрически выражается тем, что векторный многојгольник, построенный для сил ${\mathit{F}}_1$, ${\mathit{F}}_2,\dots ,{\mathit{F}}_n$, должен быть замкнтым. Другими словами, если, задав точкт $Q_1$, определить $n-1$ точек $Q_2,Q_3,\dots ,Q_n$ последовательно равенствами
$$Q_2-Q_1={\mathit{F}}_1,Q_3-Q_2={\mathit{F}}_2,\dots ,Q_n-Q_{n-1}={\mathit{F}}_{n-1},$$

или, в другом виде,
$${\overrightarrow{Q_1}}_2={\mathit{F}}_1,{\overrightarrow{Q_2}}_3={\mathit{F}}_2,\dots ,\overrightarrow{Q_{n-1}}{Q}_n={\mathit{F}}_{n-1},$$

то будем иметь
$$Q_1-Q_n={\mathit{F}}_n,$$

или, что одно и то же,
$$\overrightarrow{Q_n{Q}_1}={\mathit{F}}_n.$$

Многоугольник (замкнутыӥ) $Q_1{Q}_2\dots Q_n$, который таким образом надо присоединить к веревочному многоугольнику $P_1{P}_2\dots P_n$, называется силовым многоугольником или многоугольником Вариньона. Он обладает одним характеэным свойством, которое мы здесь установим и которое позволит свести к простым геометрическим построениям решение задач о равновесии односвязных стержневых систем.
9. $B$ силовом многоугольнике $Q_1{Q}_2\dots Q_n$ (фпг. 48), присоединенном $n$ веревочному многоугольнику $P_1{P}_2\dots P_n$, сторонъ $u$ диагонали $Q_2{Q}_1,Q_3{Q}_1,\dots ,Q_n{Q}_1$, направленные в сторону $Q_1$,
будут соответственно әквиполлентны усилиям ${\mathbf{\Phi }}_{1,2},{\mathbf{\Phi }}_{2,3},\dots$, ${\mathbf{\Phi }}_{n-1,n}$. эквиполлентен вектору — ${\mathit{F}}_1$ и что вследствие первого из равенств (6) этот вектор эквиполлентен ${\mathbf{\Phi }}_{1\cdot 2}$. $i=2$, т. е. равенство
$${\mathit{F}}_{\mathbf{2}}-{\mathbf{\Phi }}_{1,2}+{\mathbf{\Phi }}_{3,3}=0.$$

Принимая во внимание только что полученный результат и можно написать предыдущее равенство в виде
или
откуда заключаем, что вектор $\overrightarrow{Q_3{Q}_1}$ эквиполлентен вектору ${\mathbf{\Phi }}_{2,3}$.
Таким образом будем продолжать до тех пор, пока не дойдем до вектора $\overrightarrow{Q_n{Q}_1}$, который, будучи эквиполлентен силе ${\mathit{F}}_n$, будет также эквиполлентен, вследствие второго из равенств (6), усилию ${\mathbf{\Phi }}_{n-1,n}$.
$n-1,n\cdot$ Наоборот, если для какого-нибудь многоугольника $P_1{P}_2\dots P_n$ можно построить такой замкнутый многоугольник $Q_1{Q}_2\dots Q_n$, что сторонь и диагонали $Q_2{Q}_1,Q_3{Q}_1,\dots ,Q_n{Q}_1$, сходящиеся в $Q_1$, будут соответственно параллельны прямым $P_1{P}_2,P_2{P}_3,\dots$, $P_{n-1}{P}_n$, то многоугольник $P_1{P}_2\dots P_n$ будет представлять собой веревочный многоугольник, для поторого $Q_1{Q}_2\dots Q_n$ является силовым многоугольником.

Действительно, если представим себе, что на стержневую систему $P_1{P}_2\dots P_n$ в узлах $P_1,P_2,\dots ,P_n$ действуют силы, эквинол${\mathbf{\Phi }}_{3,3},\dots ,{\mathbf{\Phi }}_{n-1,n}$ соответственно приниматея векторы $\overrightarrow{Q_2{Q}_1}$, $\overrightarrow{Q_3{Q}_1},\dots ,\overrightarrow{Q_n{Q}_1}$, то, на основании сделанных допущений о двух
многоугольниках, будут непосредственно выполняться условия (5) и (6), необходимые и достаточные для равновесия стержневой системы.
10. Доказанное таким образом характеристическое свойство силового многоугольника позволяет, как мы об этом уже говорили, решать посредством геометрических построений задачи, относящиеся к равновесию односвязных стержневых систем.

Для того чтобы дать типичный пример приложения этого метода, рассмотрим стержневую систему $P_1{P}_2\dots P_n$, прикрепленную на конце $P_1$ к неподвижному парниру и имеющую свободными другой конец и промежуточные узлы (за исключением лишь связей, происходящих от соединения их со стержнями). Представим себе, что к $n-1$ узлам $P_2,P_3,\dots ,P_n$ приложены заданные силы ${\mathit{F}}_2$, ${\mathit{F}}_3,\dots ,{\mathit{F}}_n$, и определим веревочный многоугольник (или конфигурацию равновесия системы) и реакцию в неподвижном конце $P_1$.

Прежде всего силовой многоугольник можно построить непосредственно, откладывая один за другим, начиная от произвольной точки $Q_2$, приложенные векторы $\overrightarrow{Q_2{Q}_3},\overrightarrow{Q_3{Q}_4},\dots ,\overrightarrow{Q_n{Q}_1}$, соответственно эквиполлентные векторам ${\mathit{F}}_2,{\mathit{F}}_3,\dots ,{\mathit{F}}_n$; после этого замыкающий вектор ${\overrightarrow{Q_1}}_2$ представит по величине, даправлению и стороне реакцию ${\mathit{F}}_1$ в неподвижной точке.

Что же касается веревочного многоугольника, то вспомним, что его стороны должны быть параллельны соответственно отрезкам $Q_2{Q}_1,Q_3{Q}_1,\dots ,Q_n{Q}_1$. Поэтому, начиная с закрепленной точки $P_1$, мы должны направить первый стержень $P_1{P}_2$ параллельно $Q_1{Q}_2$ в ту или другую из двух возможных сторон; эта неопределенность в выборе стороны будет сохраняться до тех пор, пока мы не будем знать заранее, должно ли быть усилие ${\mathbf{\Phi }}_{1,2}$ растягивающим или сжимающим. Определив $P_2$, мы получим положение точки $P_3$, направив стержень $P_2{P}_3$ параллельно $Q_3{Q}_1$ (в ту или другую сторону в согласии с только что сказанным о характере усилия ${\mathrm{\Phi }}_{1,2}$ ); так нужно поступать до тех пор, пока, направив стержень $P_{n-1}{P}_n$ параллельно $Q_n{Q}_1$ (в ту же самую сторону или в противоположную), мы не получим положение равновесия свободного конца $P_n$.
11. Параллельныв силы. Менее просто, чем в предыдущем случае, выполняөтся геометрическоз построение веревочного многоугольника, когда стержневая система прикреплена (посредством шарниров) к неподвижным точкам на обоих концах $P_1,P_n$ п задаются силы, приложенные в $n-2$ промежуточных узлах. Здесь мы ограничимся рассмотрением этой задачи в том случае, когда $n-2$ силы ${\mathit{F}}_2,{\mathit{F}}_3,\dots ,{\mathit{F}}_{n-1}$ параллельны и направлены в одну и ту же сторону (фиг. 49); заметим, что это частное предположение заслуживает рассмотрения потому, что оно осуществляется в случае,
когда внешние силы, действующне на систему, представляют собой силы тяжести.

Прежде всего легко убедиться, что, независимо от того, закреплены концы или нет, в том случае, когда в системе сил, приложенных х узлам и способных поддерживать равновесие, сили, прямо приложенные к промежуточным узлам, параллельны (и направлены в какую угодно сторону), силовой многоугольник будет плоским.
В самом деле, в этом случае стороны $Q_2{Q}_3,Q_3{Q}_4,\dots$, $Q_{n-1}{Q}_n$ силового многоугольника будут лежать на одной прямой, так что, каково бы ни было положение оставшейся вершины $Q_1$, приложенные векторы $\overrightarrow{Q_2{Q}_1},\overrightarrow{Q_3{Q}_1},\dots ,\overrightarrow{Q_n{Q}_1}$, представляющие собой усилия, бұдут компланарны, а поэтому такими же будут и стороны $P_1{P}_2,P_2{P}_3,\dots ,P_{n-1}{P}_n$ веревочного многоугольника, поскольку они должны быть параллельны усилиям.
12. Предноложим тешерь опят, что оба конца $P_1,P_n$ стержневой системы закреплены, и, рассматривая $n-2$ параллельные силы как веса, обозначим величины их через $p_2,p_3,\dots ,p_{n-1}$.

Для того чтобы определить скловой многоугольник, будем идти аналитическим путем. Возьмем в вертикальной плоскости, прохоцящей через точки $P_1$ и $P_n$, в которой должен лежать веревочный многоугольник (см. предыдущий пунгт), дегартову систему осей $Oxy$ с осью $y$, направленной вверх, и обозначим через $x_1,y_1$ и $x_n,y_n$ координаты точек $P_1,P_n$, а через $l_1,l_2,\dots ,l_{n-1}$ — длины стержней $P_1{P}_2,P_2{P}_3,\dots ,P_{n-1},P_n$.

За главные неизвестные задачи примем углы ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-1}$, которые эти стержни (каждый из них направлен в сторону обхода веревочного многоугольника от $P_1$ к $P_n$ ) образуют с направлением оси $x$; заметим при этом, что для определения их мы должны воспользоваться уравнениями равновесия (5) и (6). Обратим внимание только на неопределенные уравнения
$${\mathit{F}}_{\mathit{i}}-{\mathbf{\Phi }}_{i-1,i}+{\mathbf{\Phi }}_{i,i+1}=0(i=2,3,\dots ,n-1),$$

так как уравнения (6) служат лишь для определения двух последних неизвестных (сил ${\mathit{F}}_1$ и ${\mathit{F}}_r$, приложенных к закрепленным узлам $P_1$ и $P_n$ ) и не влияют на форму многоугольника.

Далее, уравнения (5) (представляющие собой $n-2$ векторных уравнений в плоскости) нереходят в $2(n-2)$ скалярных уравнений между горизонтальными и вертикальными проекциями. Так как горизонтальные проекции си. ${\mathrm{\Phi }}_i$ равны нулю, то, проектируя уравнения (5) на ось $x$, мы увндим, что усилия ${\mathbf{\Phi }}_{1,2},{\mathbf{\Phi }}_{2,3},\dots$, ${\mathbf{\Phi }}_{n-1,n}$ все имеют одинаковые горизонтальные проекции.

Здесь мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда эти проекции, общую величину котсрых мы обозначим через $\phi$, отличны от нуля. Действительно, если какое-нибудь из усилий обращается в нуль, то можно представить себе, что связность в соответствующем узле устранена без нарушения равновесия, и тогда задача оказывается сведенной к двум различным задачам, относящимся к многоугольникам с меньшим числом стержней. Исключив этот случай, никакое усилие уже нельзя считать равным нулю; и тогда предположение $\phi =0$ будет означать, что усилия, а вместе с ними и стороны веревочного многоугольника, все будут вертикальными. Если мы оставим в стороне не представляющий интереса случай, когда $P_1$ и $P_n$ находятся на одной п той же вертикали, то упомянутая только что возможность исключается, поэтому следует считать, что $\phi eq0$.

Теперь, принимая $\phi$ за вспомогательную неизвестную, мы в состоянии выразить через $\phi$ и через гивные неизвестные ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-1}$ вертикальные составляющие усилий. Достаточно заметить, что если они имеют линиями действия $P_1{P}_2,P_2{P}_3,\dots ,P_{n-1}{P}_n$, то отношения (конечные в силу предподожения, что $\phi eq0$ ) между величинами вертикальных и горизонтальных составляющих выражаютея (каково бы ни было направление отдельных усилий) тангенсами углов наклона ${\alpha }_1;{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-1}$, так что величины вертикальных составляющих соответственно будут иметь значения
$$\phi \mathrm{tg}{\alpha }_1,\phi \mathrm{tg}{\alpha }_2,\dots ,\phi \mathrm{tg}{\alpha }_{n-1}.$$

Проектируя векторные уравнения (5) на ось $y$ (вертикальную и направленную вверх), мы получим уравнения
$$p_i+\phi \mathrm{tg}{\alpha }_{i-1}=\phi \mathrm{tg}{\alpha }_i(i=2,3,\dots ,n-1),$$

к которым необходимо присоединить уравнения, связывающие $x_n$, $y_n$ с $x_1,y_1,l$ и $\alpha$. Эти два уравнения можно получить, спроектировав веревочный многоугольник $P_1{P}_2\dots P_{n-1}{P}_n$ на две оси координат и выразив, что эти проекции являются не чем иным, как $x_n-x_1,y_n-y_1$.
Таким образом, мы получим
$$\begin{array}{l}{x}_n=x_1+\sum _{i=1}^{n-1}{l}_i\cos {\alpha }_i,\\ y_n=y_1+\sum _{i=1}^{n-1}{l}_i\sin {\alpha }_i.\end{array}$$

Уравнения (10), (11) в совокупности составляют $n$ уравнений между таким же числом неизвестных ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-1}$, 甲. Для решения их удобно положить
$$\mathrm{tg}{\alpha }_1=\frac{\mathrm{\Psi }}{\phi },$$

что, конечно, возможно, так как, на основании сделанного выше замечания, $\phi$ можно предполагать не равным нулю. Суммируя уравнения (10) от $i=2$ до любого $i$ и согращая в полученном уравнении члены $\phi \mathrm{tg}{\alpha }_2,\phi \mathrm{tg}{\alpha }_3,\dots ,\phi \mathrm{tg}{\alpha }_{i-1}$, общие обеим частям уравнения, будем иметь
$$\mathrm{tg}{\alpha }_1=\frac{\psi +\sum _{j=2}^i{p}_j}{\phi }(i=2,\dots ,n-1).$$

Уравнения ( ${10}^{\prime })$ вместе с равенством $\mathrm{tg}{\alpha }_1=\psi /\phi$ выражают тангенс любого угла ${\alpha }_i$ через $\psi$ и. Если определим из этих уравнений обычным способом $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ и внесем их значения в уравнения (11), то получим два уравнения между $\phi$ п $\mathrm{山}$, пригодных для определения этих велнин. Слегует, однако, предупредить, что действительное определение $\phi$ и $े$ в общем случае будет очень сложным: для $n=3$ положение точки $P_2$ определяется непосредственно, если будут заданы длины $P_1{P}_2,P_3{P}_2$; но уже при довольно высокую степень.