62. Мы назвали материальной линией (гл. X, п. 5) всякое тело, одно измерение которого настолько преобладает над остальными, что конфигурация системы может достаточно хорошо определяться какой-нибудь одной его внутренней кривой, называемой жаправляющей. Известным примером материальных линий являются гибкие и нерастяжимые нити, которые мы рассматривали в предыдущих параграфах. При изучении вопросов их равновесия мы пренебрегали поперечными размерами нити не только с точки врения геометрической конфигурации, но также и при оценке действия приложенных сил. Действительно, рассматривая силы, под действием которых находится часть матернальной линии, соответствующая любому элементу $d s$ направляющей, мы считали, что. их можно заменить одной силой $F d s$, приложенной в какой-нибудь точке $P$ элемента дуги $d s$. В действительности эта сила заменяет силы, приложенные в различных точках $Q$ рассматриваемого элемента материальной линии. В таких случаях, при поперечных размерах, достаточно малых для того, чтобы с геометрической точки зрения тело можно было рассматривать как линию, с физической точки зрения может оказаться незаконным при оденке действия сил отождествлять все точки $Q$ рассматриваемого материального элемента с точкой $P$, т. е. пренебрегать моментами относительно точки $P$ (а вместе с ними и результирующим моментом) сил, приложенных в различных точках $Q$.

Здесь мы дадим краткие указания о постановке названной статической задачи, когда учитываютея и эти моменты приложенных сил.

63. Отвлекаясь сначала от предположения, что речь идет о материальной линии, рассмотрим тело $S$ какой угодно физической структуры, и допустим, что геометрическая конфигурация тела может быть определена плоской площадкой $\sigma$ (фиг. 68), которая, изменяясь по величине и по форме, движется, описывая своей внутренней точкой $\boldsymbol{P}$ некоторую дугу $A B$ (направляющая) и оставаясь во всяком своем положении нормальной к этой кривой. Обозначим через $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ элементарные площадки на концах $A$ и $B$, обе нормальные, по предположению, к направляющей. Если допустим, для простоты, что каждое сечение тела, нормальное к направляющей, пересекает эту кривую только в одной точке, то сечение, проведенное через любую точку $P$ направляющей, можно определить длиной $s$ дуги $A P$, отсчитываемой в направлении от $A$ к $B$, принимаемом за положительное.

После этого представим себе, что тело $S$ удерживается в равновесии некоторыми силами, приложенФиг. 68. ными в точках площадок $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, и некоторой системой непрерывно распределенных сил, действующих на тело; обозначим через $\boldsymbol{F}_{A}$ и $\boldsymbol{F}_{B}$ результирующие сил, приложенных соответственно к площадкам $\sigma_{1}, \sigma_{2}$, и через $\boldsymbol{M}_{A}, \boldsymbol{M}_{B}$ соответствующие результирующие моменты относительно точек $A$ и $B$.

Что же касается непрерывно распределенных сил, то мы будем предполагать, что они приложены к каждому материальному элементу теда и имеют порядок элемента массы, или, что одно и то же, порядок элемента объема (массовая сила), как, например, для силы тяжести.

Если рассмотрим в теле $S$ любой элементарный слой, т. е. часть тела, заключенную между двумя нормальными сечениями $\sigma$, $\sigma^{\prime}$, соответствующими точками $P$ и $P^{\prime}=P+d P$ направляющей с криволинейными абсциссами $s$ и $s+d s$, то силы, прямо приложенные к материальным элементам слоя, приведутся к результирующей силе, приложенной в точке $P$, и результирующему моменту относительно $P$, которые после выполнения интегрирований по конечной площади $\sigma$ принимают вид $\boldsymbol{F} d s$ и $\boldsymbol{M} d s$, где $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{M}$ обозначают два определенных конечных вектора, представляющих собой функции дуги $s$. Подобно тому как мы условились в случае нитей в п. 38, мы будем называть эти два вектора, характеризующие совокупность активных сил, действующих на элементарный слой, смежный с $\stackrel{P}{P}$, результирующей силой и результирующим моментом системь сил, отнесенными $п$ единице длины направляющей, в точке $P$.

Но при равновесии на каждый элементарный слой, помимо активных сил е результирующей силой $\boldsymbol{F} d s$ и результирующим моментом (относительно $P$ ) $\boldsymbol{M} d s$, действуют силы, приложенные к площадкам $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$ и проиеходящие от соприкосновения со смежными слоями, если рассматривсемый слой не является одним из двух крайних слоев; в этом последнем случае площадка $\sigma_{1}$ или $\sigma_{2}$ подвергается соответственно действию $\boldsymbol{F}_{A}, \boldsymbol{M}_{A}$ или $\boldsymbol{F}_{B}, \boldsymbol{M}_{B}$. Чтобы точнее описать силы, происходящие от соприкосновения с соседними элементами, рассмотрим любое нормальное (промежуточное) сечение с. При равновесии благодаря действию заданных активных сил в сечении о возбуждаются внутренние молекулярные силы, с которыми часть $P B$ тела, или, точнее, ее материальные элементы, непосредственно прилегающие к $\sigma$, действуют на отдельные поверхностные элементы о. Сила, приложенная таким образом к произвольному элементу поверхности $\sigma$, представляет собой бесконечно малую величину одного и того же порядка с элементом поверхности (поверхностная сила). Интегрируя по всей конечной площадке $\sigma$, мы получим для усплий, действующих на площадку $\sigma$ со стороны части $P B$ тела $S$, некоторую результирующую силу $\boldsymbol{\Phi}$ и некоторый результирующшй момент $\Gamma$ относительно точки $P$, представляющие собой конечные функции дуги $s$. Векторы $\mathbf{\Phi}$ и $\mathbf{I}$ называютея соответственно результирующи усилием и результирующим моментом усилий в точке $P$; составляющая усилия $\boldsymbol{\Phi}$, касательная к направляющей (и, следовательно, нормальная к площадке о), и составляющая, расположенная в плоскости $\sigma$, соответственно называются нормальным усилием и перерезывающим усилием; аналогичные составляющие результирующего момента усилий $\mathbf{\Gamma}$ называются крупящим моментом и изгиоающим моментом.

Обращаясь теперь $к$ усилиям, испытываемым частью $P B$ тела в сечении $\sigma$ вследствие соединення ее с частью $A P$, заметим, что усилие, действующее на всякий поверхностный элемент площадки $\sigma$, на основании принциа равенства действия и противодействия прямо противоположно усилию, с которым действует на тот же самый поверхностный элемент часть $P B$; поэтому результирующая сила и результирующий момент (относительно точки $P$ ) усилий, с которыми действует часть $A P$ тела на площадь сечения $\sigma$, будут равны и прямо противоположны $\Phi(s)$ и $\Gamma(s)$.
64. Теперь мы можем написать, исходя из основных уравнений, локальные условия (необходимые) равновесия, т. е. условия, относящиеся к отдельному элементарному слою. Рассматривая сначала неопределенные уравнения, обратимся к какому-нибудь слою, лежащему внутри тела $S . B$ число внешних для слоя сил входят, помимо активных сил с результирующей силой $\boldsymbol{F} d s$ и результирующим моментом (относительно $P$ ) $\boldsymbol{M} d s$, уеилия, иепытываемые слоем на обеих площадках $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$ вследствие его соединения с частями тела $A P, P^{\prime} B$. Соответствующими результирующими усилиями, на основании сказанного в предыдущем пункте, будут – $\boldsymbol{\Phi}(s)$ и $\boldsymbol{\Phi}(s+d s)$, так что первое основное уравнение будет иметь вид
\[
\boldsymbol{\Phi}(s+d s)-\boldsymbol{\Phi}(s)+\boldsymbol{F} d s=0,
\]

или
\[
\frac{d \Phi}{d s}+\boldsymbol{F}=0 .
\]

Для того чтобы написать второе основное уравнение, заметим, что – $\mathbf{T}(s)$ есть результирующий момент относительно точки $P$ усилий, испытываемых площадкой $\sigma$, в то время как $\mathbf{\Gamma}(s+d s)-$ результирующий момент относительно точки $P^{\prime}$ усилий, испытываемых площадкой $\sigma^{\prime}$, так что результирующий момент этих усилий относительно точки $P$ будет равен (гл. I, п. 32)
\[
\mathbf{\Gamma}(s+d s)+d P \times \boldsymbol{\Phi}(s+d s) .
\]

Приравнивая нулю результирующий момент относительно точки $P$ всех внешних сил, действующих на слой, получим второе основное уравнение
\[
\mathbf{\Gamma}(s+d s)-\mathbf{\Gamma}(s)+d P \times \boldsymbol{\Phi}(s+d s)+\boldsymbol{M} d s=0 ;
\]

разделив обе части на $d s$ и перейдя затем к пределу при $d s \rightarrow 0$, получим
\[
\frac{d \mathbf{\Gamma}}{d s}+\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{\Phi}(s)+\boldsymbol{M}=0,
\]

где $\boldsymbol{t}=d P / d s$ означает единичный вектор, касательный к направляющей, ориентированной в сторону возрастающих $s$, т. е. от $A$ ₹ $B$.

Для определения условий на концах достаточно повторить предыдущие рассуждения для двух крайних слоев: так, например, если обратимся к слою, заключенному между крайней площадкой $\sigma_{1}$, проходящей через точку $A$, и сечением $\sigma^{\prime}$, проходящим через точку $\boldsymbol{A}+d \boldsymbol{A}$, то, приравнивая нулю результирующую силу и результирующий момент относительно точки $A$ внешних сил, действующих на слой, получим
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{F}_{A}+\boldsymbol{F}(0) d s+\boldsymbol{\Phi}(d s)=0 \\
\boldsymbol{M}_{A}+\boldsymbol{\Gamma}(d s)+d A \times \Phi(d s)+\boldsymbol{M}(0) d s=0
\end{array}
\]

нереходя к пределу, при $d s \rightarrow 0$, будем иметь
\[
\boldsymbol{F}_{A}+\boldsymbol{\Phi}(0)=0, \quad \boldsymbol{M}_{A}+\mathbf{\Gamma}(0)=0 .
\]

Таким же образом для крайней площадки, проходящей через точку $B$, обозначая через $l$ длину дуги $A B$ направляющей, найдем
\[
\boldsymbol{F}_{B}-\boldsymbol{\Phi}(l)=0, \quad \boldsymbol{M}_{B}-\mathbf{\Gamma}(l)=0 .
\]

65. Уравнения (72), (73), (74) [т. е. $\left(74^{\prime}\right)$ и (74\”)] представляют собой обобщения уравнений (42), (43) п. 40, относящихся к гибким и нераетяжимым нитям. Они даже сводятея к ним, когда моменты $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\Gamma}, \boldsymbol{M}_{\boldsymbol{A}}$ и $\boldsymbol{M}_{B}$ тождественно равны нулю и, кроме того, усилие $\boldsymbol{\Phi}$ действует по касательной к направляющей, так как в этом случае уравнение (72) и первие вз уравнений (74′) п (74\”) совпадают соответственно с уравнениями (42), (43), в то время как уравнение (73) и вторые из уравнений (74′), (74\”) будут выполняться тождественно.

Однако между этими двумя случаями имеются существенные различия, на которых не бесполезно коротко остановиться в этом и следующем пунктах.

В то время как уравнения (42), (43) в силу характеристического постулата для гибких и нерастяжимых нитей (пI. 34, 40), необходимы и достаточны для равновесия, уравнения (72), (74) только необходимы; это станет ясным, если мы вспомним, что при их выводе мы ограничились выражением того, чтобы удовлетворялись основные условия для всякого элементарного слоя тела $S$. Этот слой должен рассматриваться не как материальная точка, а как деформируемая система, и потомч о равновесии его нельзя судить на основании одних только суммарных величин (результирующей силы и результирующего момента активных сил), входящих в уравнения (72)-(74). Таким образом, эти уравнения обеспечивают только возможность, но не действительное существование равновесия.

Уравнения (72), (73) содержат, как и уравнение (42) в случае нитей (п. 40), основные уравнения для всякой конечной части тела $S_{2}$, заключенной между двумя любыми нормальными сечениями $\sigma^{\prime}, \sigma^{\prime \prime}$. К этому выводу можно придти, исходя из самого епособа, посредством которого были получены уравнения (72), (73), но его также легко проверить и непосредственно. Если $P^{\prime}$ и $P^{\prime}$ суть точки направляющей, соответствующие нормальным сечениям $\sigma^{\prime}, \sigma^{\prime \prime}$, и $s^{\prime}, s^{\prime \prime}$ – их криволинейные абсциссы, то прежде всего, интегрируя равенство (40) вдоль направляющей от $P^{\prime}$ до $P^{\prime \prime}$, имеем уравнение
\[
\boldsymbol{\Phi}\left(s^{\prime \prime}\right)-\boldsymbol{\Phi}\left(s^{\prime}\right)+\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \boldsymbol{F} d s=0,
\]

которое и выражает обращение в нуль результирующей всех внешних сил, действующих на рассмагриваемую часть тела $S$.

Что же касается результирующего момента всех внешних сил, который мы для определенности будем вычислять относительно точки $P^{\prime}$, то вспомним прежде всего, что для сил, прямо приложенных к слою, соответствующему любой точке $P$ с криволинейной абсциссой $s$, результирующий момент относительно точки $P$ может
быть обозначен через $\boldsymbol{M}(s) d s$ и на основании уравнения (73) должен удовлетворять уравнению
\[
\boldsymbol{M} d s+d \boldsymbol{\Gamma}+d P \times \boldsymbol{\Phi}=0 .
\]

Результирующий момент всех прямо приложенных сил относительно токи $P$ определяетея равенством
\[
\boldsymbol{M}^{\prime} d s=\left[\boldsymbol{M}+\overrightarrow{P^{\prime} P} \times \boldsymbol{F}\right] d s .
\]

Исключая $\boldsymbol{M}$ посредством уравнения (73′) и принимая во внимание уравнение (72), получим
\[
\boldsymbol{M}^{\prime} d s+d \boldsymbol{\Gamma}+d P \times \boldsymbol{\Phi}+\overrightarrow{P^{\prime} P} \times d \boldsymbol{\Phi}=0,
\]

или
\[
\boldsymbol{M}^{\prime} d s+d \boldsymbol{\Gamma}+d\left\{\overrightarrow{P^{\prime} P} \times \boldsymbol{\Phi}\right\}=0 .
\]

Отсюда, интегрируя вдоль направляющей от $P^{\prime}$ до $P^{\prime \prime}$, получим уравнение
\[
\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \boldsymbol{M}^{\prime} d s-\boldsymbol{\Gamma}\left(s^{\prime}\right)+\left\{\boldsymbol{\Gamma}\left(s^{\prime \prime}\right)+\overrightarrow{P^{\prime} P^{\prime \prime}} \times \boldsymbol{\Phi}\left(s^{\prime \prime}\right)\right\}=0,
\]

которое и выражает то, что результирующий момент относительно точки $P^{\prime}$ всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части тела $S$, равен нулю.
66. Отметим тепөрь другую существенную разницу между уравнениями равновесия нити и уравнениями (72)-(74).

Первые, как мы видели, определяют фигуру равновесия нити, когда заданы внешние силы вдоль нити и условия на концах (типичный случай: нить, закрепленная на концах).

Вместо этого неопределенные уравнения (72), (73) дают шесть скалярных уравнений между силами, конфигурацией и усилиями, шредставляемыми в их совокүпности двумя векторами $\boldsymbol{\Phi}(s)$ и $\mathbf{\Gamma}(s)$, каждый из которых имеет три проекции, так что уравнения (72), (73), дополненные условиями на концах (74), достаточны для определения этих двух векторов в зависимости от задаваемых как угодно сил и конфигурации равновесия.

Интуитивные физические соображения приводят к заключению, что конфигурация равновесия определяется внешними силами и условиямн на концах, если только задана материальная природа системы, как это, например, можно заметить в случае металлического стержня, заделанного на одном конце и подвергающегося действию заданной системы сил на другом.

Отсюда следует, что, для того чтобы рассматриваемую нами статическую задачу представить в виде, отвечающем физической интуиции, необходимо помимо сил (и условий на концах) задать материальную структуру системы и вывести из нее некоторое дальнейшее относящееся к усилиям условие, которое вместе с системой уравнений (72), (73), (74) даст возможность определить в функции указанных выше данных конфигурацию равновесия.

В общем виде эта задача решается в теории упругости. Однако уже в случае гибки и нерастяжимых нитей мы имели первый пример такой физической постановки задачи; теперь в качестве прямой иллюстрадии предыдущих рассуждений мы рассмотрим один типичный случай, в котором вместо двух лишних векторов, входящих в систему (72)-(74), имеется лишь один.
67. Тонкив ствржни. Рассмотрим тело с криволинейной направляющей, равновесие которого мы изучали в предыдущих пунктах, и предположим, что наибольшее измерение $h$ его нормальных сечений $\sigma$ сравнимо с элементом дуги $d s$ направляющей, в том смысле, что может рассматриваться наравне с ним как величина первого порядка. Такое тело в отношении геометричесқой конфигурации можно рассматривать как матернальную линию. Что же касается нагрузок и вызываемых ими усилий, то мы будем считать, что, несмотря на малость поперечных сечений, нужно принимать во внимание также и моменты. Материальная система, определяемая таким образом, посит название тонкого стержня.

Для равновесия тонкого стержня будут иметь силу уравнения (72)-(74) іг. 64, из которых дая удобства мы перешишем здесь неопределенные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \Phi}{d s}+\boldsymbol{F}=0, \\
\frac{d \Gamma}{d s}+t \times \boldsymbol{\Phi}+\boldsymbol{M}=0 .
\end{array}
\]

Но если, как обычно, в качестве типичной активной силы берется вес, то мы приходим к предположению о внешних силах, которое допускает замечательное упрощение уравнений ( $74^{\prime}$ ) и (74′). Именно, руководствуясь поведением силы тяжести, допустим, что величина результирующей $\boldsymbol{F} d s$ всех сил $\boldsymbol{f}$, действующих на различные элементы элементарного элоя тонкого стержня, будет того же самого порядка, что и сумма $\Sigma|f|$ их абсолютных значений ${ }^{1}$ ). Тогда соответствующий результирующий момент $\boldsymbol{M} d s$ (относительно точки $P$, определяющей положение слоя на направляющей) будет иметь порядок величины $\Sigma|f| \delta$, где величина $\delta$ не должна превосходить напбольшего значения $h$ поперечного сечения тонкого стержня, так что вектор $\boldsymbol{M} d s$ будет сравним по величине с $\boldsymbol{F} h d s$. Так как величина $h$ предполагается достаточно малой для того, чтобы ее можно было рассматривать как величину того же порядка,
1) Заметим, что аналогичное предположение об уеилиях $\boldsymbol{\Phi}$ оказалось бы незаконньм.

что и $d s$, то заключаем, что $\boldsymbol{M}$ будет того же порядка, что и $\boldsymbol{F} d s$, или, на основании уравнения (72), того же порядка, что и $d \Phi$. Если мы допустим, в согласии с характером задачи, что изменение усилия $\boldsymbol{\Phi}$ на толщине $d s$ любого слоя, т. е. вектор $d \boldsymbol{\Phi}$, весьма мало по сравнению с самим усилием $\boldsymbol{\Phi}$, то вектор $\boldsymbol{M}$ (который будет порякка $d \Phi$ ) можно считать весьма малым по сравнению с $\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{\Phi}$ (порядка $\boldsymbol{\Phi}$ ). Таким образом, в уравнении (73) надо положить $\boldsymbol{M}=0$, благодаря чему уравнения равновесия стержня приводятея к виду
\[
\frac{d \boldsymbol{\Phi}}{d s}+\boldsymbol{F}=0, \quad \frac{d \boldsymbol{\Gamma}}{d s}+\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{\Phi}=0 ;
\]

в эти уравнения, как уже было указано в конде предыдущего пункта, входят только три вектора $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{\Phi}$ и $\boldsymbol{\Gamma}$. Естественно, что условия на концах сохраняют вид уравнений (74′), (74\”).
68. Если мы отнесем неопредєленные уравнения (75) предыдущего пункта к естественному трехграннику $t, n, b$ направляющей кривой, то получим так называемые внутренние, или естественщые уравнения, аналогичные уравнениям (68) п. 56, относящимся к нитям. Положив
\[
\boldsymbol{\Phi}=\Phi_{1} \boldsymbol{t}+\Phi_{2} \boldsymbol{n}+\Phi_{3} \boldsymbol{b}, \quad \boldsymbol{\Gamma}=\Gamma_{1} \boldsymbol{t}+\Gamma_{2} \boldsymbol{n}+\Gamma_{\mathbf{8}} \boldsymbol{b}
\]

и приняв во внимание формулы Френе (гл. I, п. 79) и очевидное тождество
\[
\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{\Phi}=\Phi_{2} \boldsymbol{b}-\Phi_{3} \boldsymbol{n},
\]

мы найдем, что уравнения (75) перейдут в шесть скалярных уравнений:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d \Phi_{1}}{d s}-c \Phi_{2}+F_{t}=0, & \frac{d \Gamma_{1}}{d s}-c \Gamma_{2}=0, \\
\frac{d \Phi_{2}}{d s}+c \Phi_{1}+\tau \Phi_{3}+F_{n}=0, & \frac{d \Gamma_{2}}{d s}+c \Gamma_{1}+\tau \Gamma_{3}-\Phi_{3}=0, \\
\frac{d \Phi_{3}}{d s}-\tau \Phi_{2}+F_{b}=0, & \frac{d \Gamma_{3}}{d s}-\tau \Gamma_{2}+\Phi_{2}=0 ;
\end{array}
\]

когда мы имеем тонкий стержень с плоской направляющей, относительно плоскости которой можно считать симметричными как активные силы, так и силы молек лярного взаимодействия, внутренние уравнения приводятся к трем уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \Phi_{1}}{d s}-c \Phi_{2}+F_{t}=0, \\
\frac{d \Phi_{2}}{d s}+c \Phi_{1}+F_{n}=0, \\
\frac{d \Gamma_{3}}{d s}+\Phi_{2}=0,
\end{array}
\]

так как в этом случае $\tau=0, F_{b}=\Phi_{3}=0, \Gamma_{1}=\Gamma_{2}=0$.

69. Взяв снова уравнения (75), предположим, что действующая сила $\boldsymbol{F}$ тождественно равна нулю вдоль стержня, как это, например, имеет место, когда речь идет о стержнє, весом которого можно пренебречь по сравнению е силами, приложенными на концах. При таком предположении первое из уравнений (75) имеет интеграл
\[
\mathbf{\Phi}=\text { const, }
\]
т. е. усилие остается постоянным вдоль стержня.

Далее, так как второе из уравнений (75) можно написать в виде
\[
\frac{d \mathbf{\Gamma}}{d s}+\frac{d}{d s}(\overrightarrow{A P} \times \mathbf{\Phi})=0,
\]

то, проинтегрировав его вдоль направляющей от точки $A(s=0)$ до точки $P$ с криволинейной абсциссой $s$, получим
\[
\boldsymbol{\Gamma}(s)+\overrightarrow{A P} \times \boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\Gamma}(0),
\]

или, принимая во внимание второе из уравнений для концов ( $\left.74^{\prime}\right)$,
\[
\boldsymbol{M}_{A}+\boldsymbol{\Gamma}(s)+\overrightarrow{A P} \times \boldsymbol{\Phi}=0 .
\]

Векторное соотношение (77) выражает обращение в нуль результирующего момента относитехьно точки $A$ всех сил, действующих на часть $A P$ стержня; мы могли бы написать это соотношение и непосредственно, как второе из основных уравнений равновесия.
70. Динамомщтры. Результаты предыдущего пункта приложимы к случаю пружинных весов (динамометр), состоящих в основном (гл. VII, п. 14) из пружины, изогнутой по винтовой линии и прикрепленной одним своим концом $A$ к оправе и имеющей на другом конце отросток, расположенный по ее оси; на ғонец $B$ отростка действует осевая сила $\boldsymbol{F}_{B}\left(\boldsymbol{M}_{B}=0\right)$. Ввиду того что мы можем здесь пренебречь весом пружины $(\boldsymbol{F}=0)$, усилие $\boldsymbol{\Phi}$ будет постоянным и, вследствие первого из уравнений для концов (74\”), равным $\boldsymbol{F}_{B}$. Кроме того, из уравнения, аналогичного уравнению (77) и относящегося к- концу $\dot{B}$, полагая в нем $\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{B}}$ и $\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{B}}=0$, выводим
\[
\mathbf{\Gamma}(s)+\overrightarrow{B P} \times \boldsymbol{F}_{B}=0,
\]
т. е. в любой точке $P$ момент $\mathbf{\Gamma}$ усилий по абсолютной величине равен, а по знаку противоположен моменту относительно этой точки силы $\boldsymbol{F}_{B}$.
71. Плоская эластика. В качестве последнего приложения результатов п. 69 рассмотрим тонкий стержень $A B$, который в состоянии естественного равновссия, т. е. при отеутствии всякой активной силы, имеет форму плоской кривой. Предположим, что он достиг состояния вынужденного равновссия под действием данных активных сил, приложенных к его концам и симметричных относительно его плоскости, т. е. под действием двух сил $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{A}}$ и $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{B}}$, приложенных к кондам $A$ и $B$ и лежащих в плоскости стержня, и двух (изгибающих) моментов $\boldsymbol{M}_{A}$ и $\boldsymbol{M}_{B}$, перпендикулярных к этой плоскости.

Из соображений симметрии следует, что фигура равновесия стержня будет плоской; а так как весом стержня в этом случае можно препебречь, т. е. положить $\boldsymbol{F}=0$, то усилие $\boldsymbol{\Phi}$ будет постоянным вдоль стержня. Для возможности равновесия, на основании уравнений для концов $\left(74^{\prime}\right),\left(74^{\prime \prime}\right)$, должно быть
\[
\boldsymbol{\Phi}=-\boldsymbol{F}_{A}=\boldsymbol{F}_{B} .
\]

Кроме того, при равновесии будет удовлетворяться уравнение
\[
\frac{d \mathbf{\Gamma}}{d s}+\boldsymbol{t} \times \boldsymbol{\Phi}=0,
\]

которое здесь сводится $\kappa$ скалярному соотношению, так как оба вектора в левой части перпендикулярны к плоскости фигуры.

Для того чтобы из этого уравнения можно было определить фигуру равновесия, необходимо задать некоторые дополнительные условия (п. 66). Чтобы охарактернзовать упругие стержни, вводятся два предположения, подсказываемые непосредственно интуицией, одно – качественного, другое – количественного характера.
a) Если предположим, что тонкий стержень сначала имеет прямолинейную форму и будем рассматривать его в каком-нибудь состоянии упругой деформации, оказываетея естественным рассматривать изгибающий момент $\Gamma$ в любой точке $P$, происходящий от внутренних действий, как момент упругих реакций, которые стремятся уничтожить искривление стержня, т. е. заставляют сечение, проведенное через точку $P$, врацаться в ту сторону, поворот в которую уменьшает кривизну направляющей. Припоминая, что единичный касательный вектор $\boldsymbol{t}$ предполагается направленным в сторону возрастающих $s$, т. е. от $A$ к $B$, и что вектор $\boldsymbol{n}$ направлен к центру кривизны, мы увидим, что указанное предположение качественного характера можно сформулировать так: изгибающий момент $\boldsymbol{\Gamma}$ стремится повернуть вектор $\boldsymbol{n}$ в сторону вектора $\boldsymbol{t}$ и поэтому должөн иметь направление, противоположное направлению вектора бинормали $\boldsymbol{b}$.
б) Что же касается величины $\Gamma$ изгибающего момента, то допускают, что во всякой точке $P$ направляющей она пропорциональна разности значений $c_{0}$ и $c$, которые имеет гривизна в $P$, когда стержень находится в естественном состоянии и в условиях рассматриваемого вынужденного равновесия; т. е. полагают
\[
\Gamma=B\left|c-c_{0}\right|,
\]

где $B$ обозначает положительную постоянную величину. Это соотношение, которое восходит к Якову и Даниилу Бернули ${ }^{1}$ ) и к Эйлеру, соответствует схематическому, но геометрически наглядному представлению о внутреннем механизме упругих явлений в балке и составляет теоретическую основу науки о сопротивлении материалов.
72. Для того чтобы освободить уравнение (79) от знака абсолютной величины, необходимо ғапомнить некоторые сведения из анализа бесконечно малых. Если дана плоская кривая и за параметр выбрана длина дуги $s$ (отсчитываемая от любой ее точґи), то равенства
\[
x=x(s), \quad y=y(s)
\]

будут ее параметрическими уравнениями относительно каких-нибудь заданных осей координат.

Пусть $\theta$ есть угол (отсчитываемый как положительный в направлении от оси $x$ к оси $y$ ), который касательная в любой точке $P$ кривой, ориентированной в сторону возрастающи $s$, образует с положительным направлением оси $x$; обозначая дифференцирование по $s$ штрихами, будем иметь
\[
x^{\prime}=\cos \theta, \quad y^{\prime}=\sin \theta, \quad x^{\prime \prime}=-\sin \theta \frac{d \theta}{d s}, \quad y^{\prime \prime}=\cos \theta \frac{d \theta}{d s},
\]

откуда следует
\[
x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{n} y^{\prime}=\frac{d \theta}{d s} .
\]

Если обозначим через $k$ производную $d \theta / d s$ (отношение угла смежности к соответствующей элементарной дуге), абсолютное значение которой есть кривизна $c$ кривой в рассматриваемой точке, то будем иметь
\[
k= \pm c ;
\]
1) Яков Бернудли родился в Базеле в 1654 г., умер там же в 1705 г., был в течение многих лет профессором математики в Базельском университете. Последователь Лейбница, он епособствовал распространению анализа бесконечно малых и был одним из первых основоположников систематического изложения интегрального исчисления. Применял новые методы к вопросам механики, касающимея, в частности, цепной линии, таутохроны и нлоской эластики.

Даниил Бернулли, сын Ивана Бернулли, родилея в Базеле в 1700 г. и умер там же в 1782 г. Ближайший друг Эйлера, был его еотрудником в течение двадцати лет в Петербурге; затем вернулся в Швейцарию и преподавал, последовательно, медицину, метафизику и натуральную философию. Помимо известных работ по основаи теории упругости и сопротивления материалов, указанных в текете, мы обязаны ему исследованием по гидродинамике (содержащим, между прочим, знаменитую формулу, носящую его имя), известными исследованиями о колебаниях струны и первой научной попыткой создания кинетической теории газов.

остается выбрать знак, который мы должны приписать величине $k$ (кривизна со знаком) в отличие от величины $c$, по определению существенно положительной (гл. 1, п. 73).

Для этой цели заметим прежде всего, что $k=d \theta / d s$ не зависит от выбора осей координат (если, конечно, рассматриваются только пары осей, конгруентных друг другу в плоскости): действительно, длина дуги $s$ не зависит от выбора осей, а угол $\theta$ при изменении положения осей (если остается неизменным положительное направление вращения) возрастает во всех точках кривой на одну и ту же. постоянную, положительную или отрицательную, так что приращение $d \theta$ остается неизменным. Следовательно, для определения знака $k$ мы можем обратиться к осям, выбранным наиболее удобным образом. Именно, мы возьмем за начало координат произвольную точку $P$ кр́ивой и за ось $x$ касательную в $P$, направленную в сторону возрастающих $s$, вследствие чего ось $y$ будет однозначно определена тем условием, что она должна составлять с осью $x$ систему осей, конгруентных с системой первоначальных осей. Относительно новых осей в точке $P \equiv 0$ мы будем иметь
\[
x^{\prime}=1, \quad y^{\prime}=0
\]

и, на основании равенства (80),
\[
y^{\prime \prime}=k \text {; }
\]

так что в неносредственной близости от точки $P$ разложения $x, y$ в ряд Тэйлора примут вид
\[
\begin{array}{l}
x=s+\ldots, \\
y=\frac{1}{2} k s^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Отсюда непосредственно следүет, что, в зависимости от того, будет ли $k>0$ или $<0$, кривая будет обращена вогнутостью в сторону положительных $y$ или в противоположную сторону. Обращаясь к обычным единичным векторам $\boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{n}$ и вспоминая, что вектор $\boldsymbol{n}$, по определению, всегда обращен в сторону вогнутости кривой, мы можем высказать предыдущее замечание так: кривизна $k$ будет положительной или отридательной в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление вращения от $\boldsymbol{t}$ к $\boldsymbol{n}$ в плоскости кривой с направлением вращения от оси $x$ к оси $y$, или также в зависимости от того, совнадает или не совпадает направление вектора бинормали $\boldsymbol{b}$ с положительным направлением оси $z$.
73. Вернемся теперь к случаю тонкого стержня, первоначально прямолинейного и находящегося в состоянии упругой деформации. Так как изгибающий момент $\mathbf{\Gamma}$ всегда направлен в сторону, противоположную стороне $\boldsymbol{b}$ (качественная гипотеза „а“ п. 71 ), тогда как кривизна $l= \pm c$ будет подожительной или отрицательной, в зависимости от того, будет ли сторона $\boldsymbol{b}$ совнадать со стороной направления оси $z$ или нет, то количественное предположение (79) в том случае, когда имеем $c_{0}=0$, можно написать в более определенном виде
\[
\Gamma_{z}=-B k .
\]

Число $k$ здесь можно рассматривать как разность между кривизной (со знаком) в состоянии упругого и кривизной в состоянии естественного равновесия. С этой точги зрения предыдущее уравнение можно непосредственно распространить на случай направляющей, уже искривленной в естественном состоянии равновесия, и написать в виде
\[
\Gamma_{z}=-B\left(k-k_{0}\right) .
\]
74. Мы ограничимся случаем $k_{0}=$ const, т. е. предположением, что в естественном состоянии тонкий стержень имеет форму дуги окружности или, в частности, прямолинейного отрезка. Если усилие $\Phi$ (постолнное вдоль тонкого стержня, п. 69) равно нулю и, следовательно, равны нүлю силы $\boldsymbol{F}_{A}, \boldsymbol{F}_{B}$, действующие на концах, то из равенства (78) мы увидим, что вдоль тонкого ттержня изгибающий момент $\mathbf{\Gamma}$ остается постофнным, так что на основании равенства ( $79^{\prime}$ ) постоянной будет также и кривизна; т. е. фигурой равновесия плоского тонкого стержня (плоская эластика) будет все еще дуга окружности (или прямолинеӥный отрезок).

Еели $\boldsymbol{\Phi}
eq 0$, то достаточно взять ось $x$ параллельной $\boldsymbol{\Phi}$ и направленной в ту же сторону пля того, чтобы уравнение (78), спроектированное на ось $z$, приняло вид
\[
\frac{d \Gamma_{z}}{d s}-\Phi \frac{d y}{d s}=0
\]

Если принять во внимание равенство (79′) и припомнить, что
\[
k=\frac{d \theta}{d s} \quad \text { и } \quad \frac{d y}{d s}=\sin \vartheta,
\]

то
\[
B \frac{d^{2} \theta}{d s^{2}}=-\boldsymbol{\Phi} \sin \theta ;
\]

положив
\[
B=\boldsymbol{\Phi} l^{2}
\]

и подставив в предыдущее уравнение, мы получим
\[
\frac{d^{2} \theta}{d s^{2}}=-\frac{1}{l^{2}} \sin \theta .
\]

Это и есть цифференциальное уравнение, определяющее плоскую эластику в предноложении $c_{0}=$ const.

Не останавливаясь на аналитическом іредставлении пнтеграла этого уравнения, мы ограничимся замечанием, что если стержень в естественном состоянии является прямолинейным и подвергается небольшому изгибу, как это происходит в случае тонкого прямолинейного стержня, заделанного одним концом и подвергающегося на другом конде действию сил, направление результирующей которых мало отличается от направления стержня, то угол между касательной к направляющей в любой точке и ориентированным направлением усилия Ф можно рассматривать как малую величину первого порядка; уравнение (81) сведется тогда к уравнению
\[
\frac{d^{2} \theta}{d s^{2}}=-\frac{\theta}{l^{2}},
\]

которое интегрируется в тригонометрических функциях (гл. II, II. 36$)$.