Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
33. Рассмотрим материальную точку $P$, находящуюся вблизи от земной поверхности, и предположим, что $P$ не находится в соприкосновении с другими телами, и на нее не действуют силы, происходящие от каких-либо специальных устройств. Тогда остается одна сила, „вес“ точки $P$, которую можно, следовательно, рассматривать, как такую силу, уравновесив которую, мы помешаем точке падать или, иначе, удержим ее в (относительном) равновесии по отношению к Земле. Сопоставим это экспериментальное утверждение с законом всемирного тяготения (г. XI, I. 2). Согласно этому закону на нашу материальную точку $P$ (которая, как мы сказали, предполагаетел свободной от действия какой-либо искусетвенно вызванной силы) действуют силы притяжения других тел и только эти силы. Так как, далее, благодаря огромным расстояниям, притяжения различных небесных тел будут ничтожны по сравнению с земным притяжением $\boldsymbol{G}$, то это притяжение и будет по существу единственной силой, действующей на $P$. Поэтому для того, чтобы удержать точку $P$ в абсолютном равновесии, необходимо и достаточно было бы уравновесить силу $\boldsymbol{G}$. Если же мы хотим рассматривать относительное равновесие по отношению к ссям, неизменно связанным с Землей, то мы должны (п. 3) присоединить к $\boldsymbol{G}$ переносную силу инерции $\chi$, происходящую от днижения этих осей (относительно неподвижных звезд). Таким образом, основываясь на законе всемирного тяготения, мы приходим к заключению, что вес представляет собой сумму $\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}$ земного притяжения и переносной силы инерци. Прежде всего, путем простой качественной оценки, мы можем убедиться, что поведение величины $\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}$ согласуется с поведением сплы, наблюдаемой нами как вес. Переходя от качественной оденки к количественной, мы можем (ограничиваясь даже первым приближением в вычислении $\boldsymbol{G}$ ) объяснить характер изменения ускорения силы тяжести на земной поверхности (см. гл. II, п. 27). Это дает нам очевидное подтверждение совершенной достоверности закона Ньютона. Более точные подтверждения этот закон получил в астрономии (движение небесных тел); однако указанная здесь статическая проверка (которая в отличие от опыта Кәвендиша не требует тонких экспериментальных методов) заслуживает внимания. Приняв эти гипотезы, мы в качестве следствия из них получим, что притяжение Земли во внешних точках (и в частности в непосредственной близости от поверхности) оказывается таким (гл. XI, II. 22), какое мы имели бы, если бы вся масса $M$ была сосредоточена в центре $O$. Вектор $\boldsymbol{G}$ вследствие этого будет направлен к $O$, и его величина, отнесенная $\kappa$ единице массы притягиваемой точки $P$, будет иметь значение $f M / \rho^{2}$, где $f$ — постоянная тяготения и $p$-расстояние точки $P$ от центра. Заметим, что если рассматривается область вокруг какой-нибудь точки поверхности Земли с окрестностью в несколько километров, то вектор $\boldsymbol{G}$, внутри этой области, будет приближенно постоянным по величине и направлению. Действительно, так как радиус $R$ земного шара равен приближенно 6370 км, то радиальное нли трансверсальное перемещение в несколько километров очень мало изменит как величину, так и направление его. 0 порядке велгчины этих изменений дают представление следующие вычисления. Так как $\Delta R$ мало по сравнению с $R$, то, разлагая $(1+\Delta R / R)^{-2}$ в ряд по формуле бинома Ньютона и останавливаясь на первом члене, мы получим для изменения $G$ выражение следовательно, по абсолютной величине, относительное изменение (т. е. отношение изменения к величине притяжения на поверхности Земли) представится в виде $2 \Delta R / R$, что меньше $1 / 1000$ для высот $\Delta R$, не превосходящих 3 жм. Если обозначим через $\lambda$ широту какой-нибудь точки $P$ меридиана, то $\cos \lambda$ и $\sin \lambda$ очевидно будут направляющими косинусами радиуса-вектора $\overrightarrow{O P}$ точки $P$ (с началом в центре $O$ Земли), и проекции вектора $\boldsymbol{G}$ на оси $O x$ и $O y$ будут равны где величина $G$ есть $f M / R^{2}$, и, следовательно, не зависит от $\lambda$ и постоянна на всей земной поверхности. Таким образом остается толькс одно первое слагаемое $\chi_{1}$, т. е. центробежная сила, происходящая от суточного вращения Земли. Угловая скорость а суточного вращения (дуга единичного радиуса, описанная в единицу времени, т. е. в секунду среднего солнечного времени) определяется, как мы знаем (гл. VII, I. 18), выражением а центробежная сила, действующая на единицу массы, находящуюся на расстоянии $\delta$ от полярной оси, равна $\omega^{2} \delta$. Для точки $P$ на поверхности Земли на широте $\lambda$, очевидно, будем иметь $\delta=R \cos \lambda$, а центробежная сила будет действовать в плоскости меридиана, перпендикулярно к полярной оси; поэтому отнисительно принятых в II. 35 осей будем пметь Численное значение величины $\omega^{2} R$ (имеющей размерность ускорения) будет около $3,4 \mathrm{cм} /$ сек $^{2}$. Так как $\chi_{2}$ для точки с массой, равной единице, есть не что иное, как это ускорение, взятое в противоположную еторону, то мы действительноможем при вычислении веса, т. е. $\boldsymbol{g}$, пренебречь им при том порядке приближения, которым мы здесь пользуемся. Даже когда требуетея и большая сам по себе ничтожен, а потому, что он всегда направлен в сторону, противоположную солнечному притяжению, и поэтому компенсируется солнечным притяжением, которым мы здесь также пренебрегли (п. 33) по сравнению с земным притяжением. 38. Второе привлижннив. Если мы примем во внимание переносную силу инерции $\chi$, то получим равенство которое при первом же взгляде разъясняет тот качественный факт (отмечаемый наблюдением), что үскорение силы тяжести $\boldsymbol{g}$ изменяется, увеличиваясь при перемещении тела от экватора $і$ полюсам. Достаточно принять во внимание, что центробежная сила $\chi$ равна нулю на полюсах (так что вес $\boldsymbol{g}$ там сводится к силе притяжения $\boldsymbol{G}$ ) и имеет напбольшую велйчину на экваторе, где она направлена прямо противоположно земному притяжению $\boldsymbol{G}$ и поэтому уменьшает величину g. Между экватором и полюсом, через промежуточные параллели, изменение $\boldsymbol{g}$ идет всегда в одну и ту же сторону. Это можно установить теометрическим путем, но еще более просто можно получить его из явного выражения $g$ через $\lambda$, которое мы найдем в ближайпем пункте, рассматривая следствия из формулы (20). Здесь же заметим, что вес $\boldsymbol{g}$, как это следует из формулы (20), вместе с $\boldsymbol{G}$ п дентробежной силой $\boldsymbol{\chi}$, лежит в меридианной плоскости, проходящей через рассматриваемую точку $P$, и представляет собой диагональ параллелограмма (фиг. 81), построенного на векторах $\boldsymbol{G}$ и $\boldsymbol{\chi}$. Если обозначим через $\boldsymbol{\gamma}$ острый угол, который направление такой диагонали (нить с грузом) образует с плоскостью экватора, то $\gamma$ очевидно будет (несколько) больше $\lambda$. Разность $\gamma-\lambda$ называется отклонением вертикали, происходяцим от врацения Земли. Обозначив через $g_{0}$ силу тяжести на экваторе (где $\lambda=\gamma=0$ ) из первой из написанных формул, мы будем иметь как это уже было указано в предыдущем пүнкте. Если положим где (I. 36) є есть отвлеченное чжсло, равное немногим тысячным долям, то будем иметь и проекции вектора $\boldsymbol{g}$ можно будөт написать в виде возводя равенства (20′) в квадрат и складывая, получаем Таким образом доказано утверждение, что $g$ изменяется, постоянно возрастая вместе с $\lambda$. Если из обеих частей полученного равенства извлечем квадратный корень и разложим $\left\{1+2 \varepsilon \sin ^{2} \lambda X\right.$ $\left.X\left(1+\frac{1}{2} \varepsilon\right)\right\}^{1 / 2}$ по формуле бинома Ньютона, пренебрегая членами второго и высшего порядюов относительно $\varepsilon$, то будем иметь Эта формула хорошо представляет общий ход изменения силы гяжести вдоль меридиана. Далөе, переходя к более точному приближению, можно установить, что формула (21) хорошо выражает танже и количественжо действительное изменение $g$, если только величине в вместо значения $\omega^{2} R / g_{0}$ приписать подходящее числовое значение $\varepsilon=0,005302$ и положить ${ }^{1}$ ) $g_{0}=978,030 \mathrm{~cm} /$ cer $^{2}$. это равенство можно написать в виде Отсюда прежде всего следует, что $\sin (\gamma-\lambda)$ содержит множитель $\varepsilon$, так что, пренебрегая величиной $\varepsilon^{2}, \cos (\gamma-\lambda)=\sqrt{1-\sin ^{2}(\gamma-\lambda)}$ можно положить равным единице и е $\sin (\gamma-\lambda)$ — нулю. приближенно сведется $\kappa \varepsilon \cos \lambda$, так тто будем иметь откда, подставив угол вместо синуса, получим окончательно (с тем же приближением) Эта формула показываөт, что жаибольшее отклонение вертикали имеется на широте в $45^{\circ}$ ( $\sin 2 \lambda=1$ ). Оно достигает (в радианах) значөния $\varepsilon / 2$, или в градусах $360 \varepsilon / 4 \pi$. При значении $\varepsilon$, указанном в предыдущем пункте, значение последнеғо выражения оказывается нөмногим менее $10^{\prime}$.
|
1 |
Оглавление
|