1. Теория простых мапин. Проверить так называемее золотое правило механики: ${ }_{\text {}}$ что выигрываетес в силе, то теряетея в пути “, или, точнее, „если отвлечься от трения, то әлементарная работа активных сил на всяком перемещении системы из положения равновесия равна нулю\”.Tеория весов, См., например, Levy, Eléments de cinématique et de mécanique, Paris, 1902, XXII. Эти вопросы рассматриваютея также и в тексте (гл. XVI, § 5) как приложение принципа виртуальнь́х работ. Ивтересно поэтому показать, что те же самые результаты можно также установить более әлементарным и прямым путем, обрацаясь только к общим предпосылкам механики и статики твердого тела.
2. Показать, что если несколько сил, приложенных к твердому телу, уравновешиваются или, если рассматривать более общий случай, эквивалентны паре сил, то центр тяжести равных масс, расположенных в точках приложения сил, будет также и центром тяжести других масе, тоже равных между собой, но расположенных в свободных концах тех же самых сил.
3. На твердый тетраздр дейетвуют четыре силы, нормальные к его граням, пропорциональные площадям граней и направленные все или внутрь, или наружу тетраәдра. Показать, что равновесие будет существовать, если точка приложения каждой из сил являетея центром тяжести перпендикулярной к ней грани или вершиной, противоположной такой грани (ср. упражнение 18 гл. I).
4. Распространить свойство, указанное в предыдущем упражнении, на какой угодно многогранник, а также, переходя к пределу, на твердое тело, ограниченное как плоскими, так и кривыми поверхностями. См. В i с о оcin i, Esercizi e complementi di meccanica razionale, Milano, 1927, crp. $254-$ 256 .

5. Твердый однородный стержень $O A$ может вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки $O$. В точке $B$ стержня, находящейся на расстоянии $b$ от $O$, подвешен груз $q$. Вес единиць длины стержня равен $p$. Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении посредством направленной вверх вертикальной силы, прнложенной в конце $A$. Какую длину $2 l$ должен иметь стержень, чтобы эта сила оказалась наименьшей?
Omвem: $l=\sqrt{\frac{\overline{b q}}{2 p}}$, наименьшая величина силы есть $\sqrt{2 b p q}$.
6. Однородный прямоугольник может вращаться вокруг одной из своих горизонтальных сторон; он находите в равновесии под действием ветра, отклоняясь на угол $\alpha$ от вертикали.

Предполагается, что ветер, дующий в горизонтальном направлении, действует на каждый әлемент $d$ s прямоугольника с некоторой горизонтальной силой, пропорциональной $d s \cos \alpha$ (проекции элемента на плоскость, перпендикулярную к направлению ветра).

Обозначив через $k$ коэфффциент пропорциональности, через $p$ вес прямоугольника, через $\sigma$ его площадь, показать, что имеем
\[
k \sigma \cos ^{2} \alpha=p \sin \alpha .
\]
7. Требуется повалить столб (вергикальный) $A B$, имея в распоряжении веревку, менее длинную, чем столб. Ее привязывают к столбу в точке $C$ на высоте $x$ от поверхности земли и распслагают так, что ее конец $D$ находится на высоте 1 M. Обозначив через $l$ длину веревки (в метрах), найти значение $x$, при котором начальное усилие, необходимое для того, чтобы повалить столб. будет наименьшим. [Необходимо, чтобы прямая $\boldsymbol{C D}$ отстояла возможно далее от $A$.]
8. Твердая однородная дуга $O A$ (фиг. 40) расположена в вертикальной плоскости и может вращатъея в этой плоскости вокруг точки $O$. В точке $A$ действует (в той же вертикальной плюскости) горизонтальная сила $\tau$, уравновешивающая вес дуги.

Каким должен быть профиль дуги, чтобы после удаления какой-нибудь ее части $P A$ оставшаяея часть $O P$ могла оставаться в равновесии, в предположении, что к точке $P$ приложена та же самая горизонтальная сила $\tau$ ?
[Дуга $O A$ должна представлять собой часть окружности радиуса $\tau / p$ ( $p$ равно весу единицы длины).]
9. Крышка прикреплена к ящику цилиндрическим щарниром $C D$ (фиг. 41) и удерживается под углом $\alpha$ ₹ горизонтальной плоскости силой $q$, приложенной в точке $B$ крышки и направленной к точке $A$, которая лежит на вертикали, пересекающей пямую $C D$ и расположенной в вертикальной плоскости, проходяцей через $B$ и перпендикулярной к $C D$. На практике әто осуществляетея посредством веревки, привязанной к крыпке в точке $B$, перекинутой через блог и несущей на другом конце груз весом $q$. Известны вес крыпки $p$, расстояние $a$ центра тяжести $G$ крышки от стороны $C D$, аналогичное расстояние $l$ точки $B$ и высота $h$ точки $A$ над шарниром; опредөлить угол наклона $\alpha$. Предположив, что крышка находится в горизонтальном положении, опираясь на края ящика, определить наименьшее значение силы $q$, необходимое, чтобы поднять ее. $\left[\right.$ Найдем: $\sin \alpha=\frac{h^{2}+l^{2}}{2 h l}-$ $-\frac{h l q^{2}}{2 a^{2} p^{2}} ;$ при $a=0$ крышку можно поднять при условии, что $q$ превышает $\left.p \frac{a}{h b} \sqrt{h^{2}+l^{2}} \cdot\right]$
10. Подъемный кран $A B C$ (фиг. 42) может вращаться вокруг вертикальной оси $A B$; нижний конец $A$ стойки крана подцерживаетея додпятником, в то время как верхний конец $B$, находящийся от $A$ на расстоянии $h$, опирается о подпипник. Кран несет груз $q$, приложенный в C. Расстояния центра тяжести крана и точки приложения $C$ груза от оси $A B$ соответетвенно равны $a$ и $\boldsymbol{c}$.
Определить үеакции в точках $A$ и $\boldsymbol{B}$, пренебрегая трением в подшипнике $B$. [Вертикальная составляющая (направленная вверх) реакции в точке $A$ равна $p+q$; горизонтальные гоставляющие (равные и противоположные) реакций в точках $A$ и $\boldsymbol{B}$ имеют величину, равную $(a p+b q) \mid h$.]
Фиг. 42.
11. Горизонтальная балка на двух опорах $A$ и $B$ поддерживает груз $q$ в промежуточной точке $C$, находящейся на расстоянии $a$ от $A$. Вс всем остальном имеется симметрия относительно плоскоети, перпендикулярной $ћ$ отрезку $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ и проходящей через его середину. Расстояние между опорами равно $b$, вес балки равен $p$. определить давления на опоры (равные и противоположные нормальным реакциям этих опор).
12. Тяжелый однородный шар поддерживаетея двумя гладкими наклонными плоскостями (фиг. 43), Найти отношение между величинами реакций в двух точках соприкосновения в функциях от углов. наклона $\theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}$ двух плоскостей.
13. Балка опираетея на два круглых цилиндра с горнзонтальными осями, расположенными на разных уровнях. Кроме того, верхний конец балки удерживается верєвкой, параллельной оси балки и привязанной к неподвижной опоре. Рассматривая среднюю вертикальню плоскость, можно свести задачу (при наличии симметрии относительно указанной средней пооскости) к случаю тяжелого твердого тонкого стержня, расположенного в вертикальной плоскости, закрепленного в точке $\boldsymbol{A}$ и опирающегося в точке $\boldsymbol{B}$ на окружность.

Известны вес $p$ балки, расстояние $l$ между точками опоры $A$ (верхняя точка) и $B$ (нижняя точка), разность их уровней $h$, расстояние $a$ центра тяжести балки от $A$ и угол наклона а балки к горизонтальной плоскости. Определить (графически и численно) реакцию опоры в точке $B$, предположив, что трения нет. Проверить, что если освободить верхний конец балки от веревки, то равновесие может существовать только при наличии трения и при уеловии, что угол трения в каждой опоре больше, чем угол наклона $\alpha$ балки. $\left[\right.$ Реакция в точке $B$ равна $\left.\frac{a \sqrt{l^{2}-h^{2}}}{l^{2}} p.\right]$
14. Стержень $A B$ опираетея в точке $A$ на вертикальную стену, в точке $B$ на горизонтальный пол. Он находится в равновесии в вертикальной плоскости пол действием своего веса $p$. В точке $B$ ему мешает скользить выступ в полу; все будет происходить так, как если бы конец $B$ был закреплен.

Известны положения стержня и его центра тяжести; определить реакции в точках $A$ и $B$, предположив, что в опоре $A$ трения нет.
15. Однородный стержень $A B$ длиной $l$ опирается в точке $C$ на цилиндр радиуса $r$ с горизонтальной осью.

Стержень находится в равновесии в вертикальной плоскости под действием своего веса и натяжения привязанной к верхнему концу $\boldsymbol{B}$ стержня веревки, которая некоторой своей частью проходит по цилиндру и несет на нижнем конце груз веса $q$. Натяженне веревки по величине равно весу $q$ и направлено по касательной $B D$ к окружности нормального сечения цилиндра. Пренебрегая трением в точке опоры $C$, составить уравнение, определяющее угол наклона $\theta$ стержня к горизонтальной плоскости в функции от $p, q$ и $r$.
16. Два стержня $A C, B C$, прикрепленные (посредством парниров) концами $A$ и $B$ к неподвижным опорам и связанные между собой (тоже посредством шарнира) в точке $C$, нагюжжены весами (распределенными как угодно) и находятся в равновесии в вертикальной плоскости. Определить реакции (две для каждого стержня), принимая во внимание, что силы, с которыми действуют етержни друг на друга в точке $C$, равны между собой по величине и направлены в противоположные етороны.
17. Двойная лестница (стремянка) находится в равновесии, опираясь четырьмя своими концами на горизонтальную плоскость. Распределение нагрузки предполагаетея каким угодно, но симметричным относительно вертикальной плоскости, проходящей черєз середины ступенек лестницы. В таком случае можно, складывая симметричные силы, свести систему сил к силам, действующим в вертикальной плоскосги симметрии. Пусть $A B_{1}, A B_{2}$ – следы на этой плоскости двух частей лестницы, $C_{1} C_{2}$-соединяющая их цепь, расположенная в плоскости симметрии. Силы, действующие на каждую из частей лестницы, можно привести к четырем, а именно, для части $A B_{1}$ : вес $\boldsymbol{p}_{1}$; сила $\boldsymbol{R}_{1}$, приложенная в $B_{1}$ (результирующая реакций двух опор); сила $\boldsymbol{F}$, приложенная в $\boldsymbol{A}$ и предетавляющая собой реакцию другой части лестницы; горизонтальное натяжение ₹ цепи, действующее в точке $C_{1}$; для $A B_{2}$ : вес $\boldsymbol{p}_{2}$; сила $\boldsymbol{R}_{2}$, приложенная в $B_{2}$; две силы – $\boldsymbol{F}$ и $-\tau$, приложенные соответственно в $A$ и $C_{2}$. (Чго сила, приложенная в $A$ и происходящая от соединения с первой частью, есть – $\boldsymbol{F}$, следует из принципа равенства действия и прогиводействия; убедиться в том, что сила, приложенная в $C_{2}$, есть – $\tau$, можно, комбкнируя принцип равенства действия и противодействия с тем уже не раз использованным обстоятельством, что, в первом приближении, сила передается неизменной с одного конца натянутой цепи на другой.)

Пренебрегая трением в опорах, определить усилие $\tau$, которому подвергаетея цепь.
Omeem:
\[
\tau=\frac{1}{2 b}\left\{\left(a-a_{1}\right) p_{1}+\left(a-a_{2}\right) p_{2}\right\}
\]
$\tau, p_{1}, p_{2}$ имеют очевидное значение, $2 a=B_{1} B_{2}$, $\dot{b}$-выеота точки $A$ над цепью и $a_{1}, a_{2}$ – расстояния центров гяжести $G_{1}, G_{2}$ двух частей лестницы от вертикали, проходящей через точку $A$.
18. Тяжелый однородный полушар опирается на наклонную шероховатую плоскость, касаясь ее своей сферической поверхностью. Равновесне может существовать (даже если оставить в стороне трение качения), лишь бы угол а наклона плоскости не превосходил угла трения и, кроме того был таким, чтобы удовлетворялось неравенство $\sin a \leqslant 3 / 8$. На какой параллели должна находиться точка соприхосновения при равновесии ${ }^{1}$ )?
19. Однородный стержень опирается на край (предполагаемый горизон тальным) и на точку внутренней поверхности чаши, имеющей форму полу сферы. Обе опоры рассматриваются как опоры без трения, благодаря чем реакция края чаши, действующая на стержень (край чаши можно считать окружностью, а стержень – материальной прямой), должна быть нормальной к стержню.

Заметим прежде всего, что плоскость, определяемая стержнем и центром сферической поверхности, вертикальна и положение равновесия определится, если будет известен радиус $r$ сферы и длина $2 l$ етержня.

Проверить, что в предложенных условиях при равновесии должно удовлетворяться неравенство $l>r \sqrt{2 / 3}$ и что наклон стержня а будет определяться посредством своего косинуеа, являющегося положительным корнем уравнения
\[
4 r \cos ^{2} \alpha-l \cos \alpha-2 r=0 .
\]
20. Тяжелый однородный треугольник, со сторонами $a, b, c$, опирается тремя своим вершинами на внутреннюю поверхность сферы радиуса $r$. Предполагается, что трение отсутствует.

Показать, что в положении равновесия центр тяжести треугольника должен находиться на вертикали, проходящей через центр сферы, и отстоять. от него на расстоянии, равном
\[
\sqrt{r^{2}-\frac{1}{9}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)} \text {. }
\]
21. Циркуль с одинаковыми геометрически и материально ножками (однако не необходимо однородный) опирается в раздвинутом внде на цилиндр. с горизонтальной осью.

Определить угол раскрытия $2 \varphi$ цнркуля в состоянии равновесия (которое возможно даже при отсутствии трения); циркуль рассматривается как: два твердых стержня $C A, C B$, соединенных шарниром в $\boldsymbol{C}$ и опирающихея на окружность нормального сечения цилиндра так, что прямая, соединяющая точку $C$ е центром, вертикальна.
Предполагается, что известен радиус $r$ цилиндра и расстояние $a$ центра тяжести каждой из ножек от $\boldsymbol{C}$.
22. Потолок Серлио. Четыре стены имеют сечение в виде не слишком удлиненного прямоугольника (нменно такого, чтобы удвоенная меньшая сторона превосходила больпую). Можно построить покрытие из четырех равных балок, длина которых меньше меньшей из сторон опорного прямоугольника, но превосходит половину большей стороны.

Устройство будет таким, как указано на фиг. 44. Балка $A A^{\prime}$ опирается на стену (предетавленную на схеме отрезком $a$ ) в точке $A$ и на балку $D D^{\prime}$ в точке $A^{\prime}$ и служит опорой для балки $B B^{\prime}$; балка $B B^{\prime}$ опирается на стену (представленную на схеме отрезком $b$ ) в точке $B$ и на балку $A^{\prime} A^{\prime}$ в точке $B^{\prime}$ и служит опорой для балки $C C^{\prime}$ в точке $C^{\prime}$, и т. д.
1) Ср. Bisconcini, соч., цит. на стр. 83 гл. I, стр. 275-277.

Обозначим длину каждой балки через $l$, длины отрезков $A B^{\prime}, C D^{\prime}$ через $\lambda(<l)$ и длины отрезков $B C^{\prime}, D A^{\prime}$ через $\mu(<\lambda)$, так что длины сторон опорного прямоугольника будут равны $l+\lambda, l+\mu$.

Предположим, что балки нагружены (причем нагрузки на каждув балку могут быть и не равными друг другу), и обозначим момент относительно оси $a^{1}$ ) нагрузки, действующей на башу $A A^{\prime}$, через $M_{1}$, момент относительно оси $b$ нагрузки, действующей на балку $B B^{\prime}$, через $M_{2}$, момент относительно оси с нагрузки, действующей на балку $C C^{\prime}$, через $M_{3}$ и, наконец, момент относительно оси $d$ нагрузки, действующей на балку $D D^{\prime}$, через $M_{4}$.

Далее вводятея четыре взаимные реакции (нензвестные), возникамщие в точках $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$, которые следует считать (как это непосредетвенноочевидно) вертикальными. Еели обоаначим через $R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ соответственно их величины, в предположении, что равновесие возможно, то на балку $A A^{\prime}$ будет действовать (помимо прямо приложенных нагрузок и реакции стены в точке $A$ ) одна из сил $R_{2}$ (направленная вниз) в точке $B^{\prime}$ и одна из сил $R_{1}$ (направленная вверх) в точке $A^{\prime}$, и т. д. Выражая, чтомомент сил, действующих на балку $A A^{\prime}$ относительно прямой $a$, равен нуло, будем иметь
\[
M_{1}+\lambda R_{2}-l R_{1}=0 .
\]

Остальные три уравнения будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
M_{2}+\mu R_{3}-l R_{2}=0, \\
M_{3}+\lambda R_{4}-l R_{3}=0, \\
M_{4}+\mu R_{1}-l R_{4}=0 .
\end{array}
\]

В частном случае, когда $\mu=\lambda$ (потолок квадратной формы), только чтонаписанные уравнения получаются из первого посредством круговой перестановки индексов $1,2,3,4$. В этом случае, положив для краткости
\[
\frac{\lambda}{l}=k,
\]

так что $k$ будет меньше единицы, и
\[
p_{i}=\frac{M_{i}}{l} . \quad(i=1,2,3,4),
\]

мы можем написать систему четырех уравнений в виде
\[
\begin{array}{l}
R_{1}-k R_{2}=p_{1}, \\
R_{2}-k R_{3}=p_{2}, \\
R_{3}-k R_{4}=p_{3}, \\
R_{4}-k R_{1}=p_{4} .
\end{array}
\]

Для того чтобы получить $R_{1}$, достхточно умножить эти уравнения последовательно соответетвенно на $1, k, k^{2}, k^{3}$ и сложить их. Получится
\[
R_{1}=\frac{p_{1}+p_{2} k+p_{3} k^{2}+p_{4} k^{3}}{1-k^{4}},
\]

откуда, производя круговую перестановку индексов $1,2,3,4$, получим
\[
R_{2}=\frac{p_{2}+p_{3} k+p_{4} k^{2}+p_{1} k^{3}}{1-k^{4}} \quad \text { и т. д. }
\]

Неизвестные $R$ оказываютея, таким образом, положительными (так как положительны все $M$ и, следовательно, все $p$ ).
1) Где направление оси $a$ берется таким образом, чтобы момент нагрузки, приложенной к балке $A A^{\prime}$, был положительным.

Закончить решение, указав реакции опор, требуемые равновесием, и убедившись, что они действительно возможны (направлены вверх) и что все условия равновесия оказываптея выполненными.

Рассмотреть общий случай, когда $\mu<\lambda$. (Cp. Bisconcini, соч., цит. на стр. 83 гл. I, стр. 287-290.)
23. Три ядра (равных и однородных) опираютея на горизонтальную плоскость и касаются попарно друг друга. На них положено такое же четвертое ядро, касающееся всех трех.

Равновесие возможно только при условии, что коэффициент трения $f$ между ядрами не будет меньше, чем $1 /(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0,318 \ldots$, а коэффициент трения между ядрами и плоскостью (один и тот же для всех трех ядер) будет равен, по крайней мере, четвертой части указанной велихины.
24. Металлическое кольцо (фрикционный хомут) имеет неизменно связанный с ним боковой выступ. Кольцо, насаженное. на круглый стержень немного меньмего диаметра, находится в равновесии, упираясь в стержень в точках $A$ и $B$, под действием нагрузки $q$, приложенной к концу $C$ выступающей части.

Даны: диаметр $d$ стержня, высота $h$ точки $A$ над точкой $B$, длина $l$ выступающей части $B C$ (предполагаемой горизонтальной), вес $p$ кольца вместе с выступом, расстояние $a$ точки $B$ от эинии действия веса и коэффициент трения $f$ между стержнем и кольцом (одинаковый для точек $A$ и $B$ ). Определить, при каких ограничениях возможно равновесие и каково наименьшее значение $q$, при котором оно может существовать.

Имея в виду, что вертикаль, проходящая через центр тяжести, пересекает хомут, так что $a<l$, и положив $b=\sqrt{d^{2}-h^{2}}, b_{1}=f(2 a+h), b_{2}=$ $=f(2 l+h)$, показать, что для возможноети равновесия необходимо; чтобы $b$ было заключено между $b_{1}$ и $b_{2}$. Наименьшее значение $q$, способное обеспечить равновесие, есть $\frac{b-b_{1}}{b_{2}-b} p$.
25. Стержень $A B$, крепко зажатый между двумя вертикальными стенками, находится в равновесии в вертпкальной плоскости, перпендикулярной к стенкам. Это предполагает, что стержень лежит внутри конусов трения, относящихея к точкам опоры $A$ и $B$.

Известны: расстояние $d$ между стенками; разность уровней $h$ между концами $A$ и $B$ и вес $p$ стержня; давление $N$ (нормальная составляющая реакции), действующее в каждой из огор; коэффициент трения $f$ между стержнем и стенками (одинаковый для обеих опор $A$ и $B$ ).

Определить наибольшую силу $q$, действующую по вертикали вверх, которую можно приложить в некоторэй точке $C$ стержня, находящейся на расстоянии $c$ от верхней опоры, не сдвигая его.

Ограничиваясь типичным случаем, в котором весом етержня можно пренебречь по сравнению с $N$, найдем
\[
q=f N(\mathrm{~L}+\cos \alpha),
\]

где угол $\alpha$ (заключенный между – $\pi / 2$ и $\pi / 2$ ) определяегся посредетвом $\operatorname{tg} \alpha$ при помощи формул
\[
\operatorname{tg} \alpha=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{h-f c}{d-c} & \text { при } & c \leqslant \frac{1}{2}\left(d+\frac{h}{f}\right), \\
\frac{h+f(d-c)}{c} & \text { при } & c \geqslant \frac{1}{2}\left(d+\frac{h}{f}\right) .
\end{array}\right.
\]

26. Тяжелое твердое тело опирается в $n(>3)$ точках $P(i=1, \ldots, n)$ на горизонтальный пол. Если мы примем поверхность пола за плоскость $z=0$, возьмем за начало координат троекцию центра тяжести тела на плоскость $z=0$ и обозначим через $x_{i}, y_{i}$ координаты точек $P_{i}$, через $\Phi_{i}$ величину нормальной -реакции в $P_{i}$, через $p$ вес тела, то шесть основных условий равновесия сведутся к следующим трем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{n} \Phi_{i}=p, \\
\sum_{i=1}^{n} x_{i} \Phi_{i}=0, \\
\sum_{i=1}^{n} y_{i} \Phi_{i}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Мы знаем уже, что, в пределах статики неизменяемых тел, распределение реакций остается неопределенным (п. 16). Уравнения (1) выражают аналитически етепень неопределенности, представляя собой только три соотношения между $n$ неизвестными (положительными) $\Phi_{i}$. Если все реакции $\Phi_{i}$ положительны, то (п. 14) вертикаль, проходящая через центр тяжести, должна пересекать опорную плоскость в точке, лежащей внутри опорного многоугольника.

Предположим, что это условие выполняется, и укажем критерий, позволяющий устранить неопределенность, если принять во внимание малые деформации пола, сохраняя условие, что тело являетея абсолютно твердым.

Предположим, что под действием загрузки, каждая из опор $P_{i}$ несколько оседает, так что после установления равновесия она не лежит уже в плоскости $z=0$, а находитея от нее (в направлении вниз) на расетоянии некоторого малого количества $z_{i}$. Это количество $z_{i}$ можно рассматривать как третью координату точки опоры, если условитьея, что за положительное направление оси $z$ мы будем считать направление, обращенное вниз.

После этого нет ничего более естественного, как допустить, что координата $z_{i}$ пропорциональна той части полной нагрузки $P$, которая должна приходитьея на опору $P_{i}$, т. е. (на основании принципа равенетва действия и противодействия) пропорциональна $\Phi_{i}$. Обозначив через $1 / k_{i}$ (положительный) коәффициент пропорциональности (если свойства опорной плоскости одинаковы во всех точках опоры, то $k_{i}$ будет иметь численное значение $k$, не зависящее от индекса $i$ ), можно написать
\[
z_{i}=\frac{1}{k_{i}} \Phi_{i} .
\]

Еели допустить, кроме того, что оседание опор не связано ни с какой деформацией стоящего над ними тела, то $n$ точек опоры, лежащие в илоскости $z=0$ в случае абсолютно твердой опорной плоскости, будут находиться в одной и той же плоскости и в рассматриваемом нами случае. Эта плоскость будет очень близка к плоскости $z=0$ (находясь несколько ниже ее), если предположить, что вертикальные перемещения отдельных точек опоры $z_{i}=\Phi_{i} / k_{i}$ очень малы.
Возьмем уравнение плоскости в виде
\[
z=\lambda x+\mu y+
u
\]
(где коэффициенты $\lambda, \mu,
u$ заранее не эпределени) и выразим то обстоятельство, что оно удовлетворяетея координатами $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ любой точки $P_{i}$; тогда будем иметь
\[
\Phi_{i}=k_{i}\left(\lambda x_{i}+\mu y_{i}+
u\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, комбинируя предположения, что каждая опора оседает пропорционально приходящейся на нєе нагрузке и что деформация опертого тела равна нулю (или ничтожна по сравнению с деформацией опорной плоскости), мы достигнем того, что вырљзим все реакции $\Phi_{i}$ посредством только трех вспомогательных нензвестных $\lambda, \mu$, v.

При этих условиях исчезает веякая неопределенность: достаточно обратиться к трем статическим уравнениям (1) и подставить в них, вместо $\Phi_{i}$, выражения (2), чтобы получить из них значения $\lambda, \mu$, v. Внося затем эти значения в равенства (2), мы получим окончательные значения реакций.

Выполнить вычисления, написав при этом дополнительные условия, которые требуютея для того, чтобы значения, получающиеся для $\Phi_{i}$, были все положительными.

Рассмотреть случай четырех опор, совпадающих с вершинами прямоугольника, предполагая все коәффициенты осадки равными между собой $\left(k_{i}=k\right)$.
27. Прямолинейная плотина с трапецоидальным сечением $A B C D$ высотой $h$ и шириной $d$ по верхнему гребно имеет вертикальную стенку (со следом $A B$ в плоскости сечения) и откос (со следом $D C$ ), наклоненный к вертикали под углом $\alpha$, так что длнна основания сечения равна
\[
d+h \operatorname{tg} \alpha .
\]

Предположив плотину однородной, с весом $p$ на единицу объема, определить моменты $\Gamma_{b}, \Gamma_{c}$ (на единицу длины) относительно следов $b$ и $c$ вертикальной стенки и откоса.

Проверить, что момент устойчивости -есть $\Gamma_{b}$ и что он увеличивается при равных сечении и высоте вместе с углом наклона $\alpha$ откоса. Наименьщая величина $\Gamma_{b}$ будет соответствовать, таким образом, прямоугольному сечению $A H K B\left(A H=B K=d+\frac{1}{2} h \operatorname{tg} \alpha\right)$.
28. Дымовая труба высоты $h$ имеет цилиндрическую полость радиуса $r$ и постоянной толщины $s$. Вес единицы объема есть $p$. Труба подвергается действию ветра.

Полное действие ветра при наибольшей его силе можно заменить горизонтальной силой $\tau$, линия действия которой пересекает ось трубы на расетоянии, равном $3 / 5$ высоты от поверхности земли.
Определить козффициент устойчивости.
29. Однородный тяжелый цилиндр радиусом $r$, параметр трения качения которого есть $h$, опирается на наклонную плоскость; образующая соприкосновения нормальна к линии наибольщего наклона. Каков нанбольший угол наклона $\alpha$, при котором цилиндр остадется в равновесии? [tg $\alpha=h / r$.]
30. Однородный тяжелый пар опираетея на горизонтальную плоскость. Коэффициент трения скольжения $f=1_{i 5}$; параметр трения качения $h_{1}=0,5$ мм.

Требуется сдвинуть шар, прикладывая к нему на высоте 8 от плоскости опоры горизонтальную силу наименьшей возможной величины.

Ноказать, что шар из положения равновесия начнет катиться или скользить, в зависимости от того, будет ли высота $\delta$ больше или меньше 2,5 мм.
31. Определить верхний предел силы тяги локомотива на подъеме в $25 \%$ при коэффициенте сцепления, равном $1 / 8$ (ср. п. 34). (При весе локомотива в $100 \mathrm{~m}$ и весе поезда в $300 \mathrm{~m}$ наибольшая сила тяги будет равна $2,5 \mathrm{~m}$.)
82. Материальная точка (подвижная) $P$ притягивается другими точками (закрепленными) $P_{i}(i=1,2, \ldots, n$ ) прямо пропорционально массе соответствурщей притягивающей точки и расстоянию $P P_{i}$. Показать, что центр тяжести $G$ точек $P_{i}$ является положением устойчивого равновесия точки $P$ (ср. гл. X, П. 14)
33. Две прямолинейные направляющие, расположенные в вертикальной плоскости по разные стороны от вертикали, проходящей через точку их пересечения, наклонены к этой вертикали под углами $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$.

Тяжелый однородный твердый стержень может скользить своими концами по әтим направляющим без трения. Показать, что положение равновесия является неустойчивым.
34. Однородный горизонтальный стержень поддерживает на своих концах, посредством двух равной длины нитей, два равных пара одного и того же веса. Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг конца $C$ маленького іптифта ничтожного вєса, прикрепленного перпендикулярно к стержню в средней его точке. Покєзать, что в таких условиях равновесие будет неустойчивым. Показать, кроме того, что, наоборот, равновесие было бы устойчивым, если бы нити были заменены двумя такими твердыми стержнями, жестко связанными с горизонтальным стержнем, чтобы (в положении равновесия) центр тяжести $G$ всей неизменяемой системы (составленной из трех стержней и двух паров) находился ниже $C$.
35. Два тяжелых однородных щара находятся в равновесии внутри сферической оболочки в соприкосновении (без трения) между собой и с оболочкой. Показать, что равновесие системы является устойчивым. (В әтом можно убедиться, заметив, что в положении равновесия центр тяжести двух шаров совпадает с самой нижней точкой сферической поверхности, представляющей собой геометрическое место всех его возможных положений.)
36. Неоднородный тяжелый цилнндр находится в равновесии, опираясь на наклонную шероховатую плоскость вдоль образующей, перпендикулярной к линии наибольпего наклона әтой плоскости. Угол наклона плоскости меньше угла трения (скольжения), тєк что возможность скольжения исключена.

Рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия по отношению к качению, пренебрегая трением качения.
37. Введение в астатику. Равновесие гвердого тела, находящегося под действием заданной сністемь сил $\left(P_{i}, \boldsymbol{F}_{i}\right)$, где $\boldsymbol{P}_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ точки твердого тела, к которым приложены снлы, называетея астатическим, если оно продолжает существовать, как бы ни изменялось положение твердого тела, лишь бы оставались (векторно) неизменными отдельные силы $\boldsymbol{F}_{i}$ (несмотря на изменение положения в пространстве соответствующих точек приложения, неизменно связанных между собой).

Прежде всего очевидно, что поступательное перемещение твердого тела не оказывает никакого влияния на условия равновесня. Поэтому достаточно рассмотреть изменение ориентации тела и можно даже ограничиться рассмотрением только бесконечно малого вращения его вокруг произвольной оси, потому что всякое изменение ордентации, даже конечное, можно представить себе как результат последовательных элементарных вращений. Если определены условия, обеспечивающие сохранение равновесия при элементарном вращении, то эти условия будут необходимыми и достаточными для астатического равновесия.

Заметим, далее, что из двух основных условий $\boldsymbol{R}=0, \boldsymbol{M}=0$, необходимых и достаточных для равновесия твердого тела, первое очевидно остается справедливым (при допущенных предположениях о силах), как бы ни изменялась ориентация твердого тела. Остается определить, будет ли удовлетворяться второе основное уравнение при әлементарном вращении тела.

Рассмотрим бесконечно малое вращение є неизменяемой системы вокруг оси, проходящей через точку $O$ и имеющей единичный вектор и. Перемещение любой точки $P_{i}$ выразится при әтом в виде
\[
\delta P_{i}=\delta \overrightarrow{O P}_{i}=\varepsilon u \times \overrightarrow{O P}_{i} \quad(i=1, \ldots, N) .
\]

Изменение, которое испытывает результирующий момент $\boldsymbol{M}$ сил $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ относительно полюса $O$ в результате этого элементарного вращения, определится равенством
\[
\delta \boldsymbol{M}=\varepsilon \sum_{i=1}^{N}\left\{\boldsymbol{u} \times \overrightarrow{O P}_{i}\right\} \times \boldsymbol{F}_{i}=\varepsilon \sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{i} \cdot u\right) \overrightarrow{O P}_{i}-\varepsilon V \boldsymbol{u},
\]

где $V$ обозначает вириал системы сил относительно полюса $O$ (гл. I, упраж:нение 10). Для того чтобы равновесие было астатическим, необходимо и достаточно, чтобы было $\delta \boldsymbol{M}=0$, каково бы ни было $\boldsymbol{u}$ (и $\varepsilon$ ). В равенстве $\delta \boldsymbol{M}=0$, где $\hat{\boldsymbol{M}}$ выражено равенством (3), подетавим вместо $\boldsymbol{u}$ последовательно три взаимно перпендикулярных единичных вектора, например три единичных вектора $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ осей, и, по умножении (скалярном) полученных таким образом уравнений соответственно на $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, сложим их почленно. Таким образом придем к соотнопению $\varepsilon(V-3 V)=0$, т. е. к равенству $V=0$; после этого легко проверить, что условие астатическоло равновесия выражается соотношением
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{i} \cdot u\right)\left(\overrightarrow{O P}_{i} \cdot v\right)=0
\]

при любол виборе двух произвольних едининих векторов $\boldsymbol{u} \boldsymbol{v} \boldsymbol{v}$.
Это векторное условие равносильно девяти скалярным уравнениям, из которых первыми тремя, относящимися к проекциям $\bar{X}_{i}$ сил, будут
\[
\sum_{i=1}^{N} X_{i} x_{i}=0, \quad \sum_{i=1}^{N} X_{i} y_{i}=0, \quad \sum_{i=1}^{N} X_{i} z_{i}=0 ;
\]

шесть аналогичных уравнений будут иметь место по отношению к проекциям $Y_{i}$ и $Z_{i}$.

Систематическое изложение иселедований этого рода можно найти в книге: M. Bottasso, Astatique, Павия, 1915.