33. Рассмотрим материальную точку $P$, находящуюся вблизи от земной поверхности, и предположим, что $P$ не находится в соприкосновении с другими телами, и на нее не действуют силы, происходящие от каких-либо специальных устройств. Тогда остается одна сила, „вес“ точки $P$, которую можно, следовательно, рассматривать, как такую силу, уравновесив которую, мы помешаем точке падать или, иначе, удержим ее в (относительном) равновесии по отношению к Земле.

Сопоставим это экспериментальное утверждение с законом всемирного тяготения (г. XI, I. 2). Согласно этому закону на нашу материальную точку $P$ (которая, как мы сказали, предполагаетел свободной от действия какой-либо искусетвенно вызванной силы) действуют силы притяжения других тел и только эти силы. Так как, далее, благодаря огромным расстояниям, притяжения различных небесных тел будут ничтожны по сравнению с земным притяжением $\boldsymbol{G}$, то это притяжение и будет по существу единственной силой, действующей на $P$. Поэтому для того, чтобы удержать точку $P$ в абсолютном равновесии, необходимо и достаточно было бы уравновесить силу $\boldsymbol{G}$. Если же мы хотим рассматривать относительное равновесие по отношению к ссям, неизменно связанным с Землей, то мы должны (п. 3) присоединить к $\boldsymbol{G}$ переносную силу инерции $\chi$, происходящую от днижения этих осей (относительно неподвижных звезд).

Таким образом, основываясь на законе всемирного тяготения, мы приходим к заключению, что вес представляет собой сумму $\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}$ земного притяжения и переносной силы инерци.

Прежде всего, путем простой качественной оценки, мы можем убедиться, что поведение величины $\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}$ согласуется с поведением сплы, наблюдаемой нами как вес.

Переходя от качественной оденки к количественной, мы можем (ограничиваясь даже первым приближением в вычислении $\boldsymbol{G}$ ) объяснить характер изменения ускорения силы тяжести на земной поверхности (см. гл. II, п. 27). Это дает нам очевидное подтверждение совершенной достоверности закона Ньютона. Более точные подтверждения этот закон получил в астрономии (движение небесных тел); однако указанная здесь статическая проверка (которая в отличие от опыта Кәвендиша не требует тонких экспериментальных методов) заслуживает внимания.
34. Опредшлнние $\boldsymbol{G}$. Будем рассматривать Землю как шар, состоящий из однородных концентрических слоев. В отношении геометрической формы это предположение близко к действительности, если мы примем во внимание размеры Земли, так как относительные отклонения от сферической формы (происходящие, например, от полярного сжатия, от гор и т. п.) не превосходят (и даже остаются почти всегда значительно меньше) пятитысячных. Что же касается гипотезы о концентрической слоистости, то она вполне приемлема в качестве пробной, так как нет прямого указания о внутреннем строении Земли; с другой стороны, имеется еще одна неопределенность (а пменно, закон, по которому изменяется плотность в функции от расстояния от центра), благодаря которой всегда можно предположить, что плотности любого слоя приписано именно то среднее значение, которое принадлежит ему в действительности.

Приняв эти гипотезы, мы в качестве следствия из них получим, что притяжение Земли во внешних точках (и в частности в непосредственной близости от поверхности) оказывается таким (гл. XI, II. 22), какое мы имели бы, если бы вся масса $M$ была сосредоточена в центре $O$. Вектор $\boldsymbol{G}$ вследствие этого будет направлен к $O$, и его величина, отнесенная $\kappa$ единице массы притягиваемой точки $P$, будет иметь значение $f M / \rho^{2}$, где $f$ – постоянная тяготения и $p$-расстояние точки $P$ от центра.

Заметим, что если рассматривается область вокруг какой-нибудь точки поверхности Земли с окрестностью в несколько километров, то вектор $\boldsymbol{G}$, внутри этой области, будет приближенно постоянным по величине и направлению.

Действительно, так как радиус $R$ земного шара равен приближенно 6370 км, то радиальное нли трансверсальное перемещение в несколько километров очень мало изменит как величину, так и направление его. 0 порядке велгчины этих изменений дают представление следующие вычисления.
1. (Изменение направления). При перемещении по сфере рапиуса $R$ по дуге (большого круга) $\Delta s$ угловое отклонение будет равно (в радианах $\Delta s / R$, или в градусах $(360 / 2 \pi) \cdot(\Delta s / R)$. Предположив, например, что $\Delta s$ не превосходит 1 км, мы увидим, что отклонение не будет превосходить полминуты.
2. (Изменение величины.) При перемещении вдоль радиуса, начиная от $\rho=R$, на $\Delta R$ величина $G=f M / \rho^{2}$ получит изменение
\[
\frac{f M}{(R+\Delta R)^{2}}-\frac{f M}{R^{2}}=\frac{f M}{R^{2}}\left\{\left(1+\frac{\Delta R}{R}\right)^{-2}-1\right\} .
\]

Так как $\Delta R$ мало по сравнению с $R$, то, разлагая $(1+\Delta R / R)^{-2}$ в ряд по формуле бинома Ньютона и останавливаясь на первом члене, мы получим для изменения $G$ выражение
\[
-\frac{f M}{R^{2}} \cdot \frac{2 \Delta R}{R}
\]

следовательно, по абсолютной величине, относительное изменение (т. е. отношение изменения к величине притяжения на поверхности Земли) представится в виде $2 \Delta R / R$, что меньше $1 / 1000$ для высот $\Delta R$, не превосходящих 3 жм.
35. Обращаясь к вопросу о том, каким образом изменяется сила притяжения $\boldsymbol{G}$ вдоль любого меридиана, выберем систему осей $O x y$ (фиг. 81), расположенных в плоскости меридиана, с началом $O$ в центре земного шара и с положительными направлениями осей $O y$ и $O x$ соответственно к северному полюсу и к меридиану (полуокружности больіпого круга), о котором идет речь.

Если обозначим через $\lambda$ широту какой-нибудь точки $P$ меридиана, то $\cos \lambda$ и $\sin \lambda$ очевидно будут направляющими косинусами радиуса-вектора $\overrightarrow{O P}$ точки $P$ (с началом в центре $O$ Земли), и проекции вектора $\boldsymbol{G}$ на оси $O x$ и $O y$ будут равны
$G_{x}=-G \cos \lambda, \quad G_{y}=-G \sin \lambda,(18)$
Фиг. 81.

где величина $G$ есть $f M / R^{2}$, и, следовательно, не зависит от $\lambda$ и постоянна на всей земной поверхности.
36. Точнов опрвделвния $\chi$. Движение Земли предполагается сложным, складывающимся, как известно, из равномерного вращения вокруг полярной оси ПІІ (суточнөе вращение) и поступательного движения как неизменяемой системы, в силу которого (согласно законам Кеплера) Земля описывает. в течение года вокруг Солнда эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Переносная сила инерции $x$ будет, следовательно, суммой двух слагаемых: одного $\chi_{1}$, происходящего от вращения, и другого $\chi_{2}$, происходящего от поступательного движения. Если мы обратим внимание на то, что в этом последнем движении требуется целый год для того, чтобы соверщить один оборот, и что, следовательно, (для промежутков времени, малых по сравнению с периодом) движение приближенно можно рассматривать как прямолинейное и равномерное, то, как уже было сказано выше (I. 5), можно пренебречь вектором $\chi_{2}{ }^{1}$ ).

Таким образом остается толькс одно первое слагаемое $\chi_{1}$, т. е. центробежная сила, происходящая от суточного вращения Земли. Угловая скорость а суточного вращения (дуга единичного радиуса, описанная в единицу времени, т. е. в секунду среднего солнечного времени) определяется, как мы знаем (гл. VII, I. 18), выражением
\[
\omega=\frac{2 \pi}{86164},
\]

а центробежная сила, действующая на единицу массы, находящуюся на расстоянии $\delta$ от полярной оси, равна $\omega^{2} \delta$. Для точки $P$ на поверхности Земли на широте $\lambda$, очевидно, будем иметь $\delta=R \cos \lambda$, а центробежная сила будет действовать в плоскости меридиана, перпендикулярно к полярной оси; поэтому отнисительно принятых в II. 35 осей будем пметь
\[
\chi_{x}=\omega^{2} R \cos \lambda ; \quad \chi_{y}=0 .
\]

Численное значение величины $\omega^{2} R$ (имеющей размерность ускорения) будет около $3,4 \mathrm{cм} /$ сек $^{2}$.
37. Сравнднип с весом. Первов приближение. Так как напбольшее значение центробежной силы $\chi$ (которое она принимает при $\lambda=0$, т. е. на экваторе) равно 3,4 дин, то можно пренебречь ее влиянием на $g$ и считать в первом приближении вес равным земному притяжению. При принятых гипотезах относительно внутреннего строения Земли отсюда следует, что вес тела не изменяется при перемещении из одного места в другое на земной поверхности, и что направление радиуса Земи во всякой точке совпадает с направлением нити с грузом на конце. То и другое очевидно согласуется с данными грубого опыта.
1) В связи с этим следует вепомнить, что в обращении Земли вокруг Солнца переносное ускорение (которое в силу того, что речь идет о поступательном движении, является одним и тем же для всех точек Земли) будет несколько меньше $1 \mathrm{~cm} /$ сек $^{2}$, т. е. около одной тысячной части от $g$ (гл. VII, п. 18).

Так как $\chi_{2}$ для точки с массой, равной единице, есть не что иное, как это ускорение, взятое в противоположную еторону, то мы действительноможем при вычислении веса, т. е. $\boldsymbol{g}$, пренебречь им при том порядке приближения, которым мы здесь пользуемся. Даже когда требуетея и большая сам по себе ничтожен, а потому, что он всегда направлен в сторону, противоположную солнечному притяжению, и поэтому компенсируется солнечным притяжением, которым мы здесь также пренебрегли (п. 33) по сравнению с земным притяжением.

38. Второе привлижннив. Если мы примем во внимание переносную силу инерции $\chi$, то получим равенство
\[
\boldsymbol{g}=\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi},
\]

которое при первом же взгляде разъясняет тот качественный факт (отмечаемый наблюдением), что үскорение силы тяжести $\boldsymbol{g}$ изменяется, увеличиваясь при перемещении тела от экватора $і$ полюсам. Достаточно принять во внимание, что центробежная сила $\chi$ равна нулю на полюсах (так что вес $\boldsymbol{g}$ там сводится к силе притяжения $\boldsymbol{G}$ ) и имеет напбольшую велйчину на экваторе, где она направлена прямо противоположно земному притяжению $\boldsymbol{G}$ и поэтому уменьшает величину g. Между экватором и полюсом, через промежуточные параллели, изменение $\boldsymbol{g}$ идет всегда в одну и ту же сторону. Это можно установить теометрическим путем, но еще более просто можно получить его из явного выражения $g$ через $\lambda$, которое мы найдем в ближайпем пункте, рассматривая следствия из формулы (20).

Здесь же заметим, что вес $\boldsymbol{g}$, как это следует из формулы (20), вместе с $\boldsymbol{G}$ п дентробежной силой $\boldsymbol{\chi}$, лежит в меридианной плоскости, проходящей через рассматриваемую точку $P$, и представляет собой диагональ параллелограмма (фиг. 81), построенного на векторах $\boldsymbol{G}$ и $\boldsymbol{\chi}$. Если обозначим через $\boldsymbol{\gamma}$ острый угол, который направление такой диагонали (нить с грузом) образует с плоскостью экватора, то $\gamma$ очевидно будет (несколько) больше $\lambda$. Разность $\gamma-\lambda$ называется отклонением вертикали, происходяцим от врацения Земли.
39. Спроектируем равенство (20) на оси $x, y$, определенные в п. 35, и изменим знаки в обеих частях равенства; если мы заметим, что проекции вектора $\boldsymbol{g}$ суть $-g \cos \gamma,-g \sin \gamma$ и примем во внимание равенства (18) и (19), то получим
\[
g \cos \gamma=\left(G-\omega^{2} R\right) \cos \lambda, \quad g \sin \gamma=G \sin \lambda .
\]

Обозначив через $g_{0}$ силу тяжести на экваторе (где $\lambda=\gamma=0$ ) из первой из написанных формул, мы будем иметь
\[
g_{0}=G-\omega^{2} R,
\]

как это уже было указано в предыдущем пүнкте. Если положим
\[
\frac{\omega^{2} R}{g_{0}}=\varepsilon,
\]

где (I. 36) є есть отвлеченное чжсло, равное немногим тысячным долям, то будем иметь
\[
G=g_{0}+\omega^{2} R=g_{0}(1+\varepsilon)
\]

и проекции вектора $\boldsymbol{g}$ можно будөт написать в виде
\[
g \cos \gamma=g_{0} \cos \lambda, \quad g \sin \gamma=g_{0}(1+\varepsilon) \sin \lambda ;
\]

возводя равенства (20′) в квадрат и складывая, получаем
\[
g^{2}=g_{0}^{2}\left\{\cos ^{2} \lambda+(1+\varepsilon)^{2} \sin ^{2} \lambda\right\}=g_{0}^{2}\left\{1+2 \varepsilon \sin ^{2} \lambda\left(1+\frac{1}{2} \varepsilon\right)\right\} .
\]

Таким образом доказано утверждение, что $g$ изменяется, постоянно возрастая вместе с $\lambda$. Если из обеих частей полученного равенства извлечем квадратный корень и разложим $\left\{1+2 \varepsilon \sin ^{2} \lambda X\right.$ $\left.X\left(1+\frac{1}{2} \varepsilon\right)\right\}^{1 / 2}$ по формуле бинома Ньютона, пренебрегая членами второго и высшего порядюов относительно $\varepsilon$, то будем иметь
\[
g=g_{0}\left(1+\varepsilon \sin ^{2} \lambda\right) .
\]

Эта формула хорошо представляет общий ход изменения силы гяжести вдоль меридиана.

Далөе, переходя к более точному приближению, можно установить, что формула (21) хорошо выражает танже и количественжо действительное изменение $g$, если только величине в вместо значения $\omega^{2} R / g_{0}$ приписать подходящее числовое значение $\varepsilon=0,005302$ и положить ${ }^{1}$ ) $g_{0}=978,030 \mathrm{~cm} /$ cer $^{2}$.
40. Из равенств $\left(20^{\prime}\right)$, умножая первое на $\sin \gamma$, второе на $\cos \gamma$ и вычитая, получим
\[
g_{0} \cos \lambda \sin \gamma-g_{0} \sin \lambda \cos \gamma-g_{0} \varepsilon \sin \lambda \cos \gamma=0 ;
\]

это равенство можно написать в виде
\[
\sin (\gamma-\lambda)=\varepsilon \sin \lambda \cos \gamma=\varepsilon \sin \lambda \cos \{\lambda+(\gamma-\lambda)\} .
\]

Отсюда прежде всего следует, что $\sin (\gamma-\lambda)$ содержит множитель $\varepsilon$, так что, пренебрегая величиной $\varepsilon^{2}, \cos (\gamma-\lambda)=\sqrt{1-\sin ^{2}(\gamma-\lambda)}$ можно положить равным единице и е $\sin (\gamma-\lambda)$ – нулю.
Благодаря этому выражение
\[
\varepsilon \cos \{\lambda+\{(\gamma-\lambda)\}=\varepsilon \cos \lambda \cos (\gamma-\lambda)-\varepsilon \sin \lambda \sin (\gamma-\lambda)
\]

приближенно сведется $\kappa \varepsilon \cos \lambda$, так тто будем иметь
\[
\sin (\gamma-\lambda)=\varepsilon \sin \lambda \cos \lambda=\frac{1}{2} \sin 2 \lambda,
\]

откда, подставив угол вместо синуса, получим окончательно (с тем же приближением)
\[
\gamma-\lambda=\frac{1}{2} \varepsilon \sin 2 \lambda .
\]
1) Cp. Pizzetti, Trattato di Geodesia teoretica (Болонья, второе издание, 1928, стр. 15).

Эта формула показываөт, что жаибольшее отклонение вертикали имеется на широте в $45^{\circ}$ ( $\sin 2 \lambda=1$ ). Оно достигает (в радианах) значөния $\varepsilon / 2$, или в градусах $360 \varepsilon / 4 \pi$. При значении $\varepsilon$, указанном в предыдущем пункте, значение последнеғо выражения оказывается нөмногим менее $10^{\prime}$.