56. Возвратимся к общему случаю непрерывной нагрузки (пп. $38-43$ ) и рассмотрим опять векторное уравнение
$$\frac{d\mathit{T}}{ds}+\mathit{F}=0,$$

которое объединяет в себе условия равновесия. Полагая в нем $\mathit{T}=\mathit{T}\mathit{t}$ (где $\mathit{t}$ обозначает обычный единтчный вектор касательной к веревочной кривой, ориентированный в сторону возрастания $s$ ) и принимая во внимание первую векторную формулу Френе (гл. I, I. 79), получим
$$\frac{dT}{ds}\mathit{t}+\frac{T}{r}\mathit{n}+\mathit{F}=0,$$

где $\mathit{r}$ обозначает радиус кривизны веревочной кривой и $\mathit{n}$-единичный вектор, направленный по главной нормали и ориентированный от любой точки кривой к соответствующему центру гривизны.

Если спроектируем предыдугее векторное уравнение на три ребра естественного трехгранника (касательную, главную нормаль и бинормаль, ориентированные согласно условиям, принятым в гл. I) и обозначим через $F_t,F_n,F_b$ соответствующие проекции силы, отнесенной к единице длины, то придем к трем скалярным уравнениям:
$$\frac{dT}{ds}+F_t=0,\frac{T}{r}+F_n=0,F_b=0,$$

которые носят название внутренних или естественных уравнений равновесия гибкой и нерастяжимой нити. Из третьего уравнения прямо слөдует, что при равновесии линия действия силы, отнесенной к единице длины, во всякой точке веревочной кривой лежит в соответствующей соприкасающейся плоскости.
57. Нить, НатЯнутая на гладкой поверхности. Применим естественные уравнения (68) к изучению фигуры равновесия нити, натянутой на какой-нибудь поверхности силами, приложенными к концам нити. Здесь силы, непрерывно распределенные вдоль нити, представляют собой реакции опоры, если можно отвлечься от веса, т. е. если вес (полный) можно считать весьма малым по сравнению с растягивающими усилиями, приложенными к концам.

В рассматриваемом нами идеальном случае гладкой поверхности все элементарные реацции нормальны к ней; с другой стороны, реакция, отнесенная к единице длины, во всякой точке веревочной кривой, как мы видели в предыдущем пункте, должна лежать в соприкасающейся плоскости к кривой; отсюда можно заключить, что во всякой точке веревочной кривой соприкасающаяся плоскость нормальна $к$ поверхности опоры.

Напомним теперь, что кривые, лежащие на поверхности и имеющие то свойство, что во всякой их точке соприкасающаяся плоскость нормальна к поверхности, называются геодезическими линиями. Полезно обра́тить внимание на то, что определенные таким образом кривые характеризуются также и тем свойством, что каждая из них представляет собой кратчайпую линию на поверхности между любыми двумя точками кривой (не слишком удаленными друг от друга). Например, на сфере геодезические линии представляют собой окружность больших кругов; каждая дуга такой окружности, меньшая полуокружности, представляет собой кратчайшую линию на сфере между соответствующими концами. В более общем случае поверхности вращения всякий меридиан является геодезической линией (но, конечно, нельзя сделать обратного заключения): действительно, на поверхности вращөния нормаль қ поверхности в какой-нибудь ее точке лежит в соответствующей меридианной плоскости, которая является соприкасающейся плоскостью меридиана, проходящего через эту точку. Таким образом, для цилиндра геодезическими линиями будут винтовые линии (и, в частности, образующие и окружности нормальных сечений).

Возвращаясь после этого краткого отступления к нащей задаче, мы можем сформулировать полученный немного ранее результат так:

Нить, натянутая на гладкой поверхности и подвергающаяся действию активных сил только на концах, располагается по геодезической линии этой поверхности. Таким образом, натянутая нить, если она не слишком длинна (не превышает половины окружности большого кругга в случае еферы), отмечает на поверхности самый короткий путь от одного ее конца до другого.

Кроме того, при равновесии реакция во всякой точке будет нормальной $\kappa$ поверхности, и потому $F_t=0$, а из первого из уравнений (68) следует, что
$$T=\text{ const, }$$
т. е. натяжение передается нензменным от одного жонца нити к другому; в частности, на концах нити ( $s=0$ и $s=l$ ) имеем
$$T(0)=T(l),$$

так же как.и в случае свободной нити, находящейся под действием только двух сил, приложенных к ее концам.
58. Результаты предыдущего пүнкта позволяют понять, как происходит передача сил посредством нитей, блоков и грузов, к которым мы уже обращались нєсколько раз, допуская, что в первом приближении натяжение нити на одном конце равно весу груза, подвешенного к другому концу (гл. VII, п. 13; гл. IX, п. 2). Теперь мы можем сказать, что это было бы строго справедливо в идеальном случае свободной пли раеположенной на гладжой поверхности нити, на которую не действуют другие активные силь.

Приближенно это заключение будет оставаться верным, если можно пренебречь:
1) силой, отнесенной к единице длины нити (по сравнению с силами, действующими на кондах), и
2) силами, происходящими от трения в опорах.
Следует, однако, заметить, что, вообще, влиянием трения далеко не всегда можно пренебречь и что, напротив, во многих практически важных случаях влияние трения может быть весьма существенным, как мы это покажем на одном примере в пін. 60,61 ,
59. Останавливаясь на общих соображениях, отметим одно нөшосредственное следствие естественных уравнений (68) в олучав консервативных сил. Если $U(x,y,z)$ есть потенциал силы $\mathit{F}$, то для любого элементарного перемещения $dP$ будем иметь
$$dU=\mathit{F}\cdot dP$$

и, следовательно, в частности, для перемещенил вдоль веревочной кривой $dP=tds$
$$dU=\mathit{F}\cdot \mathit{t}ds={\mathit{F}}_{t}ds.$$

Поэтому первое из уравнений (68) в этом случае можно написать в виде

откуда следует, что
$$\begin{array}{l}\frac{d(T+U)}{ds}=0,\\ T+U=\text{ const, }\end{array}$$
т. е. если силы консервативны, то натяжение нити отличается только на постоянную от потенциала, взятого с обратным знаком. Оно, следовательно, определено как функция от положения, независимо от знания веревочной кривой. В частности, если известны положения концов нити и значение натяжения в одном из них [что определяет постоянную в правой части уравнения (69)], то этим определяется и значение натяжения на другом конце.

Так, например, в случае однсродной цепной линии (пI. 50-55) вес $p$ единицы длины относитедьно принимаемых нами осей имеет потенциал — py, так что на основании уравнения (69) для натяжения будем иметь выражение
$$T=py+\mathrm{const}$$

достаточно заметить, что в самой нижней точке $T=\phi ,y=\phi /p$, чтобы заключить, что постоянная равна нулю. Таким образом, мы опять приходим к равенству
$$T=py$$

которое уже получили в п. 53.
60. ТРЕНИЕ НИТИ, РАСПоЛОЖЕННОЙ НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ. В п. 57 мы видели, что если нить, растягиваемая двумя силами ${\mathit{F}}_A$ и ${\mathit{F}}_B$, приложенными к концам $\mathit{A}$ и $\mathit{B}$, лежит на гладкой поверхности и не подвергается действию других внешних сил, то натяжение $T$ в статических условиях постоянно вдоль нити, так что для равновесия требуется, чтобы обе силы ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}$ и ${\mathit{F}}_{\mathit{B}}$ имели одинаковую величину; достаточно малейшего изменения величины одной из них для того, чтобы равновесие было нарушено.

Это теоретическое заключение вполне объясняет, как это отмечалось в п. 58, действие нитей в экспериментальных лабораторных установках; но на практике мы встречаемся также с бесчисленным множеством примеров материальных систем, которые можно уподобить нитям (веревки, канаты, депи и т. д.), расподоженным или навернутым на другие тела и удерживаемым в равновесии силами, приложенными к концам и далекими от того, чтобы иметь равные величины. Если канат намотан на столб, стоящий на берегу реки, то при достаточном числе витков силой одного человека, приложенной к концу қаната, можно воспрепятствовать большой барже плыть по течению реки.

В таких случах равновесие, которое при отсутствии трения теоретически было бы невозможным, обусловливается трением нити о поверхность, на которую она опирается или навернута, т. е. мы встречаемся с обстоятельствами, подобными тем, которые мы иллюстрировали в п. 17 предыдущей главы примером лестницы.

Для исследования равновесия в таких случаях обратимся опять к естественным уравнениям
$$F_t+\frac{dT}{ds}=0,F_n+\frac{T}{r}=0,F_b=0$$

и предположим, что активные силы действуют только на концах нити; тогда $\mathit{F}$ будет представлять собой неизвестную силу, с которой поверхность $\sigma$ действует на единицу длины нити. Отбросим, кроме того, предположение об отсутствии трения. В этом случае, ввиду того что реакция $\mathit{F}$ не необходимо нормальна к $\sigma$, касательная составляющая $F_t^{\prime }$ может быть, и вообще говоря, будет отличной от нуля; поэтому, на основании первого из уравнений (68), то же самое будет иметь место и для $dT/ds$, так что натяжение будет, вообще говоря, изменятьея вдоль нити. Задача, которую мы здесь будем рассматривать, и заключаетея в том, чтобы оценить в статических условиях возможную разность между растягивающими усилиями $T_A$ и $T_B$ на концах, или, что одно и то же, разность между величинами ${\mathit{F}}_A$ и ${\mathit{F}}_B$ сил, приложенных к концам нити.

Для этой цели необходимо определить реакцию $\mathit{F}$, отнесенную к единице длины нити, как функцию $s$. Для простоты мы ограничимся здесь рассмотрением частюого (и как увидим, особенно интересного) случая, когда нить располагается на поверхности $\sigma$ вдоль геодезической линии, т. е. вдоль одной из таких кривых, которые дают возможные конфигурации равновесия и при отсутствии трения.

Главная нормаль к веревочной кривой совпадает в этом случае с нормалью к поверхности (II. 57), так что составляющая $F_n$ тождественна с нормальной реакцией поверхности. Кроме того, так как $F_b=0$, то проекция силы $F$ на касательную плоскость, т. е. сила трения (отнесенная к единице длины), направлена по касательной к веревочной кривой и поэтому совпадает с $F_t$.

Рассматривая всякий элемен? $ds$ нити, расположенной на поверхности $\sigma$, как материальную точку, находящуюся в равновесии на пероховатой поверхности, вспомним, что реакция такой поверхности может быть направлена только во внешнюю для тела часть пространства и не должна лежать вне соответствующей полости конуса трения.

Теперь из второго из уравнений (68) следует, что, для того чтобы натяжение $T$ было положительным, должно быть $F_n<0$; это, так как реакция $\mathit{F}$, как мы видели, может быть направлена только во внешнюю для тела часть пространства, означает, что главная нормаль к веревочной кривой (направленная к центру кривизны) направлена внутрь тела, или, другими словами, веревочная кривая обращена во всякой своей точке вогнутостью к телу, ограничиваемому поверхностью $о$.

Другое условие для реакции, указанное ранее, выражается соотношением
$$\left|F_t\right|⩽f\left|F_n\right|,$$

где $f$ обозначает коэффициент трения. Отсюда, принимая во внимание естественные уравнения (68), зак.ючаем, что при равновесии нити между натяжением и его дифференциалом должно существовать соотношение
$$|dT|⩽f\frac{T}{r}|ds|.$$

Подезно отметить, что, при сделанных предположениях, неопределенные уравнения равновесия по сүществу приводятся́ к соотношению (69′). Действительно, достаточно, чтобы оно удовлетворялось, для того чтобы существовала реакция поверхности о [величина $\mathit{F}$, определяемая из уравнений (68)], способная обеспечить равновесие каждого элемента нити.

Из соотношения (69) мы снова находим, что предположение $f=0$ влечет за собой равенство $dT/ds=0$, или же $T=$ const; при произвольном $f$ соотношение ( ${69}^{\prime }$ ) показывает, что натяжение должно изменяться мало и при прочих равных условиях будет изменяться тем менее, чем меньпе будет $f$.
61. Определим төперь наибольшее значение разности между натяжениями $T_A$ и $T_B$ на концах, при юоторой еще возможно равновесне.

Пля этой цели условимся, во-первых, считать положительной дугу $s$, отсчитываемую от $A$ к $B$, и, во-вторых, заметим, что, если имеется сумма конечного чнсла слагаемых $\sum _{i=1}^n{a}_i$, не зависимых между собой и таких, что кажде $a_i$ может быть как положительным, так и отрицательным, но не может превзойти по абсолютной величине некоторого максимума $m_i$, то рассматриваемая сүмма будет иметь наибольшее значение по абсолютной величине только тогда, когда слагаемые или вее положительны, или все отрицательны и каждое достигает соответствуютего максимума абсолютной величины. Это замечание мы можем применить $\mathrm{k}$ нашему случаю, переходя к пределу и принимая во внимание, что разность $T_B-T_A$ есть сумма элементов $dT$ на отрезке нити от $A$ до $B$. При наибольшем значении разности $T_B-T_A$ мы должны иметь в силу соотношения ( ${69}^{\prime })$
$$dT=\pm f\frac{T}{r}ds,$$

где вдоль всей нити будет или знак щлюс или знак минтс. Мы можем предположить, что имеем знак плюс (т. е. что натяжение возрастает, когда мы идем вдоль нити в направлении от $A$ к $B$ ), так как в противном случае довтаточно изменить положительное направление отсчета дуг на нити. При этом предположении, разделив обе части предыдущего равенства на $T$ и проинтегрировав от $A$ до $B$, получим
$$\ln \frac{T_B}{T_A}={\int }_{AB}f\frac{ds}{r},$$

в то время как в случае, когда имеем знак минус, будет существовать аналогичная формула, которая получается из предыдущөй, если мы в левой части заменим $T_A$ на $T_B$.

Это и есть соотношение, которое должно существовать между натяжениями $T_A$ и $T_B$ при наибольпей разности этих натяжений (совместной с равновесием). Если натяжение на одном из концов, например $T_A$, задано, то тем самым $T_B$ будет однозначно определено и, следовательно, будет тажже определено и численное значение указанной выше наибольшей разности натяжений.

Особенно интересен случай веревки, навернутой по дуге окружности на круглый цилиндр. Радиус кривизны $r$ совпадает тогда с радиусом цилиндра, и если обозначим через $\theta$ центральный угол, заключенный между $A$ и $B$ (считаемый положительным от $A$ к $B$ ), то $ds$ будет равно $rd\theta$. Предполагая $f$ постоянным, из уравнения (70) получим
$$\ln \frac{T_B}{T_A}=f^{\theta },$$

или
$$\frac{T_B}{{\overline{T}}_A}=e^{f\theta }.$$

Отсюда мы видим, что наибольпее отношение натяжений, допустимое без нарушения равновесия, зависит от величины угла $\theta$, но не от радиуса цилиндра.

Так как показательная функция $e^{f^{\theta }}$ растет очень быстро, то достаточно обернуть веревку вокртг цилиндра небольше число раз для того, чтобы могло существовать равновесие при огромной разнице между натяжениями.

Пусть, например, $f=1/3$ и требуется намотать веревку на горизонтальный цилиндр таким образом, чтобы весом в 1 ж, приложенным к одному концу веревки, уравновесить груз в $1\mathrm{m}$, подвещенный на другом кощце веревки. Вследетвие равенства (71) необходимо, чтобы $f\theta$ было равно, по крайней мере, $\ln 1000$; так как отношение между десятичным логарифмом (который мы будем обозначать $\lg$ ) и натуральным логарифмом одного и того же числа есть $0,434\dots$, достаточно будет принять
$$\theta ⩾3\frac{\lg 1000}{0,434}=\frac{9}{0,434}=20,7.$$

Так как каждому витку соответствует угол $2\pi$, то число необходимых витков будет $⩾20,7/2\pi =20,7/6,28$; таким образом, при четырех витках цель будет достигнута с избытком.