23. Как и в случае точки, мы не всегда в состоянии количественно оденить устойчивость равновесия твердого тела, но в каждом данном случае можно придти к качественной оденке, определяя на основании критерия, Јказанного в II. 18 гл. IX, какое равновесие имеет место в этом стучае: устойчивое, неустойчивое или безразличное. Применим этот критерий к двум особенно простым случаям.
a) Тяжелое твердое тело с закрепленной точкй. Если тело находится в равновесии, то результирующий момент активных сил относительно запрепленной точки $O$ должен обращаться в нуль. Заметим теперь, что внутренние силы и реакция в точке $O$ не совершают никакой работы при всяком перемещении тела, не нарушающем неподвижности точки $O$. Это очевидно для реакции, так как точка приложения ее не перемещается; что же касается внутренних сил, то они эквивалентны нулю (в смысле теории векторов), и, как мы докажем в гл. XV, эта эквивалентность нулю системы сил достаточна в случае твердых тел (однако, вообще говоря, не для каких угодно систем) для того, чтобы работа, совершаемая ими, равнялась нулю.

Здесь мы допустим это и заметим, что если для твердого тела, закрепленного в точке $O$, активные силы сводятся к весу, то в положении равновесия центр тяжести $G$ должен находиться на вертикали, проходящей через закрепленную точку $O$. При этом необходимо различать три случая, в зависимости от того, совпадает ли $G$ с $O$, находится ли $G$ виже или выше $O$ (фиг. 37).

В первом случае при всяком перемещении твердого тела, совместимом со связями (т. е. при всяком перемещении, которое оставляет неподвижной закрепленную точку), центр тяжести $G$ остается неподвижным, а, следовательно, работа веса равна нулю ${ }^{1}$ ). Речь идет поэтому о безразличном равновесии.
1) На самом деле, вес распределен между отдельными элементами тела и только эквивалентен одной силе (в смысле теорни векторов), приложенной к центру тяжести. Но этого, как мы только что видели, и достаточно для того, чтобы можно было вычисление работы отнести к такой единственной силе.

C другой стороны, из активных сил такому же условию удовлетворяет вес, так как он пересекает прямую $g$, тогда как сила $\tau$ всегда имеет относительно $g$ момент (по абсолютному значению равный $R \tau$ ), отличный от нуля. Таким образом, ввиду того что результирующий момент всех внешних сил относительно прямой $g$ не равен нулю, мы приходим к заключению, что равновесие невозможно, как бы мала ни была сила $\tau$.
25. Для того чтобы устранить это противоречие между опытными данными и теоретическими выводами, основанными на предположениях „а\” и пб\”, нужно отказаться по крайней мере от одного из них.

Мы уже не раз отмечали, что абсолютная недеформируемость твердых тел с физической точки эрения недопустима. Легко видеть, что, отказываясь от предположения „а“ абсолютной твердости, можно сохранить предположение „б“, не впадая в противоречия. В самом деле, допустив, что у цилиндра (или у пола, или у того и другого) возникает какая-то деформация, так что соприкосновение имеет место не только по одной прямой $g$, но по целой площадке (узкая полоска, содержащая прямую $g$ ), мы увидим, что момент реакций относительно прямой $g$ уже не должен обязательно обращаться в нуль; основываясь на этом допущении, можно также очень хорошо объяснить (при помощи обычных законов трения скольжения), почему вес и достаточно малое натяжение $\tau$ уравновешиваются.

Однако отказ от предположения об абсолютной твердости, которое, естественно, напрашивается при оценке данных опыта в первом приближении, вызвал бы полный и коренной пересмотр тех общих принципов статики твердого тела (вспомним, например, о доказательстве достаточности основных условий), которые позволили дать простое и отвечающее действительности изображение наиболее распространенных случаев равновесия твердых тел. С другой стороны, при теоретическом истолковании физических явлений, если иметь в виду приложения, важно охватить все признаки явления в целом, сохраняя, насколько возможно, более простые и более естественные схемы и избегая анализа тех частных признаков, которые не имеют непосредственного практического интереса.

Поэтому оказывается удобным оставить без изменения предшоложение „а\” и изменить предположение „б“, которое имеет целиком эмпирическое происхождение, допуская, что в каждой опоре, наряду с обычной силой, предускатриваемой законом Кулона, возникает пара с незначительным моментом, как это должно было бы происходить в действительном случае, когда тело вместо одной геометрической точки $P$ опиралось бы на малую площадку, окружающую $P$. Тогда реакции, происходящие от точек площадки, вообще говоря, сводились бы не к одной силе, приложенной в $P$, а к силе и паре с малым моментом (при заданных малых размерах площадки). Для определения этой добавочной пары мы будем иметь в виду указанный выше случай цилиндра и будем искать, как, исходя из этого примера, получить более общий критерий, приложимый ко всем случаям начинающегося качения.
26. В случае цилиндра, подвергающегося действию горизонтальной силы $\tau$, мы сейчас же увидим, что согласие между теорией и физической действительностью восстанавливается, если допустим, что помимо реакций (заключенных в соответствующих конусах трения и т. д.) точек прямой $g$ возникает цара сопротивления с осью $g$; момент этой пары может доститнуть определенной величины $\Gamma_{0}$, но не может ее превзойти. Пока $R \tau \leqslant \Gamma_{0}$, равновесие продолжает существовать; но как только момент силы $\tau$ относительно образующей $g$ цилиндра превзойдет значение $\Gamma_{0}$, цилиндр начнет катиться по полу. То же самое будет происходить и при действии какой угодно другой силы, смотря по тому, будет или не будет превосходить величину $\Gamma_{0}$ момент этой силы относительно прямой $g$. Так, например, если добавочная сила представляет собой вес, равный весу цилиндра и имеющий относительно $g$ плечо $b$ (расстояние от $g$ линии действия веса), то условие равновөсия принимает вид
\[
b p \leqslant \Gamma_{0} .
\]

Реактивной паре, которая может уравновесить внешнюю силу с моментом относительно $g$, не превосходящим $\Gamma_{0}$, дают название пары трения качения, а $\Gamma_{0}$ называется предельным моментом трения качения. Как мы видим, отнопение $\Gamma_{0} / R$ измеряет так называемую предельную силу тяги, т. е. напбольшую горизонтальную силу, перпендикулярную к оси, которая, будучи приложена к центру тяжести, не нарушит єго равновесия.

Далее, согласно закону Кулона, который первым произвел опыты также и над явлениями этого рода, предельную силу тяги для данного материала обеих соприкасающихся поверхностей надо считать прямо пропорииональной весу цилиндра и обратно пропорчиональной радиусу $R$.

В обычных случаях, когда радиус $R$ равен нескольким дециметрам (и в еще большей степени, если речь идет о бо́льших радиүсах), предельная сила тяги всегда будет очень мала по сравнению с предельной силой тяги, относящейся к трению скольжения (гл. IX, п. 2). Так, напрумер, чтобы вызвать качение полйрованного металлического цилиндра, с радиусом в 50 см, по деревянному или металлическому столу, тоже полированному, достаточно будет (на высоте оси) приложить силу, которая была бы приближенно равна одмой тысячной веса цилиндра. Коэффициент трения скольжения между аналогичными материалами приближенно равен $1 / 5$; предельная сила тяги была бы равна $1 / 5$ веса тела, т. е. в 200 раз больше, чем предельная сила тяги при качении.
27. Так как предельная сила тяги $\Gamma_{0} / R$, по крайней мере приближенно, прямо пропорциональна весу $p$ цилиндра и обратно пропорциональна соответствующему радиусу $R$, то с тем же самым приближением можно считать, что момент пары трения качения пропорционален весу цилиндра, т. е.
\[
\Gamma_{0}=h p,
\]

где множитель пропорциональности $h$ зависит от материальной природы поверхностей соприкосновения, а не от радиуса $R$.

Если, как и в предыдущем пункте, мы предположим, что добавочная сила представляет собой вес, равный весу цилиндра и имеющий относительно прямой $g$ плечо $b$, то условие равновесия выразится соотношениями
\[
b p \leqslant h p \quad \text { или же } b \leqslant h ;
\]

поэтому множитель $h$ можно исголковать как наибольшее плечо рычага (относительно $g$ ), к конду которого можно приложить вертикальную силу, равную весу цилиндра, не нарушая его равновесия.

Множитель $h$ обыновенно называют коэффиииентом или параметром трения качения; в отличие от коэффициента $f$ трения скольжения он представляет собой не отвлеченное число, а некоторую длину (так как выражаетея отношением момента силы к самой силе). Поэтому, если дается его численное значение, необходимо указать еще единицы, в которых он выражен; естественно, удобно принять ту же самую единицу, к которой отнесен радиус $R$.
В указанном в предыдущем пункте случае, где
\[
\Gamma_{0}=(1 / 1000) R p \quad \text { и } R=50 \mathrm{cм} \text {, имеем } h=R / 1000=0,05 \mathrm{cм} .
\]

Для колес экипажа на обыкновенной дороге имеем значения $h$, заключенные между 10 и 75 м. в зависимости от типа и состояния, в котором содержится дорога. На замощенных дорогах он изменяется от 10 до 40 мм, если они сильно загрязнены и испорчены; на незамощенных дорогах от 20 до 50 мм и даже больше (до 75 мм), если они нокрыты гравием.
28. Параметр $h$ зависит от материальной природы поверхностей соприкосновения $и$, наоборот, не зависит от длины $R$, которая входит, как это было в рассмотренном примере, при определении геометрического вида тела, если оставаться в области экспериментальных фактов, из которых мы вывели правило.

С другой стороны, $h$ является длиной, которая (подобно, например, среднему модекулярному расстоянию) зависит исключительно от структуры тела (или, лучпе сказать, от структуры двух соприкасающихся тел), а не от геометрической формы. Грубо интуитивным путем эту длину $h$ можно сопоставить с шероховатостью двух поверхностей, от которых зєвисит взаимное трение.

Это заключение не может, конечно, служить удовлетворительной основой для построения окончательной теории трения качения. Однако установленные выше принципы достаточно хорошо соответствуют наблюдаемым фактам и приводят к формулировке общих законов, относящихся $\kappa$ трению качения, достаточных для нужд техники.
29. В случае цилиндра мы обнаружили, что плоскость опоры обладает свойством противодействовать внешним силам не только силами, приложенными в точках соприкосновения (обычные реакции трения скольжения), но также (в известных пределах) п парами. Это наводит на мысль, что аналогичные явления будут иметь место тагже и в случае однородного тяжелого пара, тоже опирающегося на горизонтальный пол.

Например, если к произвольной точке новерхности шара мы приложим горизонтальную склу, направленную как угодно, но достаточно малую, то равновесие будет еще сохранено; то же самое будет происходить и Фиг. 39. в более общем случае действия какой угодно силы $\boldsymbol{F}$ (фиг. 39), не превосходящей ощределенной величины. Это значит, что в точке опоры $P$ возникает не только сила (реакция), но также и пара (реактивная) с моментом $\mathbf{\Gamma}$ (реактивный момент), который может уравновесить момент относительно точки $P$ (вообще говоря, отличный от нуля) внешней силы. Для определения момента $\boldsymbol{\Gamma}$ удобно рассмотреть две его составляющие: тангенциальную $\mathbf{\Gamma}_{\tau}$ и нормальную $\mathbf{\Gamma}_{n}$, соответственно называемые моментом трения качения (или трения второго рода) и моментом трения верчения (или трения третьего рода).

Для оправдания таких наименований достаточно обратить внимание на то, что происходит в частных случаях, в которых момент $\mathbf{\Gamma}$ является чисто касательным или чисто нормальным.

Шредположим сначала, что на шар действует только одна сила $\boldsymbol{F}$, лежащая в вертикальной плоскости $\pi$, которая проходит через точку ошоры $P$. Момент силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки $P$ перпендикулярен к плоскости $\pi$ и, следова’тельно, являетея чисто касательным к пару. При равновесии реактивный момент должен быть прямо противоположным моменту силы $\boldsymbol{F}$ и потому будет тоже касательным к шару. Как только величина силы превзойдет известный
предел, мы увидим, что тар начнет катиться, причем мгновенная ось вращения будет совпадать с касательной в точке $P$ к щару, т. е. с линией действия реактивного момента. Таким образом, в рассматриваемом нами случае равновесия мы приходим в заключению, что реактивный момент препятствует качению шара в направлении, перпендикулярном к линии его действия; отсюда и пропсходит название момент трения качения.

Предположим теперь, что шар подвергается действию двух равных и противоположных сил, расположенных в одной и той же горизонтальной плоскости. Момент этой пары сил относительно точки опоры $P$ будет вертикальным; поэтому вертикальным будет и реактивный момент, уравновешивающий момент агтивной пары. Увеличивая этот последний, мы увидим, что шар начнет вращаться вокруг вертикали, проходящей через точку $P$ и представляющей собой линию действия реактивного момента. Это заставляет с полным основанием предположить, что в статических условиях этот момент препятствует телу вертеться, как если бы оно было зажато в подшипниках, расположенных вокруг нормали к плоскости опоры в точке соприкосновения. Поэтому реактивный момент, нормальный к плоскости опоры, и называется моментом трения верчения.
30. Как и в случае цилиндра, можно считать, что момент трения качения $\boldsymbol{\Gamma}_{\tau}$ пропорционален весу и множитель процорциональности (имеющий размерность длины) не зависит в заметной степени от радиуса шара; то же самое относится и к моменту трения верчения $\mathbf{\Gamma}_{n}$. Соответствующие множители пропорциональности, поторые мы будем обозначать через $h_{1}$ и $h_{2}$, вообще говоря, различны между собой, а именно: $h_{2}<h_{1}$. Нащример, для металлического шара с диаметром в 1 , опирающегося на твердый пол, приближенно имеем $h_{2}=0,07 . . м$, тогда как $h_{1}$ сохраняет тот порядок величины, который указан в іл. 27 для качения цилиндра ( $h_{1}=0,5 \mu м$, т. е. приблизнтельно в семь раз больше, чем $h_{2}$ ).

Заметим, наконец, что множитель $h_{1}$ допускает истолкование, подобное тому, которое в случае цилиндра (II. 27) было дано для множителя $h$ трения качения; т. е. $h_{1}$ есть наибольшее плечо относительно точки $P$, к концу которого, не нарушал равновесия, можно нриложить добавочную вертикальную силу $P$, равную весу шара. Аналогично $h_{2}$ есть наибольшее плечо, которое можно дать, не нарушая равновесия, горизонтальной паре, состоящей из двух сил, равных по величине весу шара.
31. Изложенные до сих пор опытные результаты подсказывают выводы и обобщения, подобные тем, которые были признаны достоверными в случае трения скольжения. Мы будем предполагать следующее:

1. Если на шар помимо веса (или вместо веса) действуют другие какие угодно силь, то остаются в силе те же самые зажонъ, в предположении, что вместо веса подставлена величина нормального давления, производимого шаром на плоскость опоры, или (что одно и то же) величина $N$ нормальной реакции со стороныи плоскости.

При этом подразумевается, что давление направлено в сторону опоры (и, следовательно, реакци нацравлена наружу), так как иначе не возникнут ни сила трения, ни момент трения.
2. Если, в более общем случае, вместо шара, соприкасающегося с плоскостью, речь идет о каком угодно теле $S$, которое касается в какой-ниӧдь точке $P$ материальной поверхности $\sigma$, то момент трения связан с нормальной реакиией $N$ соотношениями того же самого вида, как и в случае шара и плоскости.

Таким образом, в заключение, как синтез непосредственных опытных данных и последующих выводов, можно высказать следующий общий закон трения качения.

Если твердое тело опирается в одной или в нескольжих точках на другие тела, то каждая опора $P$ способна противодействовать (обеспечнвая равновесие) не только одной силой $\Phi$, содержащейся во (внешней) полости конуса трения, но еще и моментом $\mathbf{\Gamma}$, который, вообще говоря, может иметь какое угодно направление, но по величине не может превзойти нежоторого предела, зависящего от внешней силь и от материальной природи двух соприкасающихея поверхностей.

Если мы обозначим через $N$ абсолютное значение составляющей реактивной силы $\Phi$ по нормали $n$ к поверхности опоры в точке $P$, через $\Gamma_{\tau}$ и $\Gamma_{n}$ абсолютные значения касательной (момент трения качения) и нормальной (момент трения верчения) составляющих момента $\boldsymbol{\Gamma}$, то будем иметь
\[
\Gamma_{
abla} \leqslant h_{1} N, \quad \Gamma_{n} \leqslant h_{2} N,
\]

где коэффициенты $h_{1}$ и $h_{2}$ в заметной степени не зависят от внешней силы (и, следовательно, от $N$ ), а также и от геометрической формы поверхности соприкосновения.
32. По отношению к трению качения нет необходимости останавливаться на соображениях, приведенных в п. 13 цо поводу трения скольжения и заключающихса в том, что если мы при расчетах отвлекаемся от трения, то это дает лишь бо́льпую гарантию равновесия. В самом деле, при этом приходится пренебрегать тавими действиями, которые могут только способствовать равновесию и были бы в состоянии обеспечить его также в том случае, когда действующая сила, не удовлетворяя в точности условиям равновесия при отсутствии трения, достаточно мало отличалась бы от значения, требуемого этими условиями.

Во многих практически интересных случаях равновесия можно пренебрегать как трением скольжәния, так и трениями качения и верчения (см. § 4). В других случаях (I. 18) существенное влияние оказывает только трение скольжения, трениями же качения и верчения можно пренебречь, так как эффект их весьма мал по сравнению с эффектом трения скольжения.

Наконец, бывают также случаи, тоже важные для приложений, когда необходимо принимать во внимание трение качения и трение верчения (или одно их них), чтобы увидеть наиболее существенные черты реального явления. Высказанное общее правило как раз и позволяет поставить и исследовать такие вопросы.