34. Определение и характЕРистическиЙ постулат. Рассуждения, подобные тем, которые были применены в § 2 к односвязным стержневым системам, позволяют рассмотреть задачу о равновесии гио́кой и жерастяжимой жити. Под этим названием подразумевается всякая материальная система одного измерения (см. г.л. X, п. 5), обладающая следующими свойствами:
a) под действием подходящих сил система может расположиться по любой геометрической линии;
1) Collected Papers, т. 1, етр. 514-525, т. 2, стр. 161 – 207.
2) Луиджи Кремо о а родилея в Павии в 1830 г., умер в.Риме в 1903 г. Преподавал последовательно в университете в Волонье, в Высшем техническом институте Милана и с 1873 г. до конца жизни в университете в Риме, руководя одновременно там же Школой инженеров. Из многочисленных научных трудов Кремона, которые, кроме мемуара, приведенного в тексте, вуходят из области механики, эдесь достаточно упомянуть открытие бирациональных преобразований, связанных с его именем.
3) Милан, 1872. См. также: Oper matematiche, т. III, стр. 336-366. Более рбширные и систематические прнложения этого метода можно найти y C.S aviotti, La Statica grafica, т. III, Милан, 1878; L. H enneberg, Die graphische Statik der starren Systeme, Лейпциг, 1911; M. Levy, La Statique graphique, ч. I, изд. 3, Париж, 1907. [См. также В. Л. Кир пичев, Основания графической статики, 1923. (Iрия. ред.)]

б) дуга между какими-либо двумя точками системы сохраняет во всякой возможной ее конфигурации одну и ту же длину.

Примем в качестве постулата следующий физически непосредственно очевидный статический принцип: для равновесия гибкой и нерастяжимой нити $A B$, находяцейся под действием двух сил $F_{1}, F_{2}$, приложенных к ее концам, неободимо и достаточно, чтобъ нить была прямолинейно и силы были растягивающими, равными по величине и направленными в противоположные сторонъ.

Для краткости в изложении этой главы, говоря о нитях, мы будем всегда подразумевать, что они гибки и нерастяжимы, т. е. обладают только что указанными свойствами „а“, „б\”.
35. НАтяжение. Из постулата предыдущего пункта можно вывести важное следствие. Выбрав какую-нибудь точку $P$ нити между концами $A$ и $B$ (фиг. 62), применим к одной из двух частей нити, например, к $A P$, основные условия равновесия. Так как внешние силы (относительно $A P$ ) сводятся к двум: к силе $\boldsymbol{F}_{1}$, приложенной в точке $A$, и к неизвестному усилию $\mathbf{\Phi}$, которое испытывает точка $P$ со стороны смежного с нею элемента части $P B$ нити, то мы видим, что усилие $\boldsymbol{\Phi}$ должно быть прямо противоположно силе $\boldsymbol{F}_{1}$, т. е. равно $\boldsymbol{F}_{2}$. Таким образом, усилие $\boldsymbol{\Phi}$ всегда направлено так, что оно растягивает часть $A P$ нити, т. е. от $P \approx B ;$ поэтому его называю натяжением. Натяжение одно и то же для всех точек $P$ нити.

Совмещая, в частности, $P$ с $A$, мы увидим, что $A$ испытывает со стороны нити натяжение, равное силе $\boldsymbol{F}_{2}$, прямо приложєнной на другом конце. Таким образом, действие силы передается неизменным вдоль нити, пока нить прямолинейна, находится в равновесии и на нее не действуют другие силы, кроме сил, приложенных на концах.

Этой передачей силы посредством нити мы уже пользовались во многих конкретных примерах (и при менее простых обстоятельствах); при этом мы пришли к некоторым законам, хотя и. приближенным путем (гл. VII, § 6). liак на самом деле протекает это явление, мы исследуем в п. 58 .
36. Условия равновесия. Рассмотрим теперь часть нити, на которую силы действуют не только на концах, но также и в некотором числе (конечном) каких-нибудь промежуточных точек.

Обозначим через $P_{1}$ и $P_{n}$ два конца, через $P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n-1}$ промежуточные точки, к которым приложены силы, и через $\boldsymbol{F}_{i}$ силу, приложенную в $P_{i}(i=1,2, \ldots, n)$.

Для того чтобы знать, может ли и при каких условиях (если может) нить находиться в равновесии, заметим прежде всего, что в силу принятого постулата отдельные части $P_{i} P_{i+1}(i=1,2, \ldots$ $\ldots, n-1)$ нити должны быть прямолинейными.

Выбрав какие-нибудь две точки $A_{i}$ и $B_{i+1}$ (фиг. 63) между $P_{i}$ и $P_{i+1}$ (в нашисанном порядке), найдем, что часть $A_{i} B_{i+1}$ нити должна находиться в равновесии под действием натяжений на концах. Обозначим через $\boldsymbol{\Phi}_{i, i-1}$ натяжение, действующее в $B_{i+1}$; при равновесии, как мы видели, оно направлено в сторону от $P_{i}$ к $P_{i+1}$ и не зависит от положения $B_{i+1}$. Аналогично, обозначим через $\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i}$ натяжение, действующее в $A_{i}$; оно направлено в сторону от $P_{i+1}$ к $P_{i}$, не зависит от положения $A_{i}$ и уравновешивает натяжение $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$, что выражается равенством
\[
\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}=-\boldsymbol{\Phi}_{i+1, i},
\]

где индекс $i$ может принимать значения $1,2, \ldots, n-1$. Эти векторные соотношения между натяжениями тождественны по форме с равенствами (4) п. 5, которые получаютея для усилий в случае равновесия системы, состоящей из твердых стержней, сочлененных посредством шарниров. Прежнюю форму сохраняют также и другие условия равновесия.

Действительно, выразим то обстоятельство, что элемент $B_{i} P_{i} A_{i}$ нити, содержащий точку $P_{i}(i=2,3, \ldots, n-1)$, находится в равновесии. Предтавляя себе, что $B_{\boldsymbol{i}}$ и $A_{\boldsymbol{i}}$ бесконечно близки к $P_{i}$, мы можем рассматривать этот элемент как материальную точку, на которую действуют три силы: прямо приложенная сила $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ и натяжения нити в $B_{i}$ и в $A_{i}$, соответственно равные $\boldsymbol{\Phi}_{i, i-1}=$ $=-\Phi_{i-1, i}, \Phi_{i, i+1}$. Прираннивая нулю их результирующую, получим равенства (5) п. 5. Аналогнчно, рассматривая два крайних элемента типа $P_{1} A_{1}, B_{n} P_{n}$ (фиг. 64) и принимая их за материальные точки, мы будем иметь уравнения (6) п. 5 для концов.

Мы установили, таким образом, необходимость условий (4), (5), (6). Но они также и достаточны для равновесия, поскольку они обеспечивают его для любых частей нити, представляющих собой прямолинейные отрезки [что видно из равенства (4)] или элементы, содержащие $P$ [что видно из равенетв (5) и (6)] (при условии, что усилия $\boldsymbol{\Phi}$ представляют собой натяжения).

В заключение мы имеем следующий результат: зибкая и нерастяжимая жить (на которую действуют силь в конечном числе точек) ведет себя в отношении равновесия как система, состояцая из твердых стержней, с одним лишь добавочным ограничением, заключающимся в том, что усилия должны быть только растягивающими.

Таким образом, статические вопросы, относящиеся к нитям, рассматриваются способом, изложенным выше для стержневых систем; однако здесь надо принимать во внимание дальнейшее качественное условие, относящееся к стороне, в которую действуют усилия.

Если для некоторой конфигурации мы установили, что все количественные условия выполнены, но некоторые усилия являютея сжимающими, то надо заключить, что равновесие нити в этой конфигурации невозможно. Для обєспечения равновесия можно было бы, например, заменить некоторые части нити (сжимаемые) твердыми стержнями.

Конфигурация равновесия нити, как и конфигурация стержневой системы, называется веревочным многоугольником; именно случай нити (щрактически веревки или цепи) и дал повод для такого названия.
37. ВИСЯЧИЕ МОСТЫ (РЕАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ). В качестве простого примера рассмотрим канаты, поддерживающие подвесной мост, и отыщем конфигурацию, которая должна соответствовать состоянию равновесия.
Канаты закреплены на концах, а расположенная ниже проезжая часть моста прикрепляется к канатам посредством Фиг. 65. вертикальных тяг, равноотстоящих друт от друга.
Обозначим через $P_{1}$ и $P_{n}$ (фиг. 65) концы одного из двух канатов, через $P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n-1}$ точки прикрепления тяг.

Считая мост горизонтальным (с двумя поддерживающими канатами, расположенными симметритно), можно допустить, что вес $P$ моста равномерно распределен между разлинными тягами, так что на каждую из них действует вес
\[
P^{\prime}=\frac{P}{2(n-2)} .
\]

Пренебрегая по сравнению с $P^{\prime}$ собственными весами канатов и тяг, каждый канат можно уподобитть нити, закрепленной на концах $P_{1}, P_{n}$ и находящейся под действием (равных) весов, приложенных в промежуточных точках $P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n-1}$.

Шредположение, что тяги находятся на одинаковых расстояниях друг от друга, приводит $\mathrm{\kappa}$ тому, что горизонтальнъе проекции различных частей $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1} P_{n}$ каната должны быть равны между собой, так что если $a$ есть длина моста, то общая всем частям длина их проекций будет
\[
\varepsilon=\frac{a}{n-1} .
\]

Для определения веревочного многоугольника мы, очевидно, опять приходим к задаче, рассиотренной в пІ. 11-12, поэтому можно утверждать, что весь канат будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через его концы.

Пользуясь опять обозначенияии п. 12, мы будем иметь в этом случае два упрощающих обстоятельства: все $p_{i}$ равны $P^{\prime}$, и горизонтальные проекции $l_{i} \cos \alpha_{i}$ отдельных частей $P_{i} P_{i+1}(i=1,2, \ldots$ $\ldots, n-1)$ каната также будут одинановы и каждая из них будет равна $\varepsilon$.
Вертикальные проекции $l_{i} \sin \alpha_{i}$ можно выразить в форме
\[
l_{i} \cos \alpha_{i} \operatorname{tg} \alpha_{i}=\varepsilon \operatorname{tg} \alpha_{i},
\]

в то время как равенства (10), (10) принимают вид
\[
\operatorname{tg} \alpha_{i}=\frac{\psi+(i-1) P^{\prime}}{\varphi} \quad(i=1,2, \ldots, n-1),
\]

где $\varphi$ есть постоянная по величине проекция на ось $x$ усилий $\boldsymbol{\Phi}_{1,2}, \boldsymbol{\Phi}_{2,8}, \ldots, \boldsymbol{\Phi}_{n-1, n}$, которне здесь представляют собой натяжения (п. 36). Теперь важно отметтть, что если предноложим ось $x$ ориентированной так, чтобы абсцисса $x_{n}$ точки $P_{n}$ была больше абссиссы $x_{1}$ точки $P_{1}$ (т. е. в сторону от $P_{1}$ к $P_{n}^{n}$ ), то постоянная $\varphi$ будет существенно положительной. Действительно, из того, что каждая из сил $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ является растягивающей, и следует, что она направлена в сторону от $P_{i}$ к $P_{i+1}$ (п. 5), так что постоянная горизонтальная проекция $\varphi$ различных сил $\boldsymbol{\Phi}_{i, i+1}$ могла бы быть отрицательной только в том случае, если бы абсциссы точек $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ убывали (в алгебраическом смысле), что невозможно при условии $x_{n}>x_{1}$.

Отсюда легко вытекает характеристическое свойство веревочного многоугольника, заключаюцееся в том, что его можно вписать в параболу с вертикальной осью. В самом деле, для любой вершины $P_{i}(i=2,3, \ldots, n)$ имеен
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{i}-x_{1}=(i-1) \varepsilon \\
y_{i}-y_{1}=\varepsilon\left(\operatorname{tg} \alpha_{1}+\operatorname{tg} \alpha_{2}+\cdots+\operatorname{tg} \alpha_{i-1}\right),
\end{array}\right\}
\]

как это получается, если спроектировать на обе оси ломаную линию $P_{1} P_{2} \ldots P_{i}$ и принять во внимание, что проекции ее равны соответственно $x_{i}-x_{1}, y_{i}-y_{1}$. Внося во второе из равенств (39) значения тангенсов, даваемые равенствами (12), получим
\[
y_{i}-y_{1}=\frac{\varepsilon}{\varphi}(i-1)\left\{\varphi+P^{\prime} \frac{i-2}{2}\right\}
\]

или, подставдяя вместо $i-1$ и $i-2$ значения, получаемые из первого из равенств (39),
\[
y_{i}-y_{1}=\frac{x_{i}-x_{1}}{\varphi}\left\{\psi+\frac{P^{\prime}}{2 \varepsilon}\left(x_{i}-x_{1}-\varepsilon\right)\right\} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда заключаем, что координаты $x_{i}, y_{i}$ каждой точки $P_{i}$ $(i=1,2, \ldots, n)$ удовлетворяют уравнению
\[
y-y_{1}=\frac{x-x_{1}}{\varphi}\left\{\psi+\frac{p^{\prime}}{2 \varepsilon}\left(x-x_{1}-\varepsilon\right)\right\},
\]

которое выражает параболу с вертикальной осью, обращенную вогнутостью вверх (так как коэффициент $P / 2 \varepsilon \varphi$ члена второй степени относительно $x$ существенно положителен).

Если уравнение (41) отнести к двум осям $\xi, \eta$, параллельным осям $x, y$, направленным в ту же сторону к имеющим начало в самой нижней точке параболы, т. е. в ее вершине $V$, которая имеет координаты
\[
x_{1}+\frac{\varepsilon\left(P^{\prime}-2 \psi\right)}{2 P^{\prime}}, \quad y_{1}-\frac{\varepsilon\left(P^{\prime}-2 \psi\right)^{2}}{8 P^{\prime} \varphi},
\]

то оно примет вид
\[
\eta=\frac{P^{\prime}}{2 \varepsilon \varphi} \xi^{2} .
\]
38. НИТЬ ПоД ДЕЙСТВИЕМ НЕПҒЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУзКи. Рассмотрим тяжелую нить $A B$, находящуюся в равновесии под действием сил $\boldsymbol{F}_{A}$ и $\boldsymbol{F}_{B}$, приложенных к ее концам, и сил тяжести. Сила тяжести (вес) действует на каждый элемент нити; если для определенности предположим, что нить однородна и обладает плотностью (линейной), равной единице (гл. X, і. 6), то можно считать, что каждый материальный элемент нити находится под действием силы $\boldsymbol{g} d s$ (бесконечно малой того же самого порядка, что и $d s$ ), где $\boldsymbol{g}$, как обычно, означает ускорение (вектор) силы тяжести.

Можно представить себе, что нить при помощи надлежащих искусственных приспособлений и благодаря специальным физическим условиям окружающей среды помимо (или сверх) силы тяжести подвергаетея, кроме (конечных) сил $\boldsymbol{F}_{A}, \boldsymbol{F}_{B}$, приложенных на концах, действию жепрерывно распределенных сил, т. е. сил какой угодно природы, действующих на каждую сколь угодно малую часть нити. Так же, как в случае силы тяжести, мы будем считать, что на нить действует бесконечно много бесконечно малых сил, приложенных к различным материальным элементам $d s$ нити; каждую из этих сил можно представить в виде $\boldsymbol{F} d s$, где $\boldsymbol{F}$ есть некоторый конечный и определенный вектор (вообще говоря, непрерывно изменяющийея от элемента к элементу). Вектору $\boldsymbol{F}$ дано название жагрузка, или сила на единичу длижы; модуль (как отношение силы в собственном смысле к длине) не имеет размерности силы. Причиной такого названия является то обстоятельство, что если вектор $\boldsymbol{F}$ остается постоянным вдоль некоторой ұасти нити, то его можно определить кап отношение результирующей сил, действующих на этү часть, к длине самой части, или, другими словами, как результирующую сил, действующих на часть нити, имеющую единицу длины: В общем случае вектор $\boldsymbol{F}$ представляет собой предел только что указанного отношения при стремлении к нулю длины части нити, находящейся под действием сил.

Заметим еще, что всякую систему непрерывно распределөнных сил можно рассматривать как предел системы конечного числа сил, приложенных к дискретной совокупности точек, в предшоложении, что число сил стремится к бескэнечности и соответственно стремится надлежащим образом к нулю всякая приложенная сила. Отсода заключаем, что фигура равновесия нити в случае непрерывно распределенных сил представляет собой кривую (предел переменного веревочного многоугольника), которая называется веревочной кривой. От этих интуитивных соображений мы обратимся теперь к рассуждениям аналитического характера, чтобы придти к дифференциальным уравнениям, определяющим веревочные кривые.
39. НАтяженив. Пусть даны силы $\boldsymbol{F}_{A}$ и $\boldsymbol{F}_{B}$, приложенные к концам нити $A B$, и сила $\boldsymbol{F}$, отнесенная к единице длины нити; всякая часть нити $A P$, заключенная между точкой $A$ и любой точкой $P$ нити, испытывает в точке $P$, вследствие соединения ее с остальной частью $P B$ нити, некоторое усилие $\boldsymbol{T}$, аналогичное усилиям $\boldsymbol{\Phi}$ отдельных стержней веревочного многоугольника. Поэтому для распространения на этот предельный случай свойств усилий, вовникающих при действии дискретных сил, нам придется допустить, что усилие $\boldsymbol{T}$ направлено к точке, бесконечно близкой к $P$, т. е. по касательной к нити в точке $P$, п имеет характер растягивающего усилия. Оно называется натяженнем нити в точке $P$. Поэтому, если условимся обозначать через $s$ дугу $A P$ нити, отсчитываемую в направлении от $A$ к $B$, которое мы будем считать положнтельным, натяжение для всякой пределенной точки нити будет представлять собой вектор, касательный в точке $M$ к нити, направленный в сторону возрастающих значений дуги $s$ и зависящий от $s$.

Усилие в точке $P$, испнтываемое частью $P B$ нити со стороны части $A P$, на основании принципа равенства действия и противодействия равно – $T(s)$.
40. Уравнения равновеоия. Для того чтобы получить уравнения равновесия нити, достаточно выразить то обстоятельство, что силы, действующие на каждый отдельный элемент нити, находятся в равновесии. На любой элемент нити, заглюченный между точками с криволинейными абсциссами $s$ и $s+d s$ (фиг. 66), действуют три силы: активная сила $\boldsymbol{F} d s$, натяжение в конечной точке $s+d s$ элемента,
равное $\boldsymbol{T}(s+d s)$, или, с точностью до бесконечно малых высшело порядка, $\boldsymbol{T}(s)+d \boldsymbol{T}$ и, наконец, натяжение в начальной точке $s$ элемента, равное, в силу сказанного в конце предыдущего пункта, 一 $\boldsymbol{T}(s)$. Так как элемент нити можно рассматривать как материальную точку (см. гл. X, п. 4), то необходимое и достаточное условие равновесия заключается в равенстве нулю результирующей этих трех сил и, следовательно, выражается векторным упавнением
\[
\frac{d \boldsymbol{T}}{d s}+F=0,
\]

которое должно выполняться для каждой точки $P$, внутренжей для дуги $A B$ нити; это уравнение объединяет в себе неопределенжые условия равновесия, т. е. условия равновесия произвольно выделенной части нити. Обратимся теперь к условиям на концах (по существу тождественным условиям (6) II. 5); выражая, тто каждый из концов $A, B$ находится в равновесии под действием соответствующей силы $\boldsymbol{F}_{A}$ или $\boldsymbol{F}_{B}$ и натяжения, действующего на него со стороны нити, мы получим уравнения
\[
\boldsymbol{F}_{A}=-\boldsymbol{T}(0), \boldsymbol{F}_{B}=\boldsymbol{T}(l),
\]

где $l$ означает длину нити.
уравнения (42), (43) вместе дают необходимые и достаточные условия равновесия. Следует заметить (как мы уже имели случай напомнить в п. 6), что необходимые условия равновесия любой материальной системы всегда заключают в себе оба основных уравнения для любой части системы. Первое основное уравнение мы уже приняли во внимание, так как мы применили его к произвольному элементу нити, получив таким образом уравнение (42). Если бы подобным же образом мы применили к этому элементу второе основное уравнение, приравнивал нулю результирующий момент (например, относительно конца $s$ ), то легко увидели бы, что это условие автоматически выполняется в силу предположения, что натяжение $\boldsymbol{T}$ направлено по касательной к нити. Поэтому можно было бы избежать предварительного введения этого геометрического предположения (которое оказывалось очевидным при переходе к пределу от случая веревочного многоугольника) п, наоборот, получить его затем в качестве следствия из второго основного уравнения.
41. Можно сделать вывод, что, как и в случае веревочного многоугольника (п. 6), уравнения (42) и (43), так как они представляют собой необходимые и достаточные условия равновесия, должны содержать основные уравнения как для целой нити, так и
для всякой ее конечной части. Для того чтобы проверить это, достаточно заметить, что и в этом случае каждое из уравнений (42), (43), поскольку оно выражает обращение в нуль результирующей трех (или двух) сил, действующих на один и тот же материальный элемент, который можно рассматривать как точку, можно истолковать как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов. То же самое истолкование остается и для уравнения, которое мы получим, интегрируя уравнения (42) вдоль нити между двумя точками $P^{\prime}, P^{\prime \prime}$ с криволинейными асбциссами $s^{\prime}, s^{\prime \prime}$, т. е. для уравнения
\[
\boldsymbol{T}\left(s^{\prime \prime}\right)-\boldsymbol{T}\left(s^{\prime}\right)+\int_{\boldsymbol{s}^{\prime}}^{\boldsymbol{s}^{\prime \prime}} \boldsymbol{F} d s=0,
\]

которое как раз и выражает, что система всех внешних сил, действующих на любую часть $P^{\prime} P^{\prime \prime}$ нити, векторно эквивалентна нулю.

Уравнения (42), (43), будучи не только необходимыми, но и цостаточными для равновесия, кроме основных уравнений, содержат все те дальнейшие условия, которые достаточны для того, чтобы обеспечить равновесие рассматриваемой (изменяемой) материальной системы.
42. Для того чтобы спроектировать векторное уравнение (42) на оси координат, вспомним, что растягивающее усилие $\boldsymbol{T}$ есть вектор, касательный к нити и направленный в сторону возрастающих дуг $s$, так что оно может быть представлено в виде $T(s) t$, где $\boldsymbol{t}$ есть единичный вектор $d P / d s$ касательной, а функция $T(s)$ существенно положительна. Поэтому проекции вектора $\boldsymbol{T}$ будут равны $T \frac{d x}{d s}, T \frac{d y}{d s}, T \frac{d z}{d s}$. Если телерь $X, Y, Z$ суть проекции силы, относящейся к единице длины, то из уравнения (42) получаем
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d s}\left(T \frac{d x}{d s}\right)+X=0, \\
\frac{d}{d s}\left({ }^{\prime} T \frac{d y}{d s}\right)+Y=0, \\
\frac{d}{d s}\left(T^{r} \frac{d z}{d s}\right)+Z=0,
\end{array}\right\}
\]

Что же касается переменной величины $s$, то она не является произвольным параметром, а представляет собой длину дуги веревочной кривой, так что должна быть связана с $x, y, \boldsymbol{z}$ дифференциальным уравнением
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1
\]

Из предыдущего следует, что задача определения фигуры равновесия нити под действием данных непрерывно распределенных сил приводит к интегрированию системы дифференциальных уравнений. А именно: если силу, приходящуюся на единицу длины, можно рассматривать как позиционную, так что $X, Y, Z$ являются известными функциями от $x, y, z$, то неизвестными задачи, если мы временно отвлечемся от условий на концах, являются четыре функции $x(s)$, $y(s), z(s)$ и $T(s)$, из которых пеңвые три определяют веревочную кривую, а четвертая дает натяжение и, как мы знаем, должна быть существенно положительной.

Для того чтобы определить этк четыре неизвестных, мы имеем три уравнения ( $42^{\prime}$ ) второго порядка (относительно $x, y, z$ ) и одно уравнение (44) первого порядка; произвольные постоянные, от которых зависит общий интеграл, легко вычисляются. Для этой цели заметим, что, продифференцировав уравнение (44), получим
\[
\frac{d x}{d s} \frac{d^{2} x}{d s^{2}}+\frac{d y}{d s} \frac{d^{2} y}{d s^{2}}+\frac{d z}{d s} \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=0,
\]

откуда, выполнив в уравнениях (42′) дифференцирование по $s$ и просуммировав почленно, после умножения их соответственно на
\[
\frac{d x}{d s}, \quad \frac{d y}{d s}, \quad \frac{d z}{d s}
\]

получим
\[
\frac{d T}{d s}=-\left(X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}\right)=-\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{t} .
\]

Теперь, пользуясь этим равенством, достаточно исключить из уравнений (42′) $d T / d s$, чтобы иожно было ошределить из них величины
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}, \quad \frac{d^{2} y}{d s^{2}}, \quad \frac{d^{2} z}{d s^{2}} ;
\]

на основании примечания 2 к п. 18, гл. II (ч. I, стр. 103) мы можем заключить, что общий интеграл системы, состоящей из уравнений ( $\left.42^{\prime}\right)$ и (44\”), зависит от семн произвольных постоянных. Но эта система, как это проверяется вычислением, обратным только что указанному, включает уравнение (44′), так что допускает интеграл
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=\text { const; }
\]

одну из семи произвольных постоянных мы должны выбрать так, чтобы сделать правую часть равной единице. Тавим образом, мы заключаем, что общий интеграл системы (42′), (44) зависит от шести произвольных постоянных, которые должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось столько же независимых условий; например, если в качестве условий на кондах заданы силы $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{A}}$ и $\boldsymbol{F}_{B}$, то при проектировании на оси координат мы получим как раз шесть скалярных уравнений. Но в қонкретных задачах в число данных не входят силы, приложенные к концам; обычно предполагается, что концы нити (имеющей длину $l$ ) прикреплены қ двум данным неподвижным точкам $A$ и $B$. В таком случае шесть произвольных постоянных должны быть определены так, чтобы функции $x(s), y(s), z(s)$ при $s=0$ и $s=l$ были равны заданным координатам точки $A$ и соответственно точки $B$; уравнения (43) служат тогда для определения реакций $\boldsymbol{F}_{A}$ и $\boldsymbol{F}_{B}$ в закрепленных точках.
43. Если нить, кроме непрерывно распределенной нагрузки, находится под действием конечных сил, приложенных в одной или нескольких внутренних точках, то условимся разбивать ее на части, на которые она будет делнться этими точками. Для каждой части продолжают сохранять свое значение предыдущие рассуждения; несколько сложнее будет определение постоянных (шесть для каждой части). Условий, которые должны быть удовлетворены в точках деления, будет также песть для каждой точки: три условия выражают, что две части имеют общую точку, остальные три определяют равновесие этой точки, которая играет роль узла в веревочном многоугольнике.
44. Параллельные силы. В п. 11 мы видели, что веревочный многоугольник, в промежуточных узлах которого действуют параллельные силы, лежит в плоскости, содержащей общее направление сил. Отсюда мы заключаем, переходя к предельному случаю непрерывно распределенных сил, действующих по одному постоянному направлению, что веревочная кривая будет плоской кривой. Это заключение можно получить на основании уравнений ( $\left.42^{\prime}\right)$, предполагая одну из осей, например ось $y$, параллельной силам. Тогда имеем $X=Z=0$ и из первого и третьего уравнений (42′), интегрируя по $s$, получаем
\[
\begin{array}{l}
T \frac{d x}{d s}=\varphi, \\
T^{\prime} \frac{d z}{d s}=C,
\end{array}
\]

где $\varphi$ и $C$ обозначают две произвольные постоянные; после этого, умножая первое из этих уравнений на $d z / d s$, второе на $d x / d s$ и почленно вычитая, получаем
\[
C \frac{d x}{d s}-\varphi \frac{d z}{d s}=0,
\]

откуда, интегрируя еще раз, находим
\[
C x-\varphi z=\mathrm{const} ;
\]

это линейное уравнение между координатами $x, z$ произвольной точки веревочной кривой и выражает то, что она лежит в плоскости, параллельной оси $y$, т. е. параллельной общему направлению агтивных сил. Уравнение это сводится к тождеству. в частном случае, когда $C=\varphi=0$. Этот случай можно оставить в стороне, заметив, что он содержит в себе один из следующих двух случаев: или $T=0$, и тогда, на основании уравнения (42), это означало бы обращение в нуль силы $\boldsymbol{F}$; или $d x / d s=d y / d s=0$, что означало бы прямолинейную веревочную кривую, имеющую то же направление, что и $\boldsymbol{F}$; оба этих тривиальных случая мы будем предполагать исключенными. Поэтому во всех остальных случаях плоскость, содержащая веревочную кривую, будет определена; легко прямо придти к плоской задаче, если за координатную плоскость выбрать плоскость $x y$. Уравнение
\[
T \frac{d z}{d s}=C
\]

сводится тогда к тождеству (постоянная $C$ принимает частное значение нуль) и для определения кривой и растягивающего усилия остаются два уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
T^{\prime} \frac{d x}{d s}=\varphi, \\
\frac{d}{d s}\left(T^{\prime} \frac{d y}{d s}\right)=-Y,
\end{array}\right\}
\]
к. которым надо присоединить уравнение, определяющее параметр $s$ как дугу веревочной кривой
\[
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}=1 .
\]

Постоянная $\varphi$, как это видно из первого уравнения (45), является произвольной постоянной, о которой можно только сказать, рассуждая как и выше, что она отлична от нуля.

Механическое истолкование постоянной $\varphi
eq 0$ вытекает непосредственно из первого уравнения (45): она равна проекции на ось $x$ натяжения $\boldsymbol{T}$, откуда заключаем, что составляющая натяжежия, нормальная ж нешзменному направлению действуюцей силы, постоянна вдоль веревочной кривой.

В этой формулировке мы видим предельный случай свойства, найденного в п. 12 для веревочннх многоугольников; постоянная $\varphi$ в обоих случаях имеет один и тот же смысл.

Заметим, наконец, что интегрирование системы уравнений (45), (46) вводит, кроме $\varphi$, три другие произвольные постоянные, как легко убедиться на основании обычного критерия (гл. II, II. 18 и гл. XIV, II. 42).

Для определения четырех производьных постоянных остаются в силе соображения, которые приведены в п. 42 и 43, в применении к случаю плоской задачи,

45. Висячие мосты (упрощажщее предположение о жепрерывном распределении приложенных сил). В п. 37 мы изучили конфигурацию равновесия канатов, поддерживающих подвесные мосты, предполагая, что вес моста поровну распределен между некоторым конечным числом дискретных точек (точки прикрепления тяг). На основании такого предположедия мы нашли, в качестве конфигурации равновесия каждого подцерживающего каната, многоугольник, вписанный в параболу с вертикальной осью, проходящей через концы каната.

Если число тяг велико̂, то практически можно рассматривать силы как распределенные непрерывно и допустить, что каждый элемент каната поддерживает половину части моста, непосредственно лежащую под этим элементом, между тем как другая половина приходится на второй канат.

Задача, поставленная таким образом, решается даже более просто, чем задача в п. 37 , где расематривались дискретно действующие силы; при этом мы придем к особенно простой формуле, постоянно применяемой в технике.

Прежде чем приступить к аналитическому решению, заметим, что конфигурация равновесия представляет собой параболу с вертикальной осью, обращенную вогнутостью вверх и проходящую через концы (предельный случай вписанного многоугольника).
46. Так как все силы вертикальны, то веревочная кривая будет плоской и можно исходить из үравнений (45) и (46) п. 44, если за плоскость $x y$ принять вертикальную плоскость, шроходящую через концы $A, B$ рассматриваемого каната, а ось $y$ направить вертикально (нацример, вверх), оставляя временно произвольным положение начала.

Веледствие этого, если структура моста одинакова по всей его длине и если мы обозначим чеғез $2 p$ все единицы длины моста, то каждый элемент $d s$ каната будет находиться под деӥствием вертикальной силы, величина которой равна произведению $p$ на горизонтальную проекцию элемента $d s$ (это произведение равно весу половины части моста, находящейея непосредственно под элементом $d s$ ).

Заметим теперь, что в силу первого из уравнений (45), в котором 9 является постоянной (отличной от нуля), $d x / d s$ не может обращаться в нуль. Если выбрать положительное направление (горизонтальной) оси $x$ в сторону от $A$ к $B$, то производная $d x / d s$ всегда будет положительной, так как, не обращаясь в нуль, она не может изменить знак, и если бы она была отрицательной, то абсцисса $x$ должна была убывать, когда $s$ переходит от значения 0 (точка $A$ ) к значению $l$ (точка $B$ ), тогда как, в силу способа выбора положительного нащравления оси $x$, абсцисеа точки $B$ будет больше абсциссы точки $A$.

При этом соглашении $d x$ (пиращение, которое испытывает $x$ при положительном приращении дуги $d s$ ) есть величина существенно положительная и представляет собой горизонтальную проекцию элемента. Сила, действующая на элемент $d x$, равна $p d x$ и направлена по вертикали вниз; поэтому сила, приходящаяся на единицу длины каната, определяется выражением $p d x / d s$, а ее проекция $\dot{Y}$ на ось $y$ (вертигальную и направленную вверх) – выражением
\[
Y=-p \frac{d x}{d s} .
\]

Внося это значение в уравнения (45), получим
\[
\left.\begin{array}{l}
T \frac{d x}{d s}=\varphi, \\
\frac{d}{d s}\left(T \frac{d y}{d s}\right)=p \frac{d x}{d s},
\end{array}\right\}
\]

где постоянную $\varphi$ надо считать положительной; такой же должна быть и функция $T$ по своей природе, а в рассматриваемом случае и $d x / d s$.
47. Найдя таким образом дифференциальные уравнения равновесия, перейдем к их интегрированию.

Из второго уравнения (45′) посредством одной квадратуры получаем
\[
T \frac{d y}{d s}=p x+\mathrm{const} ;
\]

так как до сих пор были определены направления осей, а не положение начала, то мы можем путем поступательного перемещения осей параллельно оси $x$ заставить ось $y$ проходить через точку, в которой касательная горизонтальна, т. е. через точку, в которой $d y / d x=0$ (скоро мы увидим, что речь идет о точке минимума).
Таким образом, мы будем иметь
\[
T \frac{d y}{d s}=p x,
\]

цосле чего достаточно будет разделить почленно это уравнение на первое из уравнений (45′) и исключить $T$ и $s$, чтобы получить дифференциальное уравнение
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{p}{\varphi} x,
\]

интегрирование которого, очөвидно, дает
\[
y=\frac{p}{2 \varphi} x^{2}+\text { const, }
\]

где постоянная интегрирования обращается в нуль вследствие переноса начала координат в точку, лежащую на кривой. Благодаря этому уравнение веревочной кривой принимает вид
\[
y=\frac{p}{2 \varphi} x^{2},
\]

а отсюда видно, что эта кривая есть парабола с вершиной в начале координат, имеющая осью симметрии ось $y$ и обращенная вогнутостью вверх.

Что касается натяжения $T$, то достаточно возвести в квадрат и еложить первое из уравнений ( $45^{\prime}$ ) и уравнение (47) и принять во внимание равенство (46), чтобы получить
\[
T^{2}=p^{2} x^{2}+\varphi^{2} .
\]

Естественно, что натяжение будет минимальным и равным своей ностоянной горизонтальной состявляющей $\varphi$ в самой низкой точке веревочной кривой $(x=0)$.
48. Представляет интерес сравнение параболы (48) с параболой, которую мы получили в п. 37 как описанную вокруг веревочного многоугольника и которая, если отнести ее к главной оси (вертикальной) и касательной в верпине, выражается уравнением
\[
\eta=\frac{p^{\prime}}{2 i \varphi} \xi^{2} .
\]

Если мы примем во внимание соотношения
\[
P^{\prime}=\frac{P}{2(n-2)}, \quad \varepsilon=\frac{a}{n-1},
\]

связынающие $P^{\prime}$ с весом $P$ мсста и расстояние в между тягами с несущей частью $a$ (п. 37), то подучим
\[
\frac{P^{\prime}}{2 \varepsilon \varphi}=\frac{(n-1) P}{4(n-2) a \varphi}=\left(1+\frac{1}{n-2}\right) \frac{P}{4 a \varphi} ;
\]

отеюда, если заставить число $n-1$ тяг (предполагая их равноотстоящими друг от друга) стремиться к бесконечности, получим
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P^{\prime}}{2 \varepsilon \varphi}=\frac{P}{4 a \varphi} .
\]

Мы видим, таким образом, что парабола (40′), описанная вокруг веревочного многоугольника, при $n \rightarrow \infty$ стремится к параболе (48).
49. Как бы ни были заданы јеловия на концах, предназначенные для того, чтобы определить конфигурацию равновесия, эта конфигурация предетавляет собой, при нацлежащем значении механической постоянной, , дугу параболы, выражаемой уравнением (48). В конкретных случаях чаце всего задаютея, дія каждого каната, конды $A$ и $B$, расположәнные на одном и том же уровне, и расстояние а (длина моста илі пролет поддерживающих канатов). Обе точки $A, B$, очевидно, симметричны относительно оси $y$ параболы, так что их абсциссами соответственно будут $\mp a / 2$. Поэтому на основании уравнений для концов (43) и равенетва (49) заключаем, что обе реакции $\boldsymbol{F}_{A}, \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{B}}$ в закрепленных точках по абсолютной величине равны
\[
\sqrt{\frac{1}{4} a^{2} p^{2}+\varphi^{2}} .
\]

Разница в уровнях между концами каната, с одной стороны, и его низшей точкой, с другой, называется стрелой провеса; обозначая стрелу провеса через $f^{\prime}$ и замечая, что она есть не что иное, как общая ордината точек $\boldsymbol{A}$ и $B$, найдем, полагая в уравнении (48) $x=\mp a / 2$,
\[
f=\frac{p a^{2}}{8 \varphi}
\]

это и есть та формула, важная вследствие ее технических приложений, о которой мы упоминали в п. 45.

Остается еще определить соотношение, связывающее механическую постоянную $\varphi$ с данными вопроса, т. е. с величинами $p$ и $a$ и длиной $l$ каната. Очевндно, что $l$ ощределяется длиной дуги параболы (48), заключенной между точками $A$ и $B$; если ввести, на основании уравнения (46), элемєнт дүги $d s$ веревочной кривой, то $l$ примет вид
\[
l=2 \int_{0}^{a / 2} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x,
\]

где радикал должен браться в арифметическом смысле, а производная $d y / d x$ должна быть вычислена на основании уравнения (48). Таким образом, получится
\[
l=2 \int_{0}^{a / 2} \sqrt{1+\frac{p^{2}}{\varphi^{2}} x^{2}} d x,
\]

или, если положить $\mu=p x / \varphi$,
\[
l=\frac{2 \varphi}{p} \int_{0}^{p a / 2 \varphi} \sqrt{1+\mu^{2}} d \mu ;
\]

отсюда, в’ поминая элементарную формулу интегрирования
\[
2 \int \sqrt{1+\mu^{2}} d \mu=\ln \left(\mu+\sqrt{1+\mu^{2}}\right)+\mu \sqrt{1+\mu^{2}},
\]

заключаем, что
\[
l=\ln \frac{\varphi}{p}\left\{\frac{p a}{2 \varphi}+\sqrt{1+\frac{p^{2} a^{2}}{4 \varphi^{2}}}\right\}+{ }^{a} \sqrt{1+\frac{p^{2} a^{2}}{4 \varphi^{2}}} .
\]

Из этой формулы, или, проще, из формулы (50), можно получить приближенное выражение длины $l$, пригодное всякий раз, когда $p a / \varphi$ (отношение между полной нагрузкой и горизонтальной составляющей $\varphi$ натяжения, равной горизонтальной составляющей каждой из сил, приложенных на концах) будет достаточно малым, например таким, четвертой степенью которого можно было бы пренебречь, как это вообще делается в технических задачах.

Так как переменная интегрирования $\mu$ остается всегда меньше, чем $p a / 2 \varphi$, то с тем бо́льшим основанием можно пренебречь степенями $\mu$, начиная с четвертой. Поэтому если применим разложение в ряд Тэйлора к выражению $\sqrt{1+\mu^{2}}=\left(1+\mu^{2}\right)^{1 / 2}$, то можно будет остановиться на втором члене, опуская остаток, содержащий множителем $\mu^{4}$.
Подставляя $1+\mu^{2} / 2$ вместо $\sqrt{1+\mu^{2}}$, получим
\[
l=\frac{\varphi}{p} 2 \int_{0}^{p a / 4 \varphi}\left(1+\frac{1}{2} \mu^{2}\right) d \mu,
\]

огкуда будем иметь приближенное выражение
\[
l=a\left(1+\frac{p^{2} a^{2}}{24 \varphi^{2}}\right) .
\]
50. Однородная цвпь. К задаче, изученной в предыдущих пунктах, присоединим задачу об определении конфигурации равновесия материальной однородной нити, подвешенной за концы в двух заданных точках $A$ и $B$ (не расположенных на одной и той же вертикали) и подвергающейся только действию силы тяжести.

В этом случае все внешние силы также вертикальны, так что (I. 44) веревочная кривая будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через точки $A$ и $B$; предположим, как в п. 46, что ось $y$ направлена вертикально вверх, а ось $x$-так, чтобы абсцисса точки $B$ была (алгебраически) больше абсциссы точки $A$, и сначала оставим положение начала произвольным.

Сила, приходящаяся на единицу длины нити, представляет собой вес (постоянный, так как речь идет об однородной нити) части нити длиной 1. Обозначив через $p$ величину этой силы, будем иметь $X=0, Y=-p$; поэтому уравнения равновесия (45) п. 44 в рассматриваемом случае будут пметь вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
T \frac{d x}{d s} & =\varphi, \\
\frac{d}{d s}\left(T \frac{d y}{d s}\right) & =p ;
\end{array}\right\}
\]

постоянная ? при указанной выше ориентировке осей, как и в общем случае в п: 44 , должна быть положительной.

Исключая $T$ из второго уравнения при помощи первого, получим
\[
\frac{d}{d s}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{p}{\varphi},
\]

где $d y / d x$ означает отношение между приращениями координат вдоль веревочной кривой, соотеетствующее приращению $d s$ дуги. Принимая абсцисеу $x$ за независкмю переменную, а ординату $y$ за функцию, можно придать только что найденному соотношению вид дифференциального уравнения только между координатами $x, y$ точек веревочной кривой.

Если мы напишем для краткости $y^{\prime}$ вместо $d y / d x$ и заметим, что $d s$ можно заменить через $\sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$, то, умножая на $d x$, получим
\[
\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}} d y^{\prime}=\frac{p}{\varphi} d x .
\]

Если цроизводную $y^{\prime}$ рассматривать как вспомогательную неизвестную, то равенство (53) будет дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, которое интегрируется непосредственно и дает
\[
\ln \left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}+y^{\prime}\right)=\frac{p}{\varphi} x+\text { const; }
\]

пользуясь свободой выбора начала осей (у которых неизменны только направления), постоянную интегрирования можно свести к нулю, перенося ось $y$ поступательно в направлении, параллельном оси $x$, так чтобы она (ось $y$ ) прошла через точку, в которой касательная к веревочной кривой горизонтальна, т. е. $y^{\prime}=0$ (мы увидим, что существует только одна такая точка и она будет как раз точкой минимума).
Таким образом, получим
\[
\ln \left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}+y^{\prime}\right)=\frac{p}{\varphi} x,
\]

или, переходя от логарифмов к числам,
\[
\sqrt{1+y^{\prime 2}}+y^{\prime}=e^{(p / \varphi) x} .
\]

Отююда, принимая во вниманге тождество
\[
\left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}+y^{\prime}\right)\left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}-y^{\prime}\right)=1,
\]

выводим
\[
\sqrt{1+y^{\prime 2}}-y^{\prime}=e^{-(p / \varphi) x} ;
\]

это уравнение в результате вычитания из уравнения (54) и сложения с ним дает
\[
\left.\begin{array}{rl}
y^{\prime} & =\frac{1}{2}\left(e^{(p / \varphi) x}-e^{-(p / \varphi) x}\right), \\
\sqrt{1+y^{\prime 2}} & =\frac{1}{2}\left(e^{(y / \varphi) x}+e^{-(p / \varphi) x}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Первое из этих уравнений посредством одной квадратуры дает
\[
y=\frac{\varphi}{2 p}\left(e^{(p / \varphi) x}+e^{-(p / \varphi) x}\right)+\text { const. }
\]

Теперь достаточно выполнить поступательное перемещение осей параллельно оси $y$ (т. е. принягь за новую ординату разность $y$-const), чтобы постоянную ннтегрирования свести $к$ нулю. Таким образом, для веревочной кривой (относительно осей, которые, в силу предыдущего, теперь уже вполне определены) получается уравнение
\[
y=\frac{\varphi}{2 p}\left(e^{(p / \varphi) x}+e^{-(p / \varphi) x}\right) .
\]

С другой стороны, припоминая, что $\sqrt{1+{y^{\prime 2}}^{2}} d x=d s$, и условившись измерять дуги $s$ веревочной кривой, начиная от точки кривой с абсциссой $x=0$ в сторону возрастающих $x$, из второго из уравнений (55) посредетвом одной квадратуры получим
\[
s=\frac{\varphi}{2 p}\left(e^{\left(p^{\prime} \varphi\right) \dot{x}}-e^{-(p / \varphi) x}\right) .
\]

Заметим, что если ввести гиперболические функции
\[
\operatorname{ch} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}, \quad \operatorname{sh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
\]

и положить $\lambda=\varphi / p$, то уравнения (56), (57) примут вид
\[
\begin{array}{l}
y=\lambda \operatorname{ch} \frac{x}{\lambda}, \\
s=\lambda \operatorname{sh} \frac{x}{\lambda} .
\end{array}
\]
51. Кривая (56) или (56′), найденная Гюйгенсом, называется цепной линией и обычно характеризуется названием однородная, если общее название чепных линий распространить на все кривые равновесия тяжелых нитей или депей (также и неоднородных).

Чтобы отдать себе отчет о форме однородной цепной линии, заметим прежде всего, что производная $d y^{\prime} / d x=d^{2} y / d x^{2}$, на основании равенства (53), всегда положительна, так что $y^{\prime}$ постоянно возрастает, а так как функция $y^{\prime}$, кап это следует из первого уравнения (55), обращается в нуль при $x=0$, то мы видим, что она отрицательна при $x<0$ и положительна при $x>0$. Отсюда и из уравнения (56) следует, что ордината $y$ цепной линии всегда положительна (фиг. 67) и стремится к бесконечности при $x \rightarrow \pm \infty$; она монотонно убывает, когда $x$ изменяется от $x=-\infty$ до $x=0$, достигает при $x=0$ минимума (положительного) $\lambda=\varphi / p$ (самая нижняя точка, или вериина $V$ цепной линии) и затем монотонно возрастает при возрастании $x$ от 0 до $+\infty$. Кроме того, так как функция $y$, определяемая равенством (56), представляет собой четную функцию абсциссы (т. е. принимает одни и те же значения для противоположных значений $x$ ), то цепная линия симметрична относительно оси $y$, т. е. относительно вертикали, проходящей через салую нижнюю точку $V$. Отсюда и из единственности минимума следует, что если дуга цецной линии имеет концами две точки $A$ и $B$, расположенные на одном и том Фиг. 67. же уровне, то вся она лежит ниже горизонтали $A B$ и симметрична относительно вергикали, проходящей через середину, что можно было предвидеть на основании статического истольования цепной линии.

Горизонтальная ось $x$, к которой отнесено уравнение (56), называется основанием цепной линии, а существенно положительная ордината $\lambda=\varphi / p$ самой нижней точки называется параметром ее.
52. Как уже указывалось незколько раз, типичная задача состоит в отыскании конфигурации равновесия однородной нити заданной длины $l$, когда даны обе точки прикрепления $A$ и $B$ (не расположенные на одной и той же вертикали).
В. таком случае заранее неизвестно, каково будет положение начала $O$ тех осей, к которым относятея уравнения (56), (57) [или (56′), (57′)], относительно точек $A$ и $B$, между тем как ориентация этих осей известна; обе они лежат в вертикальной плоскости, проходящей через точки $A$ и $B$, и ось $x$ горизонтальна, а ось $y$ вертикальна и направлена вверх. Любая система осей, имеющих такие направления, может быть получена простым постушательным перемещением из той, к которой должны быть отнесены уравнения (56), (57), поэтому более общие уравнения могут быть получены из уравнений (56), (57) при помощи подстановки вместо $x$ и $y$ соответственно $x-x_{0}, y-y_{0}$, где $x_{0}, y_{0}$ обозначают две постоянные величины. Поэтому все сводится к определению трех постоянных (интеграции) $x_{0}, y_{0}$ и $\varphi$ (или, вместо этой последней, $\lambda=\varphi / p$ ) таким образом, чтобы цепная линия проходила через точки $A, B$ и дуга, отсекаемая этими двумя точками, имела заданную длину $l$.

Покажем, что эти условия однозначно определяют три постоянные.

Для этой цели возьмем опять оба уравнения (56), (57) в виде $\left(56^{\prime}\right),\left(57^{\prime}\right)$ и выполним в них указанную выше подстановку, после чего они примут вид
\[
y-y_{0}=\lambda \operatorname{ch} \frac{x-x_{0}}{\lambda}, \quad s(x)=\lambda \operatorname{sh} \frac{x-x_{0}}{\lambda},
\]

где $s(x)$ обозначает криволинейную абсциссу на цепной линии, отсчитываемую от точки с абсциссой $x_{0}$.

Мы всегда можем предположить, что $A$ не выше $B$; с другой стороны, мы можем взять начало координат в точке $A$, направляя ось $x$ от $A$ к $B$, так что, обозначив через $a$ и $b$ координаты, полученные таким образом для точки $B$ и известные в качестве данных, будем иметь $a>0, b \geqslant 0$ и (для того чтобы задача была возможна) $l^{2} \geqslant a^{2}+b^{2}$.

Условие, чтобы цепная линия прошла через точку $A$ (с координатами $x=y=0$ ), поскольку гиперболический косинус есть функция четная, дает уравнение
\[
-y_{0}=\lambda \operatorname{ch} \frac{x_{0}}{\lambda} ;
\]

при этом значении постоянной $y_{0}$ условие, чтобы депная линил проходила также через точку $B$ (с координатами $a$ и $b$ ), щринимает вид
\[
b=\lambda\left(\operatorname{ch} \frac{a-x_{0}}{\lambda}-\operatorname{ch} \frac{x_{0}}{\lambda}\right) .
\]

С другой стороны, в силу определения функции $s(x)$, мы должны иметь
\[
l=s(a)-s(0),
\]

или, на основании второго из үравнений (58) и вследствие того, что гиперболический синус есть функция нечетная,
\[
l=\lambda\left(\operatorname{sh} \frac{a-x_{0}}{\lambda}+\operatorname{sh} \frac{a_{0}}{\lambda}\right) .
\]

После этого, если возведем в квадрат равенства (60), (61), вычтем почленно первое из второго и примем во внимание известное тождество $\mathrm{ch}^{2} z-\operatorname{sh}^{2} z=1$ и формулу сложения для гиперболического косинуса ${ }^{1}$ ), найдем
\[
l^{2}-b^{2}=2 \lambda^{2}\left(\operatorname{ch} \frac{a}{\lambda}-1\right) .
\]
1) Как известно, имеет место формула
\[
\operatorname{ch}\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{ch} z_{1} \operatorname{ch} z_{2}+\operatorname{sh} z_{1} \operatorname{sh} z_{2},
\]

что видно из соотношения
\[
\operatorname{ch}\left(z_{1}+z_{2}\right)=\frac{e^{z_{1}} e^{z_{2}}+e^{-z_{1}} e^{-z_{2}}}{2},
\]

Положим для краткости
\[
\frac{a}{2 \lambda}=\xi
\]

и обозначим через $q^{2}$ известную постоянную, не меньшую 1 (поскольку $l^{2} \geqslant a^{2}+b^{2}$ ),
\[
\frac{l^{2}-b^{2}}{a^{9}} \text {. }
\]

На основании этих обозначений и тождества $\operatorname{ch} z-1=2 \operatorname{sh}^{2} z / 2$ равенство (62) принимает вид
\[
\frac{\mathrm{sh}^{2} \xi}{\xi}=q^{2} .
\]

Соотношение (62′) содержит только неизвестную $\xi$ пли, в конечном счете, горизонтальное натяжение $\varphi$, поскольку
\[
\varphi=\frac{a p}{2 \xi},
\]

и так как $\varphi$ и, следовательно, $\xi$ – существенно положительные величины вместе с $q$, то равенство (62′) эқвивалентно равенству
\[
\frac{\operatorname{sh} \xi}{\xi}=q \text {. }
\]

Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет значение $\xi$. Действительно, припоминая определение гиперболического синуса и подставляя вместо показательных функций, входящих в его выражение, их разложения в степенные ряды по степеням $\xi$, найдем
\[
\frac{\operatorname{sh} \xi}{\xi}=1+\frac{\xi^{2}}{3 !}+\frac{\xi^{4}}{5 !}+\frac{\xi^{6}}{7 !}+\ldots,
\]

откуда следует, что функция в левой части равенства (63) при $\xi=0$ принимает значение 1 , а при $\xi \rightarrow \infty$ стремится к бесконечности, постоянно возрастая. Поэтому она проходит один (и только один) раз через всякое значение $q>1$. Определив таким образом значение $\xi$ и, следовательно, $\lambda=a / 2 \xi$ из равенства (60) или (61), безразлично, будем иметь единственное значение для $x_{0}$, после чего значение $y_{0}$ получится прямо из равенства (59).

Для вычисления $\xi$ можно, например, прибегнуть к обращению ряда (64), что является законным для значений $q$, достаточно близких к 1, которые, именно, и встречаются в конкретных случаях.
если принять во внимание, что
\[
e^{z_{i}}=\operatorname{ch} z_{i}+\operatorname{sh} z_{i}, \quad e^{-z_{i}}=\operatorname{ch} z_{i}-\operatorname{sh} z_{i} \quad(i=1,2) .
\]

Для $z_{1}=z_{2}=z / 2$, принимая во внимание тождество $\operatorname{ch}^{2} z-\operatorname{sh}^{2} z=1$, получим
\[
\operatorname{ch} s-1=2 \operatorname{sh}^{2} \frac{a}{2} \text {. }
\]

53. Остается вычислить натяжение. Для этой дели возьмем снова первое из уравнений (52), написав его в виде
\[
T=\varphi \frac{d s}{d x}=\varphi \sqrt{1+y^{\prime 2}} ;
\]

сопоставляя второе из уравнений (55) и уравнение (56), получим
\[
\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\frac{p}{\varphi} y,
\]

так что будем иметь
\[
T=p y,
\]
т. е. натяжение в любой точке однородной цепной линии равно весу куска нити длиной, равной расстоянию точки от основания.

В частности, равенство (65) подтверждает то известное заранее свойство веревочной кривой, что натяжение является наименьпим в самой низшей ее точке $V$ и имеет там значение $\varphi$ (постоянная касательная составляющая натяжения); если рассматривается дуга цепной линии, концы которой $A$ и $B$ находятся на одинаковой высоте над основанием (и, следовательно, в силу предыдущего пункта симметричны относительно вертикали точки $V$ ), то натяжение достигает в них своего наибольшего значения, определяемого величиной $p y_{0}$, где $y_{0}$ есть общая им ордината. Если обозначим через т это наибольшее натяжение, через $f$ стрелу провеса $y_{0}-\varphi / p$ дуги цешной линии (п. 49), то получим важную для приложений формулу
\[
\tau=\varphi+p f .
\]
54. Случдй вольших ндтяжений. Заслуживает внимания случай, когда нить сильно натянута; под этим подразумевается, что постоянная $\varphi$ (горизонтальная составляющая натяжения) велика по сравнению с полным весом $p l$ нити.

Предцоложим, что отношение $ү a / \varphi$ (где а обозначает пролет, г. е. горизонтальную проещцию рассматриваемой веревочной кривой) достаточно мало для того, чтобы можно было пренебречь его четвертой степенью по сравнению с единицей.

Так как $a \leqslant l$, то указанное условие будет выполняться, если можно пренебречь величиной ( $(l / \varphi)^{2}$. Покажем, что, для того чтобы веревочную кривүю можно было рассматривать как дүгу параболы, достаточно, чтобы можно было пренебречь величиной ( $p a / \varphi)^{4}$.

Действительно, если допустить, что концы $A, B$ лежат по разные стороны от самой нижней точки нити (что өбязательно будет иметь место, если они находятся на одном и том же уровне), то абсцисса $x$ любой точки веревочной кривой по абсолютной величине будет меньше пролета $a$ и даже не может превзойти $a_{/} 2$, если $A$ и $B$ находятся на одной и той же горизонтали.

Поәтому $p x / \varphi$ по абсолютной величине остается меньше $p a / \varphi$, так что вместо $e^{p x / \varphi}$ можно подставить первые четыре члена разложения этой величины в ряд, пренебрегая остаточным членом, содержащим множитель $(p x / \varphi)^{4}$. Подобным же образом можно разложить и функцию $e^{-p x / \varphi}$.
Поступая таким образом, мы получим разложения
\[
\begin{aligned}
e^{p x / \varphi} & =1+\frac{p x}{\varphi}+\frac{1}{2}\left(\frac{p x}{\varphi}\right)^{2}+\frac{1}{3 !}\left(\frac{p x}{\varphi}\right)^{3}, \\
e^{-p x / \varphi} & =1-\frac{p x}{\varphi}+\frac{1}{2}\left(\frac{p x}{\varphi}\right)^{2}-\frac{1}{3 !}\left(\frac{p x}{\varphi}\right)^{3}
\end{aligned}
\]

и приведем уравнение (56) цепной линии к виду
\[
y=\frac{\varphi}{p}+\frac{p}{2 \varphi} x^{2} ;
\]

это уравнение, очевидно, выражает параболу с вертикальной осью и с параметром $p / \varphi$, так что достаточно перенести начало координат в вершину, чтобы привести уравнение (56′) к виду
\[
y=\frac{p}{2 \varphi} x^{2} .
\]

За исллочением лишь иного значения $p$, мы снова находим ту же самую параболу (48), которую мы получили в п. 47 как фигуру равновесия канатов висячего моста, в предположении непрерывно распределенной нагрузки. Если, в частности, рассматривается случай, когда два конца $A, B$ находятся на одном и том же уровне, то длина $l$ нити приближенно выразится формулой (51), к которой и здесь можно было бы придти прямым путем, подставляя в уравнение (57) вместо показательных функций только что указанные разложения их.

Что касается натяжения, то из уравнения (65), приняв во внимание уравнение ( $56^{\prime}$ ), можно вывести приближенное выражение
\[
T=\varphi+\frac{p^{2}}{2 \varphi} x^{2},
\]

которое, если написать его для концов $(x= \pm a / 2$ ), дает наибольшее значение натяжения
\[
\tau=\varphi+\frac{p^{2} a^{2}}{8 \varphi} .
\]

В заключение отметим, что, в том случае, когда натяжение велико ( $р а$ мало по сравнению с ч), цепную линию можно приближенно рассматривать как параболу
\[
y=\frac{p}{2 q} x^{2},
\]

отнесенную к осям с начадом в самой нижней точке; өсли точки прикрепления находятся на одном и том же уровне, то стрела прогиба $f$, длина нити $l$ и наибольшее натяжение определяются (через вес $p$ единицы длины, пролет $a$ и горизонтальную составляющую натяжения на концах $\varphi$ ) формулами (48′) и (51) п. 49 и формулой (67)
\[
f=\frac{p a^{2}}{8 \varphi}, \quad l=a\left(1+\frac{p^{2} a^{2}}{24 \varphi^{2}}\right), \quad \tau=\varphi+\frac{p a^{2}}{8 \varphi} .
\]

Из первого и третьего из этих равенств, очевидно, снова найдем равенство (66).
55. Между случаем нагрузки, пропорциональной длине элемента (однородная цепная линия), и случаем нагрузки, пропорциональной горизонтальной проекции элемента (висячий мост), по отношению к дифференциальным уравнениям (52) и (45′) существует только одно различие: вместо величины $p$ в первом случае, во втором входит величина $p d x / d s$. Если обозначим через $\theta$ угол наклона (к горизонту) касательной к веревочной кривой в любой ее точке, то $d x / d s$ будет не что иное, как $\cos \theta$, так что разность между обеими нагрузками равна $p(1-\cos \theta)$. Еели нить натянута так сильно, что можно пренебречь членами второго порядка относительно $\theta$, то можно пренебречь и величиной $1-\cos \theta$, так что оба случая совнадают.

Таким образом, возможность замены, при данных обстоятельствах, дуги цепной линии дугою параболы можно было предвидеть на основании сравнения дифференциальных уравнений. Однако если мы хотим придать условиям заменяемости (как это делалось в предыдущем пункте) форму, непосредственно выводимую из практических данных вопроса, необходимо предварительно проинтегрировать дифференциальные уравнения.