1. В предыдущех главах мы изучали устовия равновесия различного вида материальных систом, относя их к нешодвижной системе координат или к системе, рассматриваемой как неподвижная (в том смысле, который в механике приписывается этому названио). Рассмотрим более общий случай системы осей Охуz, находящейся в каком-нибудь заданном қвижении, и поставим себе задачу найти уеловия, которым нацо подчинить прлмо приложенные к матернальной системе силы для того, чтобы эта материальная система, несмотрл на дейспвие сил, сохраняла неизменным положение относительно осей Охуz. Это и есть то, что мы будем называть относительным равновесием, приписывая, если может возникнуть неясность, название абсолотного равновесия тому равновесию, которое мы рассматривали до сих пор (и в готором оси Охуz предполагаются неподвижными).
2. Начнем, каћ и при изученпи абсолютного равновесия, с простого случая, в тотором речь идет об одной материальной точке $P$. Поскольку она сохраняет свое положение неизменным относительно подвижной системы осей, ее относительная скорость $\boldsymbol{v}_{r}$ и, следовательно, относительное ускорение $\boldsymbol{a}_{r}$ должны обращаться в нуль.

Пусть $\boldsymbol{F}$ есть результирующая всех действующих на $P$ сил (вллочая возможную реагцио, если имеются связи). Речь идет об установлении того, гаким условиям должна удовлетворлть сила $\boldsymbol{F}$ для того, чтобы точка $P$ оставалась в относительном равновесии.
Здесь достаточно будет кроме основного уравнения динамики
\[
m a_{a}=\boldsymbol{F}
\]
(тде, для большей ясности, через $\boldsymbol{a}_{a}$ обозначено абсолютное ускорение) принлть во внимание теорему Кориолиса, выражаемую (гл. IV, ir. 3) уравнением
\[
a_{a}=a_{r}+a_{\tau}+2 a_{c} .
\]

Если относительное равновесне существует, то (I. 1) будем иметь $a_{r}=0$, а тажже $a_{c}=\omega \times v_{r}=0$, следовательно, $a_{a}=a_{\tau}$ и основноії закон (абсолютного) движения можно будет написать в ниде

или в виде
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{m} \boldsymbol{a}_{\tau}=\boldsymbol{F}, \\
\boldsymbol{F}-\boldsymbol{m} \boldsymbol{a}_{\tau}=0 .
\end{array}
\]

Это и есть условие, готорому необходимо должна удовлетворлть сила $\boldsymbol{T}$, когда точка $P$ находится в относительном равновесии.

Но оно также и цостаточно, т. е. если уравнение (1) удов»етворяется, то равновесие существует; или, иначе, если предполагается, что в гакой-то момент $t=1_{0}$ точка $P$ находилась в относительном покое ( $v_{r}=0$ при $t=t_{0}$ ), то из равенства (1) следует, что равенство $\boldsymbol{v}_{r}=0$ будет иметь место в капой угодно момент нремени $t$.

В самом деле, предположение (1) равносилью равенству $\boldsymbol{a}_{a}=\boldsymbol{\alpha}_{\tau}$ или, если вместо $\boldsymbol{a}_{a}$ подставим его выражение, даваемое теоремой Кориолиса, равносильно также равенству
\[
a_{r}+2 a_{c}=0 \text {. }
\]

Так как вектор $\boldsymbol{a}_{c}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}$, если он не будет равен нулю, будет пернендипулярен к $\boldsymbol{v}_{r}$, то щредыдущее соотношение, умноженное скалярно на $\boldsymbol{v}_{r}$, обратител в равенетво
\[
\boldsymbol{v}_{r} \cdot a_{r}=0
\]

или
\[
\boldsymbol{v}_{r} \cdot \frac{d v_{r}}{d t}=\frac{1}{2} \frac{d}{d t}\left(\boldsymbol{v}_{r} \cdot \boldsymbol{v}_{r}\right)=\frac{1}{2} \frac{d v_{r}^{2}}{d t}=0,
\]

откуда мы заключаем, что $\boldsymbol{v}_{r}=$ const; таг как, но предположенио, скорость $\boldsymbol{v}_{r}$ обращается в нуль в момент $t_{0}$, то она будет оставаться постоянно равной нулю.

Уравнение (1) является поэтому необходимим и достаточным условием для того, чтобь точка $P$ находилась в относительном гсвновесии по отношению к осям Охуг.
3. Этот результат можно истолковать очень наглядно, если сравнить его с условием абсолютного равновесия, заключающимея в том, что результирующая всех сил, приложенных к точке, должна быть равна нулю. Это значит, что равенство (1) можно рассматривать как условие абсолютного равновесия материальной точки, на которую, кроме силы $\boldsymbol{F}$ (действительно приложенной), действуел еңе цобавочная сила $\chi=-m \boldsymbol{a}_{\mathrm{r}}$. Эта фићтивная сила, коюрая, в условиях относительного равновесия, представляет влияние движения осей и приводится $к$ нулю не только тогда, когда эти оси ненодвижны, но также и всякий раз, как $\boldsymbol{a}_{\tau}=0$, называетея силой инерции переносного движения.

Вводя систематически такую силу, мы можем внсказать следующее правило.

Все вопросы об относительном равновесии точки исследуются так, как если бы речь шла об ао́солютном равновесии, при условии, что к внешним прямо приложенным силам причисляется тажже сила инериии переносного движения.

Эта сила, по самому определению ее, зависит от движения осей, и в ближайшем параграфе иы исследуем ее поведение в некоторых простых и интересных дая приложений случаях.
4. Только что установленное в случае материальной точки правило относительного равновесия распространяется и на материальные системы какой угодно природы и оказывается непосредственно приложимым ко всем тем случаям (свободные и несвобод.ные твердые тела, стержневые спетемы, нити и т. п.), для готорых уже известны условия абсолютного равновесия.

Чтобы показать это, достаточно, если речь идет о связях без трения, воспользоваться принципом виртуальных работ, т. е. (предыдущая глава, пт: 2) соотношением
\[
\delta \Lambda=\sum_{i} \boldsymbol{R}_{i} \cdot \delta P_{i} \geqslant 0,
\]

и заметить, что в случае относительного равновесия всякая реакция $\boldsymbol{R}_{i}$ в точности равна – (активная сила + спла инерции переносного движения). Таким образом, мы пришли к той же самой формулировке (предыдущая глава, п. 7) необходимого и достаточного условия, которая была получена для абсолютного равновесия, с тою разницей, что в случае относительного равновесия к активным силам должны быть причислены также и силы инерции переносного движения.

Мы можем при выводе услови равновесия пользоваться также и более элементарными и частными способами (в некотором отношении қаже более практичными, потому что заранее не исключаются силы трения), которым мы следовали в гл. IX, XIII и XIV іри установлении условий абсолютного равновесия, пригодных для всякой категории рассмотренных там систем. Мы поступали там так:
a) выражали, что каждая точка $P$ системы находится в равновесии под действием прямо приложенных сил (внешних и внутренних) и реакций связей, удовлетворяющих определенным экспериментальным характеристикам;
б) комбинировали следствия из этих әлементарных условий равновесия таким образом, чтобы исключить, насколько возможно, вспомогательные элементы, оставив прямо приложенные силы.

Тот же самый способ, очевидно, применим и к выводу условий относительного равновесия. Если можно считать, как это бывает во многих случаях, что внутренние силы и реакци связей также и во время движения сохраняют те же самые свойства, которые были обнаружены у них в состоянии покоя, то элементарные условия для относительного равновесия будут отличаться от аналогичных условий абсолютного равновесия тольюо присоединением к каждой точке соответствующей сплы инерции переносного движения.

Таким образом правило предыдущего пункта может быть распространено на какие угодно материальные системы при условии, что внутренние силы и реацци связей сохраняют во время движения те свойства, которые они имеют в состоянии покоя.

Следует заметить, что это не всегда имеет место, как мы увидим в § 3. В таких случаях всегда можно применить указанный выше способ, но при применении его необходимо принимать во внимание влияние, которое оказывает состсяние движения на поведение внутренних сил и реакций.