3. Нредыдущая теорема позволяет доказать, что в случае твердых пел основные условия равновесия не только необходимы, жак это имеет место для всякой материальной системь, но и достаточны.

Iредположим, что твердое тело $\$$ находится под действием известных внешних сил $\boldsymbol{F}$, удовлетворяющих основным условиям
\[
\boldsymbol{R}=0, \quad \boldsymbol{M}=0,
\]
т. е. составляющих систему, эквивалентную нулю.

Если обозначим через $\boldsymbol{f}$ внутренние силы, то твердое тело $S$ можно рассматривать как систему свободных материальных точек, находящуюся под действием сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{f}$. Так кап и система сил $\boldsymbol{F}$ (по предположению) и система сил $f$ (в силу их свойства как внутренних сил, п. 3 предыдущей главы) (векторно) эквивалентны нулю, то система, составленная из сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{f}$, будет, в частности, эквивалентна системе сил, из которых каждал равна нулю. Но если бы каждая точка тела $S$ подвергалась действию силы, равной нулю (т. е. была бы свободна от действия гаких бы то ни было сил), то система находилась бы, очевидно, в равновесии. Поэтому на основании теоремы предыдущего пункта она будет находиться также в равновесии под цействием сил $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{f}$, эквивалентых системе, состоящей только из сил, в отельности равны нулю.

Гоэтому заключаем, что для твердых тел необходимые и достаточные условия равновесия выражаютел двумя векторными уравнениями (1) или пестью эквивалентеыми им скалярными уравненнями:
\[
\left.\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Sigma} X=0, \boldsymbol{\Sigma} Y=0, \boldsymbol{\Sigma} Z=0 ; \\
\boldsymbol{\Sigma}(y Z-z Y)=0, \boldsymbol{\Sigma}(z X-x Z)=0, \boldsymbol{\Sigma}(x Y-y X)=0,
\end{array}\right\}
\]

где суммирование распространяется на те точки твердого тела, к которым приложены внешние склы, и суммы должны быть заменены интегралами, распространенными на область (одного, двух или трех измерений), когда эти точки распределены непрерывно.

В частных случаях уравнения (1′) можно свести к меньшему числу, так как некоторые из них могут удовлетворяться тождественно. Например, если все внешние силы действуот в одной и той же плоскости $\pi$, то в той же плоскости жежит и их результирующая сила $\boldsymbol{R}$, тогда как результирующий момент $\boldsymbol{M}$ (по отношению к какому угодно центру, взятом! в плоскости $\pi$ ) будет перпендикулярен к этой нлоскости; ноэтоиу если $\pi$ выбрать за координатную плоскость $z=0$, то равенста ( $1^{\prime}$ ) приведутся к трем уравнениям
\[
\Sigma X=0, \quad \Sigma Y=0, \quad \Sigma(x Y-y X)=0 .
\]