Примечание. Если речь будет идти о центре тяжести геометрической фигуры, то при этом будет подразумеваться, как в п. 4, что фигура однородна, т. е. что плотность заполняющего ее вещества постоянна.
1. Важное свойство положения центра тяжести, установленное в п. 11 , можно получить прямым геометричееким путем, основываясь на том, что центр тяжести двух материальных точек лежит внутри соединяющего их отрезка, и принимая далее во внимание, что отрезок, соединяющий две точки выпуклой фигуры, за исключением его концов, лежит внутри фигурн.
2. Центр тяжести трапеции $A B C D$ лежит на прямой (диаметральной) $E F$, соединяющей средние точки $E, F$ оснований $A B$ и $C D$. Разделив транецию на два треугольника посредетвом диагонали, применить свойство распределительности и правило моментов относительно каждого основания для доказательства того, что расстояния центра тяжести $G_{0}$ от обоих оснований находятся в отношении $(2 a+b):(2 b+a)$, где $a$ и $b$ – длины оснований. Отсюда приходим к следующему построению. Продолжим $A B$ на длину $B H=D C$ и $C D$ в противоположную еторону на длину $D K=B A$. Центр тяжести $G$ будет тогда точкой пересечения $E F$ с $H K$. Доказать это.
3. Показать, что центр тяжести кругового сектора лежит на радиусе, проходящем через середину его дуги, на расстоянии от центра, равном $2 / 3$ расстояния центра тяжести соответствующей дуги.
4. Найти центр тяжести кругового сегмента.
5. Доказать, что центр тяжести сегмента параболы (части плоскости, заключенной между параболой и какой-нибудь хордой) лежит на сопряженном с хордой диаметре на расстоянии от нее, равном $2 / 5$ хорды (Архимед).
6. Доказать, что центр тяжести еферической зоны (части сферической поверхности, заключенной между двумя параллельными плоскостями) находитея на середине высоты.
7. Каждый элемент тела $C$ (однородного или неоднородного) притягивает точку $P$ с силой, прямо пропорциональной массе элемента и расстоянию его от $P$. Доказать, что результирующая притяжения, испытываемого точкой $P$, проходит через центр тяжести $C$.
8. Дана цилиндрическая ось длиной $L$ и с радиусом $r$, по которой может скользить надетый на эту ось и соосный с ней цилиндрический диск толщиной $l$ и с внешним радиусом $R$. Диск и ось однородны, но плотность диска равна половине плотности цилиндрической оси. Пусть $d$ есть расстояние от центра тяжести диска до центұа тяжести цилиндрической оси. Найти центр тяжести системы.
9. Тело состоит из центральной цилиндрической части (длиной $l$ и с радиусом $r$ ) (фиг. 20), несущей на сдном своем конце конус (высотой $h$ и с радиусом основания $r_{1}$ ) и на другом конце полусферу (с радиусом $r_{2}$ ). Все части тела состоят из одного и того же однородного материала. Найти центр тяжести тела.
Фиг. 20.
10. Найти центр тяжести октанта сферы.
11. Вторая теорема Гюльдена. Поверхность образована плоской кривой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей эту кривую; площадь поверхности равна произведению длины кривой на длину дуги, описанной центром тяжести (на длину окружности, если речь идет о полном повороте).
12. Определить поверхность и объем тора, польвуясь теоремами Гюль дена.
13. Пусть $a$ и $b$ – полуоси эллипса и $S$ – полуэллипс, находящийся с одной стороны от той оси, длина которой равна $2 l$. Найти центр тяжести ллощади $\mathcal{S}$, пользуясь теоремой Гюльдена и известным выражением $\frac{4}{\mathbf{3}} \pi a^{2} b$ объема, образованного полным вращением фигуры $S$.
14. Радиус инерции тела относительно кажой-нибудь оси равен гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются: 1) радиус инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, 2) расстояние между обеими осями.
15. Материальная система $S$ состоит из двух частей $S_{1}$ п $S_{2}$ Пусть $I_{1}$ $I_{2}$ и $I$-моменты инерции соответственно $S_{1}$, $S_{2}$ и $S$ относительно параллельных между собой осей, проходящих через соответствующие центры тяжести.
Показать, что
\[
I=I_{1}+I_{2}+\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} d^{2},
\]

где $m_{1}, m_{2}$ – массы частей $S_{1}$ и $S_{2}$ и $d$-расстояние между соответствующими центральными осями.
16. Из трех главных моментов инерции, относящихся к одной и той же точке, ни один не может превзойти сумму двух других. Вывести отсюда, что если эллипсоид инерции есть әллипсоид вращения, то он может быть сколь угодно удлиненным, но не сколь угодно сжатым. Если назовем сжатием отношение $(a-c) / a$, где $a$ означает экваториальный радиус и $c$ – полярную полуось, то наибольшее значение, которое может иметь сжатие, есть $1-1 / \sqrt{2}$.
17. Показать, что радиус инерции однородного прямоугольника со сторонами $a, b$ относительно стороны длиной $a$ равен $b / \sqrt{3}$.
18. Радиус инерции однородного треугольника относительно одной из сторон равен $h / \sqrt{6}$, где $h$ – соответствущая этой стороне высота. Показать, что радиус инерции относительно перпендикуляра к плоскости треугольника, проведенного через центр тяжести, равен $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2} / 6}(a, b, c-$ стороны треугольника).
19. Определить центральный эллипсоид инерции полого параллелепипеда (коробки, ящика и т. п.), т. е. однородно распределенной массы, заключенной между двумя прямыми прямоугольными параллелепипедами, имеющими один и тот же центр и параллельные грани [сначала составляетея разность между плавными моментами инерции обоих параллелепипедов (п. 32), относящимися к общему центру].
20. Дана кубическая коробка, грєни которой имеют столь малую толщину, что их можно уподобить материальным поверхностям. Показать (или на основании предылущего упражнения, или обращаясь к піл. 33 и 21), что радиус инерции относительно одной из центральных осей, параллельной одному из ребер, равен $\sqrt{10} a / 6$, где $a$ – длина ребра.
21. Доказать (вепоминая п. 33), что центральные моменты инерции прямоугольной рамы (масса, равномерно распределенная между двумя прямоугольниками с одним и тем же центром и с параллельными сторонами) относительно прямых, параллельных сторонам, суть
\[
\frac{
u}{12}\left(H B^{3}-h b^{3}\right), \quad \frac{
u}{12}\left(B H^{3}-b h^{3}\right),
\]

где: $\quad \dot{
u-\text { плотность; }}$
В и $H$ – основание и высота внешнего прямоугольника;
$b$ и $h$ – соответствующие размеры внутреннего прлмоугольника.
22. Сечения балок имеют форму I, C, Z (фиг. 21). Доказать, что для каждого из трех сечений момент инерции относительно центральной оси,
Фиг. 21.

параллельной основаниям (т. е. отрезкам длиной $B$ и $b$ ), равен
\[
\frac{\vee}{12}\left(B H^{3}-b h^{3}\right),
\]

где $\vee$ есть постоянная поверхностная плотность.
23. Сечения балок имеют форму $\mathrm{H},-7+$ (фиг. 22). Доказать, что для момента ннерции будем иметь выражение
\[
\frac{\vee}{12}\left(B H^{3}+b h^{3}\right) .
\]

24. Доказать, что радиус инерции пруглого однородного диска относительно одного из диаметров равен половине радиуса диска (ср. пп. 28 и 37).
Фиг, 22.
25. Доказать, что для кругового однородного кольца, заключенного между двумя окружностями с радиусами $R_{1}, R_{2}$, момент инерции относительно одного из диаметров равен $\frac{\pi \vee\left(R_{1}^{4}-R_{2}^{4}\right)}{4}(
u-п л о т н о с т ь)$, а момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости колыа и проведенной через центр, вдвое больше (п. 28).
Соответствуюдими радиусами инерции будут
\[
\frac{1}{2} \sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}} \text { п } \sqrt{\frac{1}{2}\left(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right)} .
\]
26. Доказать, что радиуе инерции аднородной сферической оболочки относительно любого диаметра равен
\[
\sqrt{\frac{2\left(R_{1}^{6}-R_{2}^{5}\right)}{5\left(R_{1}^{3}-R_{2}^{3}\right)}},
\]

где $R_{1}$ и $R_{2}$ – радиусы обеих сфер, ограничивающих оболочку.
27. Доказать, что моменты инерции однородного эллипса относительно ег. осей равны
\[
\frac{v \pi}{4} a b^{3}, \quad \frac{\forall \pi}{4} b a^{3},
\]

где: $\quad v$-плотность;
a и $b$ – полуоси.
28. Доказать, что главные радиусы инерции (относительно центра тяжести) әллиптического однородного көльца, заключенного между двумя гомотетическими эллипсами с полуосями $a, b$ и $q a, q b(q<1)$, равны соответственно $b \frac{\sqrt{1+q^{2}}}{2}, a \frac{\sqrt{1+q^{2}}}{2}$ (дпя $b=a$ см. упражнение 25).
29. В однородном (прямом) круговом конусе высота равна половине радиуса основания. Доказать, что эллипсоид инерции относительно вершины есть шар.
30. Пусть $\sigma$ есть меридианное сечение какого-нибудь тела вращения, не пересекаемое осью вращения $O z ; G_{0}$ – центр тяжести сечения; $G_{0} \zeta$ – ось, проходящая через центр тяжести сечения параллельно оси вращения; $R$ – расетояние от $G_{0}$ до оси вращения; $x$ – јасстояние любого элемента dо от-оси;

$\xi$ – абсцисса элемента $d \sigma$ (расстояние, отсчитываемое с надлежацим знаком) относительно осей $G_{0} \xi \zeta$ с началом в центре тяжести.

Если обозначим через $\mu$ плотность тела, предполагаемого однородным, то часть его, образованная вращением любого элемента $d \sigma$, очевидно, имеет момент инерции
\[
2 \pi \mu x^{3} d \sigma .
\]

Следоватөльно, момент инерции тела равен
\[
I=2 \pi \mu \int_{\zeta} x^{3} d \sigma
\]

или
\[
I=2 \pi \mu \int_{\sigma}(R+\xi)^{3} d \sigma .
\]

Далее, предполагая, что $G_{0}$ является осьр симметрии для площади $\sigma$ и припоминая теорему Гюльдена (п. 17), догазать, что
\[
I=m\left(R^{2}+38_{0}^{2}\right) \text {. }
\]

где $m$ есть масса тела, а $\delta_{0}$ – радиус инерции сечения $\sigma$ относительно прямой $G_{0} \zeta$ (параллельной оси вращения и проведенной через центр тяжести).
31. Для тела вращения, ось симметрии которого принимается за ось $O z$, имеем (п. 25) $s_{1}=s_{2}$ и, следовательно, при обозначениях предыдущего упражнения,
\[
s_{1}=\varepsilon_{2}=\frac{1}{2} I
\]

Выражение для суммы $s_{3}=\sum_{i} m_{i} z_{i}^{2}$ (так как координата $z$ любого әлемента dc одинакова для всей части, образованной вращением этого элемента) можно написать в виде
\[
s_{3}=2 \pi \mu \int_{\sigma} z^{2} x d \sigma .
\]

Предположим, что за плоскость Oху принята плоскость, содержащая центр тяжести меридианного сечения; тогда ось $x$ будет совпадать с осью $\xi$ и мы будөм иметь
\[
s_{3}=2 \pi \mu \int_{\sigma} z^{2}(R+\xi) d \sigma .
\]

Считая и вдесь, что $G_{0} \zeta$ является осью симметрии для с, и обозначая через $\delta_{0}^{\prime}$ центральный радиус инерции сечения $\sigma$ относительно $G_{0} \xi$ (перпендикуляр к оси вращения), будем иметь
\[
s_{3}=n \hat{0}_{0}^{\prime 2} \text {. }
\]

Отсюда получаем еледующее правило:
Iусть $S$ есть однородное тело вращения, меридианное сечение которюо б имеет ось симметрии, параллельну оси еращения. Іусть $\delta и \delta^{\prime}$ радиусы иериии тела $S$ относительо оси вращения и некоторой (какой уюдно) перпендикуяярной ж мей прямей, проведенной через чентр тяжести тела. Их можно выраяить через радиусы инериии $\delta_{0} v \delta_{0}^{\prime}$ плошади мери.

дианног сечения о относительно осей, проходяиих через чентр тлжести сечения, из которых одна паралельна, а друвая перпендикулярна к оси вращения, по формухам
\[
\begin{aligned}
\delta^{2} & =R^{2}+3 \delta_{0}^{2} \\
\delta^{\prime 2} & =\frac{1}{2} \delta^{2}+\delta_{0}^{\prime 2}=\frac{1}{2} R^{2}+\frac{3}{2} \cdot \delta_{0}^{2}+\delta_{0}^{\prime 2},
\end{aligned}
\]
до оси вращения),
N. В. В упражнениях $32-36 \delta и \delta^{\prime}$ имеют только что указанное значежие и тела предполавантся однородными.
32. Доказать, что для цилиндра ( $R$ – радиус, $h$-высота) имеем
\[
\delta^{2}=\frac{R^{2}}{2}
\]
(как әто уже было получено в п. 33) и
\[
\delta^{\prime 2}=\frac{R^{2}}{4}+\frac{h^{2}}{12} \text {. }
\]
33. Доказать, что для полого цилиндра ( $R_{1}, R_{2}$ – радиусы внешней и внутренней стенок, $h$ – высота) имеем
\[
\delta^{2}=\frac{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}}{2}, \quad \delta^{\prime 2}=\frac{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}}{4}+\frac{h^{2}}{12} .
\]
34. Доказать, что для тора ( $R$-средний радиус, $r$-радиус образующего круга) имеем
\[
\delta^{2}=R^{2}+\frac{3}{4} r^{2}, \quad{\delta^{\prime}}^{2}=\frac{1}{2} R^{2}+\frac{5}{8} r^{2} .
\]
35. Доказать, что для кольца с эллиптическим сечением ( $R$ – средний радиус, $a$ и $b$ – полуоси сечения, вторая из которых параллельна оси вращения) (ср. пример 27) имеем
\[
\delta^{2}=R^{2}+\frac{3}{4} a^{2}, \quad \delta^{\prime 2}=\frac{1}{2} R^{2}+\frac{3}{8} a^{2}+\frac{1}{4} \delta^{2} .
\]
36. Представим себе, что параболоид вращения пересечен плоскостью, перпендикулярной к оси. Пусть $R$ есть радиус сечейия. Доказать, что для соответствующей части параболоида имеем $\delta=R / \sqrt{3}$.
37. Маховое колесо состоит из етулки (сквозь которую проходит вал), обода и шести спии расположенных радиально на расстоянии $60^{\circ}$ ), соединяющи втулку с ободом.

Среднее сечение (плоскостью, перпендикулярной $к$ валу) втулки ограничено двумя окружностями с радиусами $r_{1}=40 \mathrm{cм}, r_{2}=20$ см; сечение обода ограничено двумя окружностяии с радиусами $R_{1}=2 \boldsymbol{m}, R_{2}=1,80 \boldsymbol{m}$; толщина (нормальная $\mathrm{k}$ плоскости сечения) как втулки, так и обода равна $40 \mathrm{~cm}$. Спицы предетавляют собой пилиндры с радиусами $8 \mathrm{~cm}$ и высотой $R_{2}-r_{1}=1,40 \boldsymbol{m}$. Удельный вес материала (предполагаемого однородным) равен 7,5 .

Вычислить момент инерции $I$ махөвого колеса относительно оси вращения.
Oтвет: $I=2835,12 \boldsymbol{\kappa} \cdot \boldsymbol{x} \cdot$ сек $^{2}$. Выразить $I_{0}$ в системе CGS.
38. Два стальных щара (однородных и равных между собой) соединены посредством двух цилиндрических стержней (однородных, равных и соосных) со втулкой (однородной) в виде тора, которая может вращаться вокруг вала (фиг. 23). Среднее сечение, нормальное к оси, имеет вид, представленный на фигуре.
Фиг. 23.
Радиусы шаров равны $10 \mathrm{~cm}$, радичсы цилиндрических стержней $-1 \mathrm{cл}$, длины стержней – 40 см. Средний радиус сечения втулки равен $6,5 \mathrm{~cm}, \mathrm{pa}$ диус меридианного сечения втулки – 1,5 ск. Стержни и втулка сделаны из дерева. Удельный вес стали 7,6, уделэный вес депл- числить момент инерции системы относительно оси врацен\”