18. Определения. Іусть $P$-материальная точка с массой $m$, $r$ – какая-либо прямая, $\delta$ – расстояние точки $P$ от $r$.

Моментом инериии точки $P$ относительно оси $\boldsymbol{r}$ называется произведение по $\delta^{2}$ массы іочки на квадрат се расстояния от оси.

Моментом инерии системы $S$, состоящей из конечного числа материальных точек $P_{i}(i=1,2, \ldots$, , относительно оси $r$ называетея сумма моментов инерчии отдельных ее почек.

Обозначив через $I$ момент инерции системы, через $m_{i}$ массу $i$-й ее точки $P_{i}$, через $\delta_{i}$ расстояние точки $P_{i}$ от оси $r$, согласно определению будем иметь
\[
I=\sum_{i} m_{i} \hat{\delta}_{i}^{2}
\]

где сумма, очевидно, должна распространяться на все точки системы.
Обозначив, как обычно, через $m$ массу $\sum_{i} m_{i}$ системы и положив
\[
I=m \hat{\delta}^{2},
\]

будем называть определенное тапгм образом положительное число $\delta$, т. е.
\[
\delta=\sqrt{\frac{\bar{I}}{m}},
\]

радиусом инерци системь $S$ относительно оси $r$.
Механический смысл радиуса инерции непосредственно виден из формулы (14): $\delta$ есть то расстояние от оси $r$, на котором должна находиться материальнал точқа с массой $m$, равной массе системы, чтобы момент инерции ее относнтельно оси $r$ был равен моменту инерции $I$ системы.

Размерность момента инердии, как это следует из формулы (14), есть $l^{2} m$; размерность же радиуса ннерции есть $l$, что неносредственно видно из его определения.
19. Аналогично определению момента инерции любой материальной системы $S$ относительно оси можно ввести еще следующие определения.
1. Моментом инерции системы $S$ относительно точки $P$ называется сумма произведений масс точек системы $S$ на квадраты их расстояний от $P$ (так называемый полярный момент инерции, п. 14).
2. Моментом инерции системы $S$ относительно плоскости $\pi$ называется сумма произведений масс точек системы $S$ на квадраты IIх расстояний от плоскости $\pi$.

В приложениях почти исключительно пользуются моментами инерции относительно оси, поэтому мы ограничиваемся пзучением только их.
20. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТА ПНЕРЦИИ ПІИ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ОСИ. Для заданной материальной системы $S$ существует бесконечно много моментов инерции $I$, соответствующих бесконечному множеству осей $r$. Мы изучим, пап изменяется $I$ при изменении положения $r$.

Исследование ушростится, если предварительно заметим, что мокно ограничиться разбором двух частных случаев, а именно:
a) как изменяются моменты инерции относительно параллельных осей;
б) как изменяются моменты инерции относительно осей, переंсегающихся в одной точке.

Действительно, предшолагая пзвестными законы изменения моментов инерции в случаях „а“ и „б“, мы будем в состоянии найти соотнопение между моментами инерции относительно двух осей $r, s$, расположенных как угодно в пространстве. Для этого достаточно провести через точку, выбранную как угодно на $s$, прямую $r^{\prime}$, параллельную $r$. Ответ на вопрос „а“ позволит нам перейти от момента инерции относительно $r$ к моменту инерции относительно $r^{\prime}$, а ответ на вспрос „б\”– от момента инерции относительно $r^{\prime \prime}$ к моменту инерции относительно $s$.
21. Прежде всего догажем теорему, принадлежащую Гюйгенсу ${ }^{1}$ ) (и сформулированную Эйлером, которому принадлежит введение понятия и систематическая теория моментов инерции).
1) Христиан Гюйгене родилея в Гаге в 1629 г., умер там эе в 1695 г., был юдним из трех первых иностранных членов Академии наук в Париже и Королевского общества в Лондоне. Главнейшие его труды: открытие кольда Момент инерции системы относительно оси $\boldsymbol{r}$ равен моменту инерции $I_{0}$ относительно оси $r_{0}$, параллельной $r$ и проходящей через чентр тяжести, сложенному с произведением массы системы на кварат расстояния д между этими осями.

Примем за ось $z$ ось $r_{0}$, параллельную $r$ и проходящую через центр тяжести $G$, и за плоскость $z x$ плоскость, содержащую прямую $r$. При этих условиях уравнения прямой $r$ будут иметь вид
\[
x=d, \quad y=0,
\]

где $d$-расстояние между двумя осями.
Поэтому, если обозначим через $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ координаты произвольной точки $P_{i}$ системы $S$, то координатами ее проекции $Q_{i}$ на прямую $r$ будут $d, 0, z_{i}$. Расстояние $\delta_{i}$ точки $P_{i}$ от оси $r$ есть не что иное, как длина отрезка $P_{i} Q_{i}$, поэтому
\[
\delta_{i}^{2}=\left(x_{i}-d\right)^{2}+y_{i}^{2}
\]

и, следовательно, согласно определению момента инерции $I$, мы будем иметь
\[
I=\sum_{i}\left[\left(x_{i}-d\right)^{2}+y_{i}^{2}\right]=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}-2 d \sum_{i} m_{i} x_{i}+d^{2} \sum_{i} m_{i} .
\]

Если заметим, что ось $z$ мы провели через центр тяжести $G$ и что, следовательно, координата $x_{0}$ этой точки равна нулю, то увидим, что сумма $\sum_{i} m_{i} x_{i}$ равна нулю; с другой стороны, сумма $\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)$ равна моменту инерции относительно оси $z$, т. е. $I_{0}$; $m_{i}$ есть полная масса $m$ системы.
Поэтому мы имеем равенство
\[
I=I_{0}+m d^{2},
\]

которое и нужно было вывести.
Эта формула показывает, что между всеми осями, параллельными заданному направлению, та, для которой момент инерции наименьший, проходит через центр тяжести. Кроме того, если для заданной системы мы знаем момент инерции $I$ относительно оси $r$ и положение центра тяжести, то равенство (15) позволяет вычислить значение $I^{\prime}$ момента инерции относительно другой какой-

Сатурна, первая волновая теория распространения света, которая позволила ему объяснить, помимо известных тогда явлений, явление двойного преломления, открытого им же в исландеком шпате, наконец, его вклады в механику, из которых мы ограничимея упоминанием закона колебаний маятника е практическими приложениями к устройству часов; в его иселедованиях о колебаниях физического маятника по существу и содержится понятие о моменте инерции и приводимая в текете теорема. Сp. Horologium oscillatгі ім (Париж, 1673 г.).

нибуудь прямой $r^{\prime}$, параллельной $r$. Действительно, мы имеем два соотношения
\[
I=I_{0}+m d^{2}, \quad I^{\prime}=I_{0}+m d^{\prime 2},
\]

где через $d^{\prime}$ обозначено расстояние от центра тяжести до прямой $r^{\prime}$, или же расстояние между осями $r^{\prime}$ и $r_{0}$. Исключив $I_{0}$, получим
\[
I^{\prime}=I+m\left(d^{\prime 2}-d^{2}\right) .
\]

При заданных предположениях величины в правой части все известны.
22. МОмЕНТЫ ИНЕРЦИИ отНОСИТЕЛЬНО ПЕРЕСЕКАЮЩИХся осЕй. Определив, каким образом изменяется момент инерции, когда ось, к готорой он относится, изменяет положение, но не направление, рассмотрим поведение момента инерции относительно осй, проходящей через точку $O$ и изменяющей свое направление в пространстве.

Поместим в $O$ начало координат (фиг. 17), и пусть $\alpha, \beta, \gamma$ будут направляющими косинусами прямой $r$ (на которой установлево определенное направление как положительное). Из прямоугольного треугольника $O P_{i} Q_{i}$ видно, что расстояние $\delta_{i}$ любой точки $P_{i}$ системы $S$ от оси $r$ определяется соотношением
\[
\delta_{i}^{2}=O P_{i}^{2}-O Q_{i}^{2} ;
\]

так как $O P_{i}^{2}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{3}$, а проекция $O Q_{i}$ вектора $\overrightarrow{O P}_{i}$ на ось $r$ равна $x_{i} \alpha+y_{i} \beta+z_{i} \gamma$, то будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\delta_{i}^{2}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}-\left(x_{i} \alpha+y_{i} \beta+z_{i} \gamma\right)^{2}= \\
=\left(1-\alpha^{2}\right) x_{i}^{2}+\left(1-\beta^{2}\right) y_{i}^{2}+\left(1-\gamma^{2}\right) z_{i}^{3}- \\
-2 \beta \gamma y_{i} z_{i}-2 \gamma \alpha z_{i} x_{i}-2 \alpha \beta x_{i} y_{i} .
\end{array}
\]

Если вместо $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$ напишеи единицу, то после перегруппировки членов получим ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
\delta_{i}^{2}=\alpha^{2}\left(y_{i}^{3}+z_{i}^{2}\right)+\beta^{2}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right)+\gamma^{2}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)- \\
-2 \beta \gamma y_{i} z_{i}-2 \gamma \alpha z_{i} x_{i}-2 \alpha \beta x_{i} y_{i}
\end{array}
\]
1) Выражение $\delta_{i}^{2}$ можно было бы также получить, рассматривая момент относительно точки $P_{i}$ единичного вектора оси $r$, который мы представим себе приложенным в $O$. Проекции этого момента определяютея (гл. I, п. 27)

поэтому будем иметь
\[
\begin{array}{l}
I=\sum_{i} m_{i} \delta_{i}^{2}=\alpha^{2} \sum_{i} m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)+\beta^{2} \sum_{i} m_{i}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right)+\gamma^{2} \sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)- \\
-2 \beta \gamma \sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}-2 \gamma \alpha \sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}-2 \alpha \beta \sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i} \\
\end{array}
\]

или
\[
I=A \alpha^{2}+B \beta^{2}+C \gamma^{2}-2 A^{\prime} \beta \gamma-2 B^{\prime} \gamma \alpha-2 C^{\prime} \alpha \beta,
\]

где положено
\[
\begin{array}{l}
A=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right), \quad B=\sum_{i} m_{i}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right), \quad C=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right), \\
A^{\prime}=\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}, \quad B^{\prime}=\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}, \quad C^{\prime}=\sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i} . \\
\end{array}
\]

Равенство (16) определяет момент инерции относительно произвольного направления $\alpha, \beta, \gamma$, проходящего через $O$, в функции от шести постоянных $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$, зазисящих, как мы видим, от распределения масс в системе, но не от частного выбора оси $r$. В правой части равенства (16) стоит однородная квадратичная функция от $\alpha, \beta, \gamma$, которая не изменится, если одновременно изменить $\alpha$, $\beta, \gamma$ на – $\alpha,-\beta,-\gamma$. Это можно было предвидеть, так кап при замене $\alpha, \beta, \gamma$ на – $\alpha,-\beta,-\gamma$ изменяется только сторона, которую надо приписать $r$, а де сама прямая, момент же инерции $I$, как это видно из его определения, не зависит от направления, выбранного на прямой.

Коэффициенты $A, B, C$ представляют собой моменты инерции относительно осей координат, как это видно из формулы (16), если подставить в нее вместо $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно $1,0,0 ; 0,1,0$; $0,0,1$. Остальные три коэфффициента $A^{\prime}=\sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i}, B^{\prime}=\sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i}$, $C^{\prime}=\sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i}$ обычно называют произведениями инериии или также (по причине, которал будет вылснена в динамике твердого тела) моментами девиации ${ }^{1}$ ).

минорами матрицы
\[
\left.\| \begin{array}{ccc}
-x_{i} & -y_{i} & -z_{i} \\
\alpha & \beta & \gamma
\end{array} \right\rvert\,
\]

и, следовательно, квадратом модуля момента будет
\[
\left(\beta z_{i}-\gamma y_{i}\right)^{2}+\left(\gamma x_{i}-\alpha z_{i}\right)^{2}+\left(\alpha y_{i}-\beta x_{i}\right)^{2} .
\]

Модуль момента единичного вектора (произведение единицы на расетояние от точки $P_{i}$ до оси $r$ ) но величине совнадает, очевидно, с $\hat{\delta}_{i}$.
1) В русской литературе их чаще всего называют центробежными моментами инерции. См., например, Г. К. С у с ов, Теоретическая механика, 1946, стр. 255. (Iрим. ред.)

Согласно равенству (17), определение трех моментов инерџии $A, B, C$ приводится к определению трех сумм:
\[
s_{1}=\sum_{i} m_{i} x_{i}^{2}, \quad s_{2}=\sum_{i} m_{i} y_{i}^{2}, \quad s_{3}=\sum_{i} m_{i} z_{i}^{2},
\]

которые можно истолковать как моменты инерции системы относительно координатных плоскостей. Действительно, имеем тождественно
\[
A=s_{2}+s_{3}, \quad B=s_{3}+s_{1}, \quad C=s_{1}+s_{2} .
\]